ভাগশেষ উপপাদ্য ও বহুপদ রাশিমালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ - SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-2.4 - অধ্যায়-2

ভাগশেষ উপপাদ্য

একটি ধণাত্মক মাত্রার বহুপদ q(x) কে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা x-a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে q(a) এর সমান, এই প্রক্রিয়াটিকে ভাগশেষ উপদাদ্য বলা হয়। যেমনঃ q(x) = x²-x-6 কে x-3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ q(3) এর সমান হয় কিনা যাচাই করে দেখি। x²-x-6 = x²-3x+2x-6 = x(x-3)+2(x-3) = (x-3)(x+2). যেহেতু, x-3 হলো x²-x-6 এর একটি উৎপাদক যেহেতু x²-x-6 কে x-3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে। অর্থাৎ q(3) = 0 হতে হবে। এখন q(x) = x²-x-6; অতএব, q(3) = 3²-3-6 = 9-3-6 = 0. আমরা এই অধ্যায়ে ভাগশেষ উপপাদ্য এর এই নিয়মকে ব্যবহার করে সকল গাণিতিক প্রশ্নের উত্তর প্রদান করব। তাহলে চল শুরু করি-

বহুপদ রাশিমালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ

আমরা এই অনুশীলনীতে মূলত বহুপদ রাশিমালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব যা তোমরা নিচে প্রদত্ত সকল গাণিতিক প্রশ্নের সমাধানে পেয়ে যাবে। এটা অনুশীলনী-2.4 ত্রিপুরা গণিত সমাধান যা নবম শ্রেণির জন্য প্রযোজ্য। চলো সমাধান শুরু করি-

অনুশীলনী-2.4

1. নিচের বহুপদ রাশিমালার কোনগুলোর উৎপাদক (x+1) হয় তা নির্নয় করো :

(i) x³ + x² + x + 1

(ii) x⁴ + x³ + x² + x +1

(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1

(iv) x³ – x² – (2 + √2)x + √2

[বিদ্রঃ আমরা সহজে ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে এই প্রশ্নের সমাধান করিতে পারি, যা সমাধানে দেখানো হলো।]

সমাধান¹:

মনে করি, x+1 = 0, অর্থাৎ x = -1

(i) ধরি, p(x) = x³ + x² + x + 1

∵p(-1)

= (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1

= -1 + 1 – 1 + 1

= 2 – 2

= 0

∴ x³ + x² + x + 1 এর একটি উৎপাদক হলো x+1

(ii) ধরি, q(x) = x⁴ + x³ + x² + x +1

∵q(-1)

=  (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) +1

= 1 – 1 + 1 – 1 + 1

= 3 -2

= 1

∴ x⁴ + x³ + x² + x +1 এর একটি উৎপাদক x+1 নয়।

(iii) ধরি, m(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1

∵m(-1)

= (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1

= 1 + 3(-1) + 3.1 – 1 + 1

= 1 – 3 + 3 – 1 + 1

= 5 - 4

= 1

∴ x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 এর একটি উৎপাদক x+1 নয়।

(iv) ধরি, n(x) = x³ – x² – (2 + √2)x + √2

∵n(-1)

= (-1)³ – (-1)² – (2 + √2)(-1) + √2

= -1 – 1 – 2(-1) -√2(-1) + √2

= -1 – 1 + 2 + √2 + √2

= - 2 + 2 + 2√2

= 2√2

∴ x³ – x² – (2 + √2)x + √2 এর একটি উৎপাদক x+1 নয়।

2. গুণনীয়ক উপপাদ্য প্রয়োগে নিচের প্রতিটি ক্ষেত্রে p(x) –এর একটি উৎপাদক g(x) হয় কি না নির্ণয় করো :

(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x+1

সমাধান²⁽ⁱ⁾:

g(x) = x+1 = 0 হলে, x = -1

∵p(-1)

= 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1

= 2(-1) + 1 + 2 – 1

= - 2 + 1 + 2 – 1

= 3 – 3

= 0

∴p(x)–এর একটি উৎপাদক g(x).

(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x+2

সমাধান²⁽ⁱⁱ⁾:

g(x) = x+2 = 0 হলে, x = -2

∵p(-2)

= (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1

= - 8 + 4.3 – 6 + 1

= - 8 + 12 – 6 + 1

= - 14 + 13

= - 1

∴p(x)–এর একটি উৎপাদক g(x) নয়।

(iii) p(x)= x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x-3

সমাধান²⁽ⁱⁱⁱ⁾:

g(x) = x-3 = 0 হলে, x = 3

∵p(3)

= 3³ – 4.3² + 3 + 6

= 27 – 4.9 + 3 + 6

=27 – 36 + 3 + 6

= 36 – 36

= 0

∴p(x)–এর একটি উৎপাদক g(x).

3. নিচের প্রতিটি ক্ষেত্রে p(x)-এর একটি উৎপাদক যদি (x+1) হয় তবে k-এর মান নির্ণয় করো :

(i) p(x) = x² + x + k

(ii) p(x)=2x² + kx+ √2

(iii) p(x)=kx²-√2x + 1

(iv) p(x)=kx² – 3x + k

[বিদ্রঃ এখানেও আমরা ভাগশেষ উপপাদ্য দ্বারা সহজে k এর মান বের করিতে পারব।]

সমাধান³:

যদি p(x)-এর একটি উৎপাদক (x+1) হয় তবে x=-1 এর জন্য p(-1) = 0 হবে।

সেক্ষেত্রে,

(i) p(-1) = x² + x + k

বা, p(-1) = (-1)² + (-1) + k

বা, 0 = 1 - 1 + k

বা, k = 0

[বিদ্রঃ পাঠ্যপুস্তকে প্রদেয় উত্তরমালা একটি উৎপাদক (x-1) এর জন্য প্রদান করা হয়েছে, সেই হেতু আমাদের উত্তর পাঠ্যবইয়ের উত্তরের সহিত মিলিবে না।]

(ii) p(-1)=2x² + kx+ √2

বা, 0 = 2.(-1)² + k.(-1)+ √2

বা, 2 - k+ √2 = 0

বা, -k = -2 - √2

বা, k = 2 + √2

(iii) p(-1)=kx²-√2x + 1

বা, p(-1)=k(-1)²-√2(-1) + 1

বা, 0 = k + √2 + 1

বা, k = -(√2 + 1)

(iv) p(-1)=kx² – 3x + k

বা, p(-1)=k.(-1)² – 3.(-1) + k

বা, 0 = k + 3 + k

বা, 2k + 3 = 0

বা, 2k = -3

বা, k = - ³/₂

4. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো :

(i) 12x² – 7x + 1

(ii) 2x² + 7x + 3

(iii) 6x² + 5x – 6

(iv) 3x² –x – 4

সমাধান⁴:

(i) 12x² – 7x + 1

= 12x² – 4x – 3x + 1

= 4x(3x-1) – 1(3x-1)

= (4x-1)(3x-1)

(ii) 2x² + 7x + 3

= 2x² + 6x + x + 3

= 2x(x+3) + 1(x+3)

= (2x+1)(x+3)

(iii) 6x² + 5x – 6

= 6x² + 9x – 4x – 6

= 3x(2x+3) – 2(2x+3)

= (3x-2)(2x+3)

(iv) 3x² –x – 4

= 3x² – 4x + 3x – 4

= x(3x-4) +1(3x-4)

= (x+1)(3x-4)

5. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো :

(i) x³ – 2x² – x + 2

(ii) x³ – 3x² – 9x – 5

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20

(iv) 2y³ + y² – 2y – 1

[বিদ্রঃ এখানে আমরা ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে বিভিন্ন মানের জন্য p(a) এর মান শুণ্য হয় কিনা যাচাই করে সহজে একটি উৎপাদক নির্নয় করে ফলাফল বের করতে পারব।]

সমাধান⁵:

(i) x³ – 2x² – x + 2

= x²(x-2) – 1(x-2)

= (x²-1)(x-2)

= (x-1)(x+1)(x-2)

(ii) x³ – 3x² – 9x – 5

= x²(x+1) – 4x² – 9x – 5

= x²(x+1) – 4x(x+1) – 5x – 5

= x²(x+1) – 4x(x+1) – 5(x+1)

= (x+1)(x²-4x-5)

= (x+1)(x² – 5x + x -5)

= (x+1){x(x-5) + 1(x-5)}

= (x+1)(x+1)(x-5)

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20

= x²(x+1) + 12x² + 32x + 20

= x²(x+1) + 12x(x+1) + 20x + 20

= x²(x+1) + 12x(x+1) + 20(x+1)

= (x+1)(x²+12x+20)

= (x+1)(x²+10x+2x+20)

= (x+1){x(x+10)+2(x+10)}

= (x+1)(x+2)(x+10)

(iv) 2y³ + y² – 2y - 1

= 2y²(y-1) + 3y² – 2y – 1

= 2y²(y-1) + 3y(y-1) + y – 1

= 2y²(y-1) + 3y(y-1) + 1(y-1)

= (y-1)(2y²+3y+1)

= (y-1)(2y²+2y+y+1)

= (y-1){2y(y+1)+1(y+1)}

= (y-1)(y+1)(2y+1)

আরওঃ

ত্রিপুরা নবম শ্রেণির সকল অধ্যায়