ত্রিভুজের কোণ সমষ্টির ধর্ম – SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-6.3 – অধ্যায় ৬
ত্রিভুজের কোণ সমষ্টির ধর্ম
বন্ধুরা, আমরা এই অনুশীলনীতে যে সকল প্রশ্নের সমাধান করেছি তার ভিত্তি হলো ত্রিভুজের কোণ সমষ্টির ধর্ম বা এর সাথে সংশ্লিষ্ট বিষয়াদি। পাঠ্যবইয়ে এই বিষয়ে তোমরা কয়েকটি উপপাদ্য পেয়ে যাবে। আজকে এই পোস্টে ত্রিপুরা মধ্যশিক্ষা পর্ষদ এর নবম শ্রেণির গাণিতিক প্রশ্নের সমাধান বিষয়ক যেখানে ত্রিভুজের কোণ সমষ্টির ধর্ম এর উপর ভিত্তি করে নিন্মোক্ত উপপাদ্য বিবৃত হয়েছে।
- একটি ত্রিভুজের কোনগুলোর সমষ্টি এক সরল কোণ বা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি।
- ত্রিভুজের এক বাহুকে বৃদ্ধি করলে উৎপন্ন বহিঃকোণ, অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফলের সমান।
তাহলে চল এখন আমরা সমাধানে মনোযোগী হই এবং গাণিতিক সমাধানকে আরও সহজ করে দেই।
অনুশীলনী 6.3
1. 6.39 নং চিত্রে, ΔPQR এর বাহু QP এবং RQ কে যথাক্রমে S ও T পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। যদি ∠SPR =135° এবং ∠PQT=110° হয়, তবে ∠PRQ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান-1:
চিত্রানুসারে,
∠SPR+∠RPQ = এক সরলকোণ
বা, 135°+∠RPQ = 180°
বা, ∠RPQ = 180°-135° = 45° ……...(i)
আবার,
∠PQT+∠PQR = এক সরলকোণ
বা, 110°+∠PQR = 180°
বা, ∠PQR = 180°-110° = 70° ……...(ii)
এখন,
∠RPQ+∠PQR+∠PQR = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = 180]
বা, 45°+70°+∠PQR = 180° [(i) ও (ii) নং থেকে মান বসিয়ে]
বা, ∠PQR = 180°-45°-70°
বা, ∠PQR = 65° [মান নির্ণয় করা হলো]
2. 6.40 নং চিত্রে, ∠X=62°, ∠XYZ=54°। ΔXYZ ত্রিভুজে যদি YO এবং ZO যথাক্রমে ∠XYZ এবং ∠XZY এর সমদ্বিখণ্ডক হয়, তবে ∠OZY এবং ∠YOZ এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান-2:
দেওয়া আছে,
∠X=62°, ∠XYZ=54°, YO এবং ZO যথাক্রমে ∠XYZ এবং ∠XYZ এর সমদ্বিখণ্ডক;
এখন,
∠XYZ=54°
বা, ∠OYZ = 54°/2 = 27° ……..(i) [যেহেতু, YO, ∠XYZ এর সমদ্বিখণ্ডক]
আবার, ΔXYZ-এ,
∠X+∠XYZ+∠XZY = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল=180° ]
বা, 62°+54°+∠XZY = 180° [মান বসিয়ে]
বা, ∠XZY = 180°-62°-54°
বা, ∠XZY = 64°
বা, ∠OZY = 64°/2 = 32° …...(ii) [যেহেতু, ZO, ∠XZY এর সমদ্বিখণ্ডক]
আবার, ΔOYZ-এ,
∠OYZ+∠OZY+∠YOZ = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল=180° ]
বা, 27°+32°+∠YOZ = 180° [মান বসিয়ে]
বা, ∠YOZ = 180°-27°-32°
বা, ∠YOZ = 121°
∵ নির্ণেয় সমাধানঃ ∠OZY = 32° এবং ∠YOZ = 121°
3. 6.41 নং চিত্রে, যদি AB∥DE, ∠BAC=35° এবং ∠CDE=53° হয় তবে, ∠DCE এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান-3:
চিত্র অনুসারে,
AB∥DE, AE তাদের ভেদক;
একান্তর, ∠CED= একান্তর, ∠BAC
বা, ∠CED = 35° [মান বসিয়ে]
এখন,
ΔCDE-এ,
∠CDE+∠CED+∠DCE = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল=180° ]
বা, 53°+35°+∠DCE = 180° [মান বসিয়ে]
বা, ∠DCE = 180°-53°-35°
বা, ∠DCE = 92° [Ans]
4. 6.42 নং চিত্রে, PQ এবং RS যদি T বিন্দুতে এরূপে ছেদ করে যে, ∠PRT=40°, ∠RPT=95° এবং ∠TSQ=75° হয় তবে ∠SQT এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান-4:
ΔPRT-এ,
∠PRT+∠RPT+∠PTR = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল=180° ]
বা, 40°+95°+∠PTR = 180° [প্রদত্ত মান বসিয়ে]
বা, ∠PTR = 180°-40°-95°
বা, ∠PTR = 45°
এখন, ∠PTR = ∠STQ [পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ]
∵ ∠STQ = 45°
আবার,
ΔSTQ-এ,
∠STQ+∠TSQ+∠SQT = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল=180° ]
বা, 45°+75°+∠SQT = 180° [মান বসিয়ে]
বা, ∠SQT = 180°-45°-75°
বা, ∠SQT = 60° [Ans]
5. 6.43 নং চিত্রে, যদি PQ⊥PS, PQ∥SR, ∠SQR=28° এবং ∠QRT=65° হয় তবে x এবং y এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান-5:
দেওয়া আছে,
PQ⊥PS, PQ∥SR, ∠SQR=28° এবং ∠QRT=65°
এখন, PQ⊥PS, অর্থাৎ ∠QPS = 90°
আবার,
যেহেতু PQ∥SR, সেহেতু PQ∥RT এবং QR একটি ভেদক;
তাহলে,
একান্তর ∠PQR = একান্তর ∠QRT
বা, ∠PQR = 65° [প্রদত্ত মান বসিয়ে]
বা, ∠x+∠SQR = 65°
বা, ∠x+28° = 65° [প্রদত্ত মান বসিয়ে]
বা, ∠x = 65°-28°
বা, ∠x = 37°
আবার,
ΔPSQ-এ,
∠x+∠QPS+∠y = 180° [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল=180° ]
বা, 37°+90°+∠y = 180° [প্রদত্ত+প্রাপ্ত মান বসিয়ে]
বা, ∠y = 180°-37°-90°
বা, ∠y = 53°
∵ নির্ণেয় সমাধানঃ ∠x = 37° এবং ∠y = 53°
6. 6.44 নং চিত্রে, ΔPQR এর বাহু QR কে S বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। যদি ∠PQR এবং ∠PRS এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করো ∠QTR= ½∠QPR.
সমাধান-6:
আমরা জানি, ত্রিভুজের এক বাহুকে বৃদ্ধি করলে উৎপন্ন বহিঃকোণ, অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফলের সমান............(i)
ΔQPR হতে (i) নং শর্ত অনুসারে পাই,
∠QPR+∠PQR = ∠PRS
বা, ∠QPR = (∠PRS-∠PQR)…...(ii)
আবার,
ΔQTR হতে (i) নং শর্ত অনুসারে পাই,
∠QTR+∠TQR = ∠TRS
বা, ∠QTR = (∠TRS-∠TQR)
বা, 2∠QTR = 2(∠TRS-∠TQR) [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2∠QTR = (2∠TRS-2∠TQR)
বা, 2∠QTR = (∠PRS-∠PQR) [যেহেতু, QT, ∠PQR এবং RT, ∠PRS এর সমদ্বিখণ্ডক]
বা, 2∠QTR = ∠QPR [(ii) নং থেকে মান বসিয়ে]
বা, ∠QTR = ½∠QPR [প্রমাণিত]
আরওঃ