দ্বিচলরাশি বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের লেখচিত্র

Admin SMB

25 October

বন্ধুরা, আমরা এই পোস্টে ত্রিপুরা গনিতের সমাধান অংশে দ্বিচলরাশি বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের লেখচিত্র নামক অনুশীলনী ৪.৩ এর সকল প্রশ্নের উত্তর প্রদান করেছি। এই অংশে মোট ৮টি প্রশ্ন আছে এবং আমরা সকল প্রশ্নের যথাযথ উত্তর প্রদান করেছি। এই দ্বিচলরাশি বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের লেখচিত্র এ আমরা সমীকরণ গঠন ও লেখচিত্র অঙ্কন করেছি। চল, সমাধানগুলো দেখে নেই, উল্লেখ্য তোমাদের কোন জিজ্ঞাসা ও মতামত থাকলে আমাদের জানিও।

অনুশীলনী-4.3

1. নিচের প্রতিটি দ্বিচলরাশি বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করোঃ

(i) x+y=4

(ii) x-y=2

(iii) y=3x

(iv) 3=2x+y

সমাধান¹:

(i) x+y=4

বা, y=4-x

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	0	4
y	4	0

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (0,4), (4,0) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই x+y=4 এর লেখচিত্র।

(ii) x-y=2

বা, -y=2-x

বা, y=x-2

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	0	2
y	-2	0

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (0,-2), (2,0) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই x-y=2 এর লেখচিত্র।

(iii) y=3x

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	-1	1
y	-3	3

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (-1,-3), (1,3) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই y=3x এর লেখচিত্র।

(iv) 3=2x+y

বা, 3-y=2x

বা, -y=2x-3

বা, y=3-2x

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	0	³/₂
y	3	0

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (0,3), (³/₂,0) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই 3=2x+y এর লেখচিত্র।

2. (2,14) বিন্দুগামী দুটি রেখার সমীকরণ দাও। এরূপ আরো কতগুলো রেখা আছে এবং কেন?

সমাধানঃ

(2,14) বিন্দুগামী দুটি রেখার সমীকরণ হলোঃ

x+y=16

2x+y=18

অর্থাৎ, এরুপ আরো অসংখ্য রেখা আছে কারনঃ (2,14) একটি মাত্র বিন্দু সেইহেতু এই বিন্দু দিয়ে অসংখ্য রেখা পাওয়া যেতে পারে।

3. যদি (3,4) বিন্দুটি 3y=ax+7 সমীকরণের লেখচিত্রে অবস্থিত হয়, তবে a এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান³:

3y=ax+7

বা, 3×4=a×3+7 [x=3, y=4 বসিয়ে]

বা, 12=3a+7

বা, 3a+7=12

বা, 3a=12-7

বা, 3a=5

বা, a=⁵/₃

4. একটি শহরের ট্যাক্সি ভাড়া নিন্মরূপঃ প্রথম 1 কিমি এর জন্য ভাড়া 8 টাকা এবং পরবর্তী প্রতি কিমি দূরত্বের ভাড়া 5 টাকা। অতিক্রম করা দূরত্ব x কিমি এবং মোট ভাড়াকে y টাকা ধরে, এই তথ্যটি নিয়ে একটি রৈখিক সমীকরণ লেখ এবং এর একটি লেখচিত্র অঙ্কন করো।

সমাধান⁴:

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব x কিমি;

মোট ভাড়া y টাকা;

শর্তমতে,

y = 8 + (x-1)×5

বা, y = 8+5x-5

বা, y=5x+3

বা, 5x-y+3=0

অর্থাৎ, নির্ণেয় সমীকরণঃ 5x-y+3=0

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	0	^-3/₅
y	3	0

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (0,3), (^-3/₅,0) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই 5x-y+3=0 এর লেখচিত্র।

5. নিচে উল্লেখিত বিকল্পগুলো হতে, সঠিক সমীকরণটি বেছে নাও যাদের লেখচিত্র, চিত্র 4.6 এবং চিত্র 4.7 এ প্রদত্ত।

চিত্র 4.6 এর জন্য

(i) y=x

(ii) x+y=0

(iii) y=2x

(iv) 2+3y=7x

চিত্র 4.7 এর জন্য

(i) y=x+2

(ii) y=x-2

(iii) y=-x+2

(iv) x+2y=6

সমাধান⁵:

চিত্র 4.6 লেখচিত্রে প্রদত্ত বিন্দুত্রয় হলোঃ (-1,1), (0,0) এবং (1,-1);

এখন,

(i) y=x

বা, 1 = -1 যা অসম্ভব [বিন্দু (-1,1) এর জন্য]

আবার,

0 = 0 [বিন্দু (0,0) এর জন্য]

আবার,

-1 = 1 যা অসম্ভব [বিন্দু (1,-1) এর জন্য]

ফলাফলঃ y=x, 4.6 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ নয়।

(ii) x+y=0

বা, -1+1 = 0 [বিন্দু (-1,1) এর জন্য]

আবার,

0+0 = 0 [বিন্দু (0,0) এর জন্য]

আবার,

1-1 = 0 [বিন্দু (1,-1) এর জন্য]

ফলাফলঃ x+y=0, 4.6 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ।

(iii) y=2x

বা, 1 = 2×(-1) যা অসম্ভব [বিন্দু (-1,1) এর জন্য]

আবার,

0 = 2×0 [বিন্দু (0,0) এর জন্য]

আবার,

1 = 2×1 যা অসম্ভব [বিন্দু (1,-1) এর জন্য]

ফলাফলঃ y=2x, 4.6 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ নয়।

(iv) 2+3y=7x

বা, 2+3×1 = 7×1 [বিন্দু (-1,1) এর জন্য]

বা, 5 = 7 যা অসম্ভব

আবার,

2+3×0 = 7×0 [বিন্দু (0,0) এর জন্য]

বা, 2 + 0 = 0

বা, 2 = 0 যা অসম্ভব

আবার,

2+3×(-1) = 7×1 [বিন্দু (1,-1) এর জন্য]

বা, 2-3 = 7

বা, -1 = 7 যা অসম্ভব

ফলাফলঃ 2+3y=7x, 4.6 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ নয়।

চিত্র 4.7 লেখচিত্রে প্রদত্ত বিন্দুত্রয় হলোঃ (-1,3), (0,2) এবং (2,0);

এখন,

(i) y=x+2

বা, 3 = -1+2 [বিন্দু (-1,3) এর জন্য]

বা, 3=1 যা অসম্ভব

আবার,

2 = 0+2 [বিন্দু (0,2) এর জন্য]

বা, 2=2

আবার,

0 = 2+2 [বিন্দু (2,0) এর জন্য]

বা, 0 = 4 যা অসম্ভব

ফলাফলঃ y=x+2, 4.7 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ নয়।

(ii) y=x-2

বা, 3 = -1-2 [বিন্দু (-1,3) এর জন্য]

বা, 3=-3 যা অসম্ভব

আবার,

3 = 0-2 [বিন্দু (0,2) এর জন্য]

বা, 3=-2 যা অসম্ভব

আবার,

3 = 0-2 [বিন্দু (2,0) এর জন্য]

বা, 3 = -2 যা অসম্ভব

ফলাফলঃ y=x-2, 4.7 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ নয়।

(iii) y=-x+2

বা, 3 = -(-1)+2 [বিন্দু (-1,3) এর জন্য]

বা, 3=3

আবার,

2 = -0+2 [বিন্দু (0,2) এর জন্য]

বা, 2=2

আবার,

0 = -2+2 [বিন্দু (2,0) এর জন্য]

বা, 0 = 0

ফলাফলঃ y=-x+2, 4.7 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ।

(iv) x+2y=6

বা, -1+2×3 = 6 [বিন্দু (-1,3) এর জন্য]

বা, 5=6 যা অসম্ভব

আবার,

0+2×2 = 6 [বিন্দু (0,2) এর জন্য]

বা, 4=6 যা অসম্ভব

আবার,

2+2×0 = 6 [বিন্দু (2,0) এর জন্য]

বা, 2 = 6 যা অসম্ভব

ফলাফলঃ x+2y=6, 4.7 লেখচিত্রে প্রদত্ত সঠিক সমীকরণ নয়।

6. একটি ধ্রুবক বল একটি বস্তুর উপর প্রযুক্ত হওয়ার ফলে যে কার্যের সৃষ্টি হয় তা যদি অতিক্রান্ত দূরত্বের প্রত্যক্ষ সমানুপাতিক হয়, তাহলে এই উক্তিটিকে দুটি চলক বিশিষ্ট সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং ধ্রুবক বলকে 5 একক হিসেবে ধরে একটি লেখচিত্র অঙ্কন করো। এ লেখচিত্র থেকে বস্তুর দ্বারা সৃষ্ট কার্যের পরিমাণ নির্ণয় করো, যদি অতিক্রান্ত দূরত্ব-

(i) 2 একক এবং

(ii) 0 একক হয়।

সমাধানঃ

ধরি,

ধ্রুবক বল = k একক;

কার্য = y একক;

অতিক্রান্ত দূরত্ব = x একক;

প্রশ্নানুসারে,

y ∝ x

বা, y = k.x

এখন, k=5 একক ধরলে,

y=5x

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	1	-1
y	5	-5

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (1,5), (-1,-5) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই y=5x এর লেখচিত্র।

এখন অতিক্রান্ত দূরত্ব (x)-

(i) 2 একক হলে, কার্য y = 5×2 একক = 10 একক।

(ii) 0 একক হলে, কার্য y = 5×0 একক = 0 একক।

7. একটি বিদ্যালয়ের নবম শ্রেণির দুইটি ছাত্রী যামিনী এবং ফাতিমা ভূমিকম্পে বিধ্বস্ত পীড়িতদের সাহায্যের জন্য্য প্রধানমন্ত্রীর ত্রাণ তহবিলে একত্রে 100 টাকা দান করেছে। একটি রৈখিক সমীকরণ লেখো যা এ তথ্যকে সিদ্ধ করে। (তাদের দানের পরিমাণ যথাক্রমে x টাকা এবং y টাকা ধরতে পারো) এ সমীকরণের লেখচিত্র আঁকো।

সমাধান⁷:

ধরি,

যামিনীর দানের পরিমান x টাকা;

ফাতিমার দানের পরিমান y টাকা;

তাহলে, শর্তানুসারে,

x+y=100 যা নির্ণেয় সমীকরণ।

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	0	100
y	100	0

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (0,100), (100,0) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই x+y=100 এর লেখচিত্র।

8. আমেরিকা (USA) এবং কানাডার মতো দেশে তাপমাত্রা মাপা হয় ফারেনহাইট স্কেলে, যেখানে ভারতবর্ষের মতো দেশে তা মাপা হয় সেলসিয়াস স্কেলে। এখানে ফারেনহাইট স্কেল থেকে সেলসিয়াস স্কেলে রুপান্তরিত করার জন্য একটি রৈখিক সমীকরণ দেওয়া হলঃ

F= (⁹/₅)C+32

(i) x অক্ষকে সেলসিয়াস এবং y অক্ষকে ফারেনহাইট ধরে উপরোক্ত সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করো।

সমাধান⁸⁽ⁱ⁾:

দেওয়া আছে,

F= (⁹/₅)C+32

প্রশ্নানুসারে,

y= (⁹/₅)x+32

এখন, x এর দুইটি মানের জন্য y এর দুইটি মান নির্ণয় করিঃ

x	0	-40
y	32	-40

এখন ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (x,y) এর প্রাপ্ত মান (0,32), (-40,-40) কে স্থাপন করি এবং তাদেরকে একটি রেখা দ্বারা সংযুক্ত করি। উক্ত রেখাটিই F= (⁹/₅)C+32 এর লেখচিত্র।

(ii) কোনো বস্তুর তাপমাত্রা 30°C, ফারেনহাইট স্কেলে এই তাপমাত্রা কত হবে?

সমাধান⁸⁽ⁱⁱ⁾:

F= (⁹/₅)C+32

বা, F= (⁹/₅)×30+32 [যখন, C=30]

বা, F=9×6+32

বা, F=54+32

বা, F=86

∵ কোনো বস্তুর তাপমাত্রা 30°C, ফারেনহাইট স্কেলে এই তাপমাত্রা 86°F

(iii) কোনো বস্তুর তাপমাত্রা 95°F, সেলসিয়াস স্কেলে এই তাপমাত্রা কত হবে?

সমাধান⁸⁽ⁱⁱⁱ⁾:

F= (⁹/₅)C+32

বা, 95=(⁹/₅)C+32 [যখন, F=95]

বা, (⁹/₅)C=95-32

বা, (⁹/₅)C=63

বা, 9C=63×5

বা, 9C=315

বা, C=³¹⁵/₉

বা, C=35

∵ কোনো বস্তুর তাপমাত্রা 95°F, সেলসিয়াস স্কেলে এই তাপমাত্রা 35°C

(iv) 0°C তাপমাত্রা ফারেনহাইট স্কেলে কত হবে? 0°F তাপমাত্রা সেলসিয়াস স্কেলে কত হবে?

সমাধান^8(iv):

F= (⁹/₅)C+32

বা, F= (⁹/₅)×0+32 [যখন, C=0]

বা, F=0+32

বা, F=32

অর্থাৎ, 0°C তাপমাত্রা ফারেনহাইট স্কেলে হবে 32°F

F= (⁹/₅)C+32

বা, 0=(⁹/₅)C+32 [যখন, F=0]

বা, (⁹/₅)C=0-32

বা, (⁹/₅)C=-32

বা, 9C=-32×5

বা, 9C=-160

বা, C=^-160/₉

অর্থাৎ, 0°F তাপমাত্রা ফারেনহাইট স্কেলে হবে (^-160/₉)°C

(v) এমনকি কোনো তাপমাত্রা আছে যার সাংখ্যমান ফারেনহাইট এবং সেলসিয়াস স্কেলে সমান? যদি থাকে তবে বের করো।

সমাধান^8(v):

F= (⁹/₅)C+32

বা, a= (⁹/₅)a+32 [F=C=a ধরে]

বা, 32=a-(⁹/₅)a

বা, 32=(^5a/₅)-(^9a/₅)

বা, 32=^(5a-9a)/₅

বা, 160=5a-9a

বা, 160=-4a

বা, a=¹⁶⁰/_-4

বা, a=-40

অর্থাৎ, ফারেনহাইট এবং সেলসিয়াস স্কেলে সমান তাপমাত্রা আছে আর তা হলো -40°

আরওঃ

ত্রিপুরা নবম শ্রেণি গণিতের সকল অধ্যায়