ইউক্লিডীয় সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য – SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-5.1 - অধ্যায় ৫

ইউক্লিডীয় সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য (Euclid’s Definitions, Axioms and Postulates)

ইউক্লিডীয় সমসাময়ীক গ্রিক গণিতবিদগণ জ্যামিতির গুরুত্বপূর্ণ মডেল হিসেবে এই পৃথীবীকে মনে করতেন যেখানে তারা বাস করতেন। তাঁদের চারপাশে দৃশ্যমান বস্তুগুলো থেকে বিন্দু, রেখা, সমতল (বা তল) ইত্যাদির ধারণা গ্রহণ করতেন। মহাকাশ এবং আশপাশে ছড়িয়ে থাকা বিভিন্ন বস্তু পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে জমি ও ঘনবস্তু সম্পর্কিত ধারণার বিকাশ সাধন করতেন। একটি ঘনবস্তুর আকৃতি, আকার, অবস্থান আছে এবং এরা একস্থান থেকে অন্যত্র স্থানান্তরিত হয়। এদের প্রান্তগুলো হল তল (surfaces)। এরা চারপাশের একটি অংশ থেকে অন্যটিকে পৃথক করে এবং এদের কোনো বেধ নেই। তলের প্রান্তরেখাগুলো হল বক্ররেখা (curves) অথবা সরলরেখা (lines)। এই রেখাগুলোর প্রান্তকে (points) বলে। আমরা এখানে ইউক্লিডীয় সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য (Euclid’s Definitions, Axioms and Postulates) নামক ত্রিপুরা মধ্যশিক্ষার বোর্ডের ৯ম শ্রেণির ৫.১ অনুশীলনীর সকল প্রশ্নের উত্তর বা সমাধান প্রদান করেছি। এই অংশে কিছু স্বীকার্য গুরুত্ব পেয়েছে যেগুলো হলোঃ

• যে কোনো বিন্দু থেকে অন্য কোনো বিন্দু পর্যন্ত একটি সরলরেখা আঁকা যেতে পারে।
• একটি সসীম রেখাকে (terminated line) অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যেতে পারে।
• যে কোনো কেন্দ্র এবং যে কোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যেতে পারে।
• সবগুলো সমকোণই একে অপরের সমান হয়।
• যদি দুটি সরলরেখার উপর অপর একটি সরলরেখা পতিত হয়ে রেখাটির একই পাশে যে দুটি অন্তঃকোণ (interior angles) উৎপন্ন করে তাঁদের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা কম হয়, তবে ঐ রেখা দুটিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করলে, রেখা দুটি ওই পাশে মিলিত হবে যে দিকে অন্তঃকোণদ্বয়ের যোগফল দুই সমকোণ থেকে কম।

অনুশীলনী – 5.1

1. নিচের বিবৃতিগুলোর কোনটি সত্য এবং কোনটি মিথ্যা? তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাওঃ

(i) একটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা অতিক্রম করে।

(ii) দুটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে অসংখ্য সরলরেখা অতিক্রম করে।

(iii) একটি খন্ডিত রেখাংশকে উভয়দিকে বর্ধিত করা যেতে পারে।

(iv) যদি দুটি বৃত্ত সমান হয়, তবে তাঁদের ব্যাসার্ধও সমান।

(v) চিত্র 5.9 –এ, যদি AB=PQ এবং PQ=XY হয় তবে AB=XY

সমাধান¹:

(i) মিথ্যা; কারনঃ যদি আমরা একটি কাগজের পৃষ্টে একটি বিন্দু O চিহ্নিত করি। পেন্সিল ও স্কেল ব্যবহার করে আমরা O এর মধ্য দিয়ে যাওয়া অসীম সংখ্যক সরলরেখা আঁকতে পারি।

(ii) মিথ্যা; কারনঃ দুটি বিন্দু P ও Q কাগজে চিহ্নিত করে স্কেল দ্বারা যুক্ত করলে কেবলমাত্র একটি মাত্র সরলরেখা পাওয়া যায়।

(iii) সত্য; কারনঃ ইউক্লিডের স্বীকার্য ২ অনুসারে একটি সসীম রেখাকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যায়।

(iv) সত্য; কারণঃ একটি বৃত্তের অঞ্চলকে অন্য একটি বৃত্তের উপর চাপিয়ে দিলে আমরা যদি তাদেরকে সামঞ্জস্যপূর্ণ দেখতে পাই, তাহলে তাদের সীমানা ও কেন্দ্র মিলে যাবে। সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধ মিলে যাবে বা সমান হবে।

(v) সত্য; কারণঃ ইউক্লিডের স্বতঃসিদ্ধ অনুসারে একই জিনিসের সমান জিনিসগুলো একে অপরের সমান হয়।

2. নিন্মলিখিত প্রতিটি পদের সংজ্ঞা দাও। এটি করতে গিয়ে প্রথমে অন্য কোনো পদকে সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন কি না? এগুলো কি হবে এবং তুমি এদেরকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করবে?

(i) সমান্তরাল সরলরেখা

(ii) লম্বরেখা

(iii) রেখাংশ

(iv) বৃত্তের ব্যাসার্ধ

(v) বর্গ

সমাধান²:

উপরোক্ত পদগুলোকে সঙ্গায়িত করতে গেলে আমাদেরকে বিন্দু, রেখা, রশ্মি, কোণ, তল, বৃত্ত, চতুর্ভুজ কে সঙ্গায়িত করতে হবে, নিচে এগুলো সংজ্ঞায়িত করে অতঃপর প্রদত্ত পদ্গুলোকে সংজ্ঞায়িত করা হলোঃ

বিন্দুঃ আমরা সুঁচালো পেন্সিল দিয়ে কাগজের উপর একটি ডট দিলে বিন্দুর ধারণা পাই। বিন্দুর কোন মাত্রা অর্থাৎ উচ্চতা, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই।

রেখাঃ রেখা সর্বদা সোজা হয় এবং একে উভয়দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যায়। রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই ও কোনো নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যও নেই।

রশ্মীঃ এটি হলো একটি সরলরেখার অংশ। এর একটি প্রান্ত বিন্দু আছে এবং অন্যপ্রান্তটিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যায়।

কোণঃ একটি বিন্দু থেকে দুটি রশ্মি নির্গত হলে যে সামতলিক ক্ষেত্র উৎপন্ন হয় তাকে কোণ বলে।

তলঃ এটি হলো একটি পৃষ্ট। এর ওপর অবস্থিত সকল বিন্দু একই সমতলে অবস্থান করে। চিত্রে টেবিল ও বেঞ্চের তল দেখানো হল।

বৃত্তঃ এটি হল কোনো সমতলে অবস্থিত সেই বিন্দুর সেট, যারা ওই সমতলের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সর্বদা সমান দূরত্বে অবস্থান করে। ওই নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে বলা হয় বৃত্তটির কেন্দ্র।

চতুর্ভুজঃ চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ সামতলিক চিত্রকে চতুর্ভুজ বলে।

নিচে প্রদত্ত পদগুলোর সংজ্ঞা দেওয়া হলোঃ

(i) সমান্তরাল সরলরেখাঃ একই তলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা l ও m-কে পরস্পরের সমান্তরাল সরলরেখা বলা হবে যদি, দেরকে উভয়দিকে অসীম অবধি বর্ধিত করলেও কখনোই ছেদ করবে না। এদেরকে l || m আকারে লেখা হয়।

(ii) লম্বরেখাঃ একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা p ও q-কে পরস্পরের লম্বরেখা বলা হবে যদি সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ সমকোণ হয় এবং এদেরকে p⊥q আকারে লেখা হয়।

(iii) রেখাংশঃ এটি হল রেখার একটি অংশ, যার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। এর দুটি প্রান্তবিন্দু আছে। চিত্রে দেখানো রেখাংশটির দুটি প্রান্তবিন্দু হল A ও B। এটি AB বা BA আকারে লেখা হয়।

(iv) বৃত্তের ব্যাসার্ধঃ বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের ওপ্পর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দুর মধ্যকার দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলা হয়। চিত্রে, P হল বৃত্তের কেন্দ্র এবং Q হল বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। সুতরাং, PQ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

(v) বর্গঃ যে চতুর্ভূজের চারটি কোণের প্রত্যেকটি সমকোণ এবং চারটি বাহু পরস্পর সমান, তাকে বর্গ বলে। চিত্রে PPQRS হল একটি বর্গ বা বর্গক্ষেত্র।

3. নিন্মে প্রদত্ত স্বীকার্য দুটিকে বিবেচনা করোঃ

(i) দুটি প্রদত্ত বিন্দু A ও B এর জন্য, একটি বিন্দু C বিদ্যমান যা A ও B –এর মধ্যবর্তী।

(ii) কমপক্ষে তিনটি বিন্দু বিদ্যমান যারা একই রেখায় অবস্থিত নয়।

এই স্বীকার্য গুলোতে কোনো অসংজ্ঞায়িত পদ আছে কি? এই স্বীকার্যগুলো সংগত কি না?

এরা ইউক্লিডের স্বীকার্যগুলোকে অনুসরণ করে কি না? ব্যাখ্যা করো।

সমাধানঃ

হ্যাঁ, এই স্বীকার্যগুলিতে অসংজ্ঞায়িত পদ রয়েছে যেমন বিন্দু এবং রেখা। এছাড়া এই স্বীকার্যগুলি সঙ্গত কারণ তারা নিচের দুটি বিভিন্ন অবস্থাকে মেনে চলেঃ

i. দুটি প্রদত্ত বিন্দু A ও B-এর জন্য অপর একটি বিন্দু C ঐ রেখায় A ও B এর মধ্যে অবস্থান করে।

ii. দুটি প্রদত্ত বিন্দু A ও B-এর জন্য, A ও B-এর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখা AB-এর বাইরে অপর একটি বিন্দু C নেওয়া যায়।

এই স্বীকার্যটি ‘ইউক্লিডের স্বীকার্য’ মেনে চলে না। এটি নিন্মোক্ত এই স্বতঃসিদ্ধকে মেনে চলেঃ “প্রদত্ত দুটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে একটি অনন্য রেখা অঙ্কন করা যায়।”

4. যদি C বিন্দুটি A ও B –এর পরবর্তী এমন যে  AC=BC হয়, তবে প্রমাণ করো  AC= ½ AB। চিত্র এঁকে ব্যাখ্যা করো।

সমাধান⁴:

দেওয়া আছে,

AC=BC

বা, AC+AC = BC+AC [উভয়পক্ষে AC যোগ করে]

বা, 2AC = AB

বা, AC = ½ AB [প্রমাণিত]

5. 4নং প্রশ্নে C-কে AB-এর মধ্যবিন্দু বলা হয়। প্রমাণ করো প্রতিটি রেখাংশের একটি এবং কেবলমাত্র একটি মধ্যবিন্দু থাকে।

সমাধান⁵:

ধরি, প্রদত্ত রেখা AB এর দুটি মধ্যবিন্দু C ও D রয়েছে।

তাহলে,

AC = ½ AB …..(i)

AD = ½ AB ….(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

AC = AD = ½ AB

বা, AC = AD

এখন যেহেতু A, C ও D একই সরলরেখায় অবস্থিত সেহেতু AC=AD হবে যখন C ও D বিন্দু একই বিন্দু হবে। অর্থাৎ, প্রতিটি রেখাংশের একটি এবং কেবলমাত্র একটি মধ্যবিন্দু থাকে।

6. 5.10 চিত্রে, যদি AC=BD হয়, তবে প্রমাণ করো যে AB=CD।

সমাধান⁶:

দেওয়া আছে,

AC=BD

বা, AB+BC = BC+CD

বা, AB+BC-BC = BC+CD-BC [উভয়পক্ষ থেকে BC বিয়োগ করে]

বা, AB = CD [Proved]

7. ইউক্লডের স্বতঃসিদ্ধ তালিকার 5 নং স্বতসিদ্ধকে কেন একটি সার্বজনীন সত্য হিসেবে বিবেচিত হয়? (লক্ষ করো এ প্রশ্নটি পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধের সাথে সম্পর্কিত নয়)।

সমাধানঃ

বিবৃতিটি সব পরিস্থিতিতেই সত্য। তাই এটি একটি সর্বজনীন সত্য বলে বিবেচিত হয়। 

আরওঃ

ত্রিপুরা নবম শ্রেণি গণিতের সকল অধ্যায়