বীজগাণিতিক অভেদ - SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-2.5 - অধ্যায়-2

বীজগাণিতিক অভেদ - SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-2.5 - অধ্যায়-2, বীজগাণিতিক অভেদ সূত্র, Indian Tripura Math class 9, Scert Tripura Math,
Admin SMB
Admin SMB
25 July

বীজগাণিতিক অভেদ

বীজগাণিতিক সমীকরণের চলকের যে কোন মানের জন্য উভয়দিকের ফলাফলের সমতা বজায় থাকলে সেই সকল সমীকরণকে আমরা বীজগাণিতিক অভেদ বলে থাকি। তোমরা আগের শ্রেণিগুলোতে নিন্মলিখিত বীজগাণিতিক অভেদগুলো সম্পর্কে পড়েছঃ

  1. (x+y)2 = x2+2xy+y2
  2. (x-y)2 = x2-2xy+y2
  3. x2-y2 = (x+y)(x-y)
  4. (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab

এই অধ্যায়ে তোমরা আরও কিছু বীজগাণিতিক অভেদ সম্পর্কে জানবে, যা তোমরা এই অনুশীলনীর সকল সধানের সাথে জানতে পারবে। তাই চল সমাধান গুলো অনুসরণ করি- 

বীজগাণিতিক অভেদ

অনুশীলনী-2.5

1. উপযুক্ত অভেদ প্রয়োগ করে নিন্মের গুণফলগুলো নির্ণয় করোঃ

(i) (x+4)(x+10)

(ii) (x+8)(x-10)

(iii) (3x+4)(3x-5)

(iv) (y2+3/2)(y2-3/2)

(v) (3-2x)(3+2x)

সমাধান1:

(i) (x+4)(x+10)

= x2 + (4+10)x + 4×10 [যেহেতু, অভেদঃ (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab]

= x2 + 14x + 40

(ii) (x+8)(x-10)

= x2 +{8+(-10)}x + 8×(-10) [যেহেতু, অভেদঃ (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab]

= x2 – 2x - 80

(iii) (3x+4)(3x-5)

= (3x)2 + {4 + (-5)}3x + 4×(-5) [যেহেতু, অভেদঃ (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab]

= 9x2 – 5×3x – 20

= 9x2 – 15x - 20

(iv) (y2+3/2)(y2-3/2)

= (y2)2 – (3/2)2 [যেহেতু, অভেদঃ x2-y2 = (x+y)(x-y)]

= y4 – 9/4

(v) (3-2x)(3+2x)

= 32 – (2x)2

= 9 – 4x2 [যেহেতু, অভেদঃ x2-y2 = (x+y)(x-y)]


2. সরাসরি গুণ না করে নিন্মলিখিত গুণফল নির্ণয় করোঃ

(i) 103×107

(ii) 95×96

(iii) 104×96

সমাধান2:

(i) 103×107

= (100+3)(100+7)

= 1002 + (3+7)×100 + 3×7 [যেহেতু, অভেদঃ (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab]

= 10000 + 10×100 + 21

= 10000 + 1000 + 21

=11021

(ii) 95×96

= (100-5)(100-4)

= 1002 + (-5-4)×100 + (-5)×(-4) [যেহেতু, অভেদঃ (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x + ab]

= 10000 – 9×100 + 20

= 10000 – 900 + 20

= 9120

(iii) 104×96

= (100+4)(100-4)

= 1002 - 42 [যেহেতু, অভেদঃ x2-y2=(x+y)(x-y)]

= 10000 – 16

= 9984


3. উপযুক্ত অভেদ প্রয়োগ করে নিন্মলিখিতগুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ

(i) 9x2+6xy+y2

(ii) 4y2-4y+1

(iii) x2-y2/100

সমাধান3:

(i) 9x2+6xy+y2

= (3x)2 + 2.3x.y + y2 [যেহেতু্‌,,(x+y)2=x2+2xy+y2]

= (3x + y)2

= (3x+y)(3x+y)

(ii) 4y2-4y+1

= (2y)2 – 2.2y.1 + 12 [যেহেতু্‌,,(x-y)2=x2-2xy+y2]

= (2y – 1)2

= (2y-1)(2y-1)

(iii) x2-y2/100

= x2 - (y/10)2

= (x – y/10)(x+y/10) [যেহেতু্‌,,(x-y)2=(x+y)(x-y)]


4. উপযুক্ত অভেদ প্রয়োগ করে নিন্মের প্প্রত্যেকটির বিস্তৃত করোঃ

(i) (x+2y+4z)2

(ii) (2x-y+z)2

(iii) (-2x+3y+2z)2

(iv) (3a-7b-c)2

(v) (-2x+5y-3z)2

(vi) [¼a – ½b +1]2

সমাধান4:

(i) (x+2y+4z)2

= x2 + (2y)2 + (4z)2 +2.x.2y + 2.2y.4z + 2.4z.x [কারনঃ অভেদঃ (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx]

= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx 

(ii) (2x-y+z)2

= (2x)2 + (-y)2 + (z)2 + 2.(2x).(-y) + 2.(-y).(z) + 2(z)(2x) [(i) এ উল্লেখিত অভেদ অনুসারে]

= 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz +4zx

(iii) (-2x+3y+2z)2

= (-2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2.(-2x).(3y) + 2.(3y).(2z) + 2.(2z).(-2x) [অভেদসূত্রঃ(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx অনুসারে]

= 4x2 + 9y2 + 4z2 -12xy + 12yz – 8zx

(iv) (3a-7b-c)2

= (3a)2 + (-7b)2 + (-c)2 + 2.(3a).(-7b) + 2.(-7b).(-c) + 2.(-c).(3a)

= 9a2 + 49b2 + c2 -42ab + 14bc – 6ca [অভেদসূত্রঃ(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca অনুসারে]

(v) (-2x+5y-3z)2

= (-2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2.(-2x).(5y) + 2.(5y).(-3z) + 2.(-3z).(-2x)

= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx

(vi) [¼a – ½b +1]2

= (¼a)2 + (-½b)2 + (1)2 + 2.(¼a).(-½b) + 2.(-½b).(1) + 2.(1).(¼a)

= 1/16a2 + ¼b2 + 1 – ¼ab – b + ½a      

 

5. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ

(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy - 24yz - 16xz

(ii) 2x2 + y2 + 8z2 - 2√2xy + 4√2yz - 8xz

সমাধান5:

(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy - 24yz - 16xz

= (2x)2 + (3y)2 + (-4z)2 + 2.(2x).(3y) + 2.(3y).(-4z) + 2.(-4z).(2x)

= (2x+3y-4z)2 [অভেদসূত্রঃ(a + b + c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca অনুসারে]

= (2x+3y-4z)(2x+3y-4z)

(ii) 2x2 + y2 + 8z2 - 2√2xy + 4√2yz - 8xz

= (-√2x)2 + (y)2 + (2√2z)2 + 2.(-√2x).(y) + 2.(y).(2√2z) + 2.(2√2z).(-√2x)

= (-√2x + y + 2√2z)2 [অভেদসূত্রঃ (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca অনুসারে]

= (-√2x + y + 2√2z)(-√2x + y + 2√2z)


6. নিচের ঘনগুলোকে বিস্তৃত রুপে লেখঃ

(i) (2x+1)3

(ii) (2a-3b)3

(iii) [3/2x+1]3

(iv) [x-2/3y]3

সমাধান6:

নিন্ম সমাধানকৃত ঘনকগুলোর ক্ষেত্রে অভেদসূত্র (x+y)3= x3+y3+3xy(x+y) এবং (x-y)3 = x3 – y3 -3xy(x-y) ব্যবহার করা হয়েছে।

(i) (2x+1)3

= (2x)3 + 13 + 3.2x.1(2x+1)

= 8x3 + 1 +6x(2x+1)

= 8x3 + 1 + 12x2 + 6x

= 8x3 +12x2 + 6x + 1

(ii) (2a-3b)3

= (2a)3 – (3b)3 – 3.2a.3b(2a-3b)

= 8a3 – 27b3 – 18ab(2a-3b)

= 8a3 – 27b3 – 36a2b + 54ab2

(iii) [3/2x+1]3

= (3/2x)3+13 + 3.(3/2x).1.(3/2x+1)

= 27/8x3 + 1 + 9/2x(3/2x+1)

= 27/8x3 + 1 +27/4x2+ 9/2x  

= 27/8x3 + 27/4x2+ 9/2x + 1

(iv) [x-2/3y]3

= x3 – (2/3y)3 – 3.x.(2/3y)(x-2/3y)

= x3 – 8/27y3 – 2xy(x-2/3y)

= x3 – 8/27y3 – 2x2y +4/3xy2


7. উপযুক্ত অভেদ প্রয়োগে নিন্মলিখিত মান নির্ণয় করোঃ

(i) (99)3

(ii) (102)3

(iii) (998)3

সমাধান7:

নিন্ম সমাধানকৃত ঘনকগুলোর ক্ষেত্রে অভেদসূত্র (x+y)3= x3+y3+3xy(x+y) এবং (x-y)3 = x3 – y3 -3xy(x-y) ব্যবহার করা হয়েছে।

(i) (99)3

= (100-1)3

= 1003 – 13 – 3.100.1.(100-1)

= 1000000 – 1 – 300(100-1)

= 1000000 – 1 – 30000 + 300

= (1000000+300) – (1+30000)

= 1000300 – 30001

= 970299

(ii) (102)3

= (100+2)3

= 1003+23+3.100.2.(100+2)

= 1000000 + 8 + 600(100+2)

= 1000000 + 8 + 60000 + 1200

= 1061208

(iii) (998)3

= (1000-2)3

= 10003-23-3.1000.2.(1000-2)

= 1000000000 – 8 – 6000(1000-2)

= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000

= (1000000000 + 12000) – (8+6000000)

= 1000012000 – 6000008

= 994011992


8. নিচের প্রত্যেকটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ

(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2

(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2

(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2

(v) 27p3 – 1/216 – 9/2p2 + 1/4p

সমাধান8:

নিন্ম সমাধানকৃত ঘনকগুলোর ক্ষেত্রে অভেদসূত্র (x+y)3= x3+y3+3xy(x+y) এবং (x-y)3 = x3 – y3 -3xy(x-y) ব্যবহার করা হয়েছে।

(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2

= (2a)3 + b3 + 6ab(2a+b)

= (2a)3 + b3 + 3.2a.b(2a+b)

= (2a+b)3

= (2a+b)(2a+b)(2a+b)

(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2

= (2a)3 – b3 – 6ab(2a-b)

= (2a)3 – b3 – 3.2a.b(2a-b)

= (2a-b)3

= (2a-b)(2a-b)(2a-b)

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2

= 33 – (5a)3 – 45a(3-5a)

= 33 – (5a)3 – 3.3.5a(3-5a)

= (3-5a)3

= (3-5a)(3-5a)(3-5a)

(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2

= (4a)3 – (3b)3 – 36ab(4a-3b)

= (4a)3 – (3b)3 – 3.4a.3b(4a-3b)

= (4a-3b)3

= (4a-3b)(4a-3b)(4a-3b)

(v) 27p3 – 1/216 – 9/2p2 + 1/4p

= (3p)3 – (1/6)3 – 3/2p(3p-1/6)

= (3p)3 – (1/6)3 – 3.3p.1/6.(3p-1/6)

= (3p-1/6)3

= (3p-1/6) (3p-1/6) (3p-1/6)


9. যাচাই করোঃ

(i) x3 + y3 = (x+y)(x2-xy+y2)

(ii) x3 – y3 = (x-y)(x2+xy+y2)

সমাধান9:

(i)

আমরা জানি,

(x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

বা, x3+y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y) [পক্ষান্তর করে]

বা, x3+y3 = (x+y){(x+y)2-3xy}

বা, x3+y3 = (x+y)(x2+2xy+y2-3xy)

বা, x3+y3 = (x+y)(x2-xy+y2) [যাচাই করা হলো]

(ii)

আমরা জানি,

(x-y)3 = x3-y3-3xy(x-y)

বা, x3-y3 = (x-y)3+3xy(x-y)

বা, x3-y3 = (x-y){(x-y)2+3xy}

বা, x3-y3 = (x-y)(x2-2xy+y2+3xy)

বা, x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2) [যাচাই করা হলো]


10. নিন্মলিখিত প্রতিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ

(i) 27y2 + 125z3

(iii) 64m3 – 343n3

[সংকেতঃ প্রশ্ন 9 দেখো]

সমাধান10:

(i) 27y2 + 125z3

= (3y)3+(5z)3

= (3y+5z){(3y)2-3y.5z+(5z)2}

= (3y-5z)(9y2-15yz+25z2)

(iii) 64m3 – 343n3

= (4m)3-(7n)3

= (4m-7n){(4m)2-4m.7n+(7n)2}

= (4m-7n)(16m2-28mn+49n)


11. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ

27x3 + y3 + z3 – 9xyz

সমাধান11:

27x3 + y3 + z3 – 9xyz

= (3x)3 + y3 + z3 – 3.3x.y.z

= (3x+y+z){(3x)2+y2+z2-3x.y-y.z-z.3x)}

= (3x+y+z)(9x2+y2+z2-3xy-yz-3zx)


12. যাচাই করো যে,

x3 + y3 + z3 – 3xyz = ½(x+y+z)[(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2]

সমাধান12:

বামপক্ষ

= x3 + y3 + z3 – 3xyz

= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

= ½(x+y+z)(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx)

= ½(x+y+z)(x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx+x2+y2+z2)

= ½(x+y+z)(x2-2xy+y2+y2-2yz+z2+z2+2zx+x2)

= ½(x+y+z)[(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2]

= ডানপক্ষ [যাচাই করা হলো]


13. যদি হয় x+y+z = 0, তবে দেখাও যে x3 + y3 + z3 = 3xyz

সমাধান13:

দেওয়া আছে,

x+y+z = 0

বা, (x+y) = -z ……..(i)

বা, (x+y)3 = (-z)3

বা, x3+y3+3xy(x+y) = -z3

বা, x3+y3+z3 = -3xy(x+y) [পক্ষান্তর করে]

বা, x3+y3+z3 = -3xy.(-z) [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, x3+y3+z3 = 3xyz [দেখানো হলো]


14. প্রকৃত ঘন এর মান নির্ণয় করে নিন্মলিখিত প্রত্যেকটির মান নির্ণয় করোঃ

(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3

(ii) (28)3 + (-15)3 + (-13)3

সমাধান14:

(i)

ধরি, a = -12; b=7; c=5;

এখন অভেদ সূত্রানুসারে,

a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

বা, a3+b3+c3 = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) + 3abc …… (i)

এখন,

a+b+c = -12+7+5 [মান বসিয়ে]

বা, a+b+c = 0 ….. (ii)

(ii) নং হতে মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

a3+b3+c3 = 0×(a2+b2+c2-ab-bc-ca) + 3abc

বা, a3+b3+c3 = 0 +3abc

বা, a3+b3+c3 = 3abc

এখন,

3abc

= 3.(-12).7.5

= -1260

অতএব,

a3+b3+c3 = -1260

বা, (-12)3 + (7)3 + (5)3 = -1260

(ii)

ধরি, a=28; b=-15; c=-13;

তাহলে, a+b+c = 28-15-13 = 0 ….. (i)

এখন অভেদ সূত্রানুসারে,

a3+b3+c3-3abc

= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

= 0×(a2+b2+c2-ab-bc-ca) [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

= 0

অর্থাৎ,

a3+b3+c3-3abc = 0

বা, a3 + b3 +c3 = 3abc = 3.28.(-15).(-13) = 16380

বা, (28)3 + (-15)3 + (-13)3 = 16380


15. নিন্মে প্রদত্ত আয়তগুলোর ক্ষেত্রফল থেকে তাদের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্ভাব্য রাশি নির্ণয় করোঃ

(i) ক্ষেত্রফলঃ 25a2 – 35a + 12

(ii) ক্ষেত্রফলঃ 35y2 + 13y - 12

সমাধান15:

(i) 25a2 – 35a + 12

= (5a)2 – 30a +9 – 5a + 3

= (5a)2 – 2.5a.3 + 32 -5a + 3

= (5a-3)2 – 1(5a-3)

= (5a-3)(5a-3-1)

= (5a-3)(5a-4)

অথবা,

25a2 – 35a + 12

= 25a2 – 15a – 20a + 12

= 5a(5a-3) – 4(5a-3)

= (5a-4)(5a-3)

অতএব, আয়তটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্ভাব্য মান যথাক্রমে 5a-3 এবং 5a-4.

(ii) 35y2 + 13y – 12

= 35y2 - 15y + 28y – 12

= 5y(7y-3)+4(7y-3)

= (5y+4)(7y-3)

অতএব, আয়তটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্ভাব্য মান যথাক্রমে 5y+4 এবং 7y-3.


16. নিচে যে আয়তঘনগুলোর আয়তন দেওয়া হয়েছে তাদের সম্ভাব্য মাত্রা কী হবে?

(i) আয়তনঃ 3x2 – 12x

(ii) আয়তনঃ 12ky2 + 8ky – 20k

সমাধান16:

(i) 3x2 – 12x

= 3x(x-4)

= 3.x.(x-4)

অতএব, আয়তঘনTটির সম্ভাব্য মাত্রাঃ 3, x, x-4

(ii) 12ky2 + 8ky – 20k

= 4k(3y2 + 2y – 5)

= 4k(3y2-3y+5y-5)

= 4k{3y(y-1)+5(y-1)}

= 4k(3y+5)(y-1)

অতএব, আয়তঘনTটির সম্ভাব্য মাত্রাঃ 4k, (3y+5), (y-1)


আরওঃ

ত্রিপুরা নবম শ্রেণির সকল অধ্যায় 

Tags: Class 9 Math Tripura
Make CommentWrite Comment