রেখা এবং কোণ – SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-6.1 – অধ্যায় ৬

রেখা এবং কোণ

প্রিয় বন্ধুবর ছাত্রছাত্রী, আমরা ত্রিপুরা মধ্যশিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণির অধ্যায় ছয়ঃ রেখা এবং কোণ বিষয়ক অনুশীলনী 6.1 এ প্রদত্ত ৬টি প্রশ্নের যথাযথ সঠিক উত্তর বা সমাধান প্রদান করেছি। তোমরা ইউক্লিডীয় সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য (অনুশীলনী 5.2) হতে রেখা এবং কোণ এর সংজ্ঞা পেয়ে যাবে। এখন এখানে আমরা আরও কিছু জেনে নেইঃ- যদি তিন বা তার অধিক বিন্দু একই রেখায় অবস্থান করে তবে তাদের বলা হয় সমরেখ বিন্দু অন্যথায় বিন্দুগুলোকে বলা হয় অসমরেখ বিন্দু। আরও জেনে নেইঃ- একটি কোণ তখনই তৈরি হয় যখন দুটি রশ্মি একই প্রান্তবিন্দু হতে সৃষ্টি হয় এবং এবং এই রশ্মিগুলোকে কোণের বাহু বলে, এবং এই কোণ বিভিন্ন প্রকারের হয়ে থাকে যেমনঃ

সূক্ষ্মকোণঃ 0° < x < 90°

সমকোণঃ x = 90°

স্থূলকোণঃ 90° < x < 180°

সরলকোণঃ x = 180°

প্রবৃদ্ধ কোণঃ 180° < x < 360°

এখানে x দ্বারা কোণের মান বুঝানো হয়েছে। এছাড়াও তোমরা সন্নিহিত, রৈখিক, বিপ্রতিপ কোণের সম্পর্কে জেনে রাখবে। যাইহোক চল আমরা আমাদের মূল অনুশীলনীর সমাধান করি।

অনুশীলনী 6.1

1. 6.13 নং চিত্রে AB এবং CD রেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। যদি ∠AOC +∠BOE =70° এবং ∠BOD =40° হয়, তবে ∠BOE এবং প্রবৃদ্ধ ∠COE এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান^১:

প্রদত্ত,

∠AOC+∠BOE = 70°

∠BOD = 40°

এখন, চিত্রানুসারে,

∠AOB = 180°

বা, ∠AOC+∠COE+∠BOE = 180°

বা, (∠AOC+∠BOE) + ∠COE = 180°

বা, 70° +∠COE =180° [যেহেতু, ∠AOC +∠BOE =70°]

∠COE = 180° – 70°

∠COE = 110°......... (i)

আবার, চিত্র অনুসারে,

∠COD = 180°

বা, ∠COE+∠BOE+∠BOD = 180°

বা, 110°+∠BOE+40° = 180° [মান বসিয়ে]

বা, ∠BOE = 180°-110°-40°

বা, ∠BOE=30° (Ans)

এখন, (i) হতে,

∠COE = 110°

বা, প্রবৃদ্ধ ∠COE = 360° - 110°

বা, প্রবৃদ্ধ ∠COE = 250° (Ans)

2. ৬.১৪ নং চিত্রে XY এবং MN রেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে। যদি ∠POY =90° এবং a : b =2 : 3 হয় তবে c এর মান নির্ণয় করো।

Solution²:

প্রদত্ত,

∠POY = 90°

a : b = 2 : 3

ধরি,

a = 2x; b=3x

তাহলে,

2x + 3x + ∠POY = 180°

বা, 2x +3x +90° =180° [মান বসিয়ে]

বা, 2x + 3x = 180°-90°

বা, 2x + 3x = 90°

বা, 5x = 90°

বা, x = ^90°/₅

বা, x = 18°

বা, 3x = 18°*3 = 54°

বা, b = 54°

এখন,

বা, ∠MON = 180°

বা, b + c = 180°

বা, 54° + c = 180°

বা, c = 180°-54°

বা, c = 126° [Ans]

3. 6.15 নং চিত্রে ∠PQR = ∠PRQ হলে প্রমাণ করো ∠PQS = ∠PRT।

Solution³:

প্রদত্ত,

∠PQR = ∠PRQ

এখানে,

SQR ও QRT হল সরলরেখা।

সুতরাং,

∠PQS+∠PQR = 180° …..(i)

∠PRQ+∠PRT = 180°…...(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

∠PQS+∠PQR = ∠PRQ+∠PRT

বা, ∠PQS = ∠PRQ+∠PRT-∠PQR

বা, ∠PQS = ∠PRT+(∠PRQ-∠PQR)

বা, ∠PQS = ∠PRT+(∠PRQ-∠PRQ) [যেহেতু, ∠PQR = ∠PRQ]

বা, ∠PQS = ∠PRT+0

বা, ∠PQS = ∠PRT [প্রমাণিত]

4. 6.16 নং চিত্রে, যদি x+y=w+z হয়, তবে প্রমাণ করো, AOB একটি সরলরেখা।

Solution⁴:

দেওয়া আছে,

x+y=w+z

এখন,

x+y+z+w = 360° [∵ একই বিন্দুর চারিপাশে থাকা কোণগুলোর সমষ্টি 360°]

বা, x+y+x+y = 360° [∵ x+y=w+z]

বা, 2x+2y = 360°

বা, 2(x+y) = 360°

বা, x+y = ^360°/₂

বা, x+y = 180°

বা, ∠AOC+∠COB = 180°

অর্থাৎ, AOB একটি সরলরেখা [প্রমাণিত]

5. ৬.১৭ নং চিত্রে, POQ হল একটি সরলরেখা। OR রশ্মি PQ রেখার উপর লম্ব। অপর রশ্মি OS, রশ্মি OP এবং OR এর মধ্যে অবস্থিত। প্রমাণ করো-

∠ROS = ½(∠QOS – ∠POS).

Solution⁵:

OR রশ্মি PQ রেখার উপর লম্ব

∵ ∠POR = ∠QOR

বা, ∠POS + ∠ROS = ∠QOS - ∠ROS

বা, ∠ROS + ∠ROS = ∠QOS - ∠POS

বা, 2∠ROS = ∠QOS - ∠POS

বা, ∠ROS = ½(∠QOS - ∠POS) [প্রমাণিত]

6. দেওয়া আছে ∠XYZ = 64° এবং XY কে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। প্রদত্ত তথ্য হতে একটি চিত্র আঁকো। যদি YQ রশ্মি, ∠ZYP কে সমদ্বিখন্ডিত করে, তবে ∠XYQ এবং এর প্রবৃদ্ধ ∠QYP এর মান নির্ণয় করো।

Solution⁶:

∠XYZ = 64° এবং XY কে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করত যে চিত্র পাওয়া যায় তা নিন্মরুপঃ

এখন, YQ রশ্মি, ∠ZYP কে সমদ্বিখন্ডিত করলে চিত্রটি নিন্মরুপ হয়ঃ

চিত্র অনুযায়ী,

∠XYZ + ∠ZYP = 180°

বা, 64° + ∠ZYP = 180°

বা, ∠ZYP = 180° - 64°

বা, ∠ZYP = 116°

বা, ∠PYQ+∠ZYQ = 116°

বা, ∠ZYQ+∠ZYQ = 116° [∠PYQ=∠ZYQ, কারন YQ রশ্মি, ∠ZYP কে সমদ্বিখন্ডিত করে]

বা, 2∠ZYQ = 116°

বা, ∠ZYQ = 58°

∵ ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ = 64° + 58° = 122° [Ans]

আবার,

শর্তানুসারে,

∠QYP = ∠ZYQ = 58°

বা, প্রবৃদ্ধ ∠QYP = 360° – 58° = 302° [Ans] 

আরওঃ

ত্রিপুরা নবম শ্রেণি গণিতের সকল অধ্যায়