বহুপদ রাশিমালার শূন্য ও ভাগশেষ উপপাদ্য - SCERT Tripura Class 9 Math – অনুশীলনী-2.3 - অধ্যায়-2
বহুপদ রাশিমালার শূন্য
বন্ধুরা, আমাদের এই অধ্যায় হলো ত্রিপুরা বাংলা মাধ্যম গণিতের অনুশীলনী 2.3 এর প্রশ্নের সমাধান যার নাম ভাগশেষ উপপাদ্য যেখানে বিশেষভাবে বহুপদ রাশিমালার শূন্য টার্মটি ব্যবহৃত হয়েছে, অর্থাৎ যেখানে শূন্যকে বিশেষভাবে ব্যবহার করা হয়। যেমনঃ কোন একটি রাশি যদি অপর একটি রাশির উৎপাদক হয় তাহলে সেক্ষেত্রে ভাগশেষ 0 হবে। ধরি, p রাশিটি q এর একটি উৎপাদক তাহলে, q ÷ p = 0 হবে। আবার, x-m যদি q(x) এর উৎপাদক হয় তাহলে, q(m) = 0 হবে। কিন্তু q(m) = 0 না হয় এবং q(m) = n হয় তাহলে x-m, q(x) এর উৎপাদক হবে না বরং n হবে q(x) কে x-m দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগশেষ। অতএব, বহুপদ রাশিমালার শূন্য অধ্যায়ে প্রশ্নের সমাধানে আমরা উপরে আলোচিত বিষয়ের প্রয়োগ করব। আর এই পদ্ধতি সহজ পদ্ধতি, যদি তোমরা চাও সরাসরি ভাগ প্রক্রিয়া দ্বারা সকল সমাধান করতে পার। তাহলে চল শুরু করি-
ভাগশেষ উপপাদ্য
বন্ধুরা আমাদের আজকের অনুশীলনী-২.৩ যার নাম ভাগশেষ উপপাদ্য, ভাগশেষ উপপাদ্য এর সম্পর্কে জানতে উপরে প্রদত্ত ছবি এবং এখানে ক্লিক করে জানতে পার। তাহলে চল আমরা প্রশ্নের সমাধান শুরু করিঃ-
অনুশীলনী-২.৩
1. ভাগশেষ
নির্ণয় করো, যখন x3 + 3x2 + 3x + 1 কে নিন্মলিখিত রাশিমালা দিয়ে
ভাগ করা হয়-
(i) x+1
(ii) x –
½
(iii) x
(iv) x+
π
(v) 5+2x
সমাধান1:
(i) মনে করি,
x + 1 = 0
∵x =
-1
আবার, ধরি,
p(x) = x3+3x2+3x +1
∵p(-1)
= (-1)3
+ 3(-1)2 + 3(-1) + 1
= -1 + 3
– 3 + 1
= 0
অর্থাৎ, x3
+ 3x2 + 3x + 1 কে x+1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 0.
(ii) মনে
করি, x – ½ = 0
∵ x
= ½
আবার, ধরি,
p(x)= x3+3x2+3x+1
∵p(½)
= (½)3
+ 3(½)2 + 3(½) + 1
= 1/8
+ 3× 1/4 + 3× ½ +1
= 1/8
+ 3/4 + 3/2 +1
= 27/8
সুতরাং, x3
+ 3x2 + 3x + 1 কে x – ½ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 27/8.
(iii) ধরি,
x = 0 এবং p(x)= x3 +3x2 +3x +1
তাহলে,
p(0)
= 03
+ 3.02 + 3.0 + 1
= 0 + 0
+ 0 + 1
= 1
এই কারনে,
x3+ 3x2+ 3x+ 1 কে x দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 1.
(iv) x+ π = 0 হলে, x = - π
এখন ধরি,
g(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
সেক্ষেত্রে, g(-π)
= (-π)3 + 3(-π)2 + 3(-π) + 1
= -π3 + 3 π2 - 3π + 1
অর্থাৎ, x3+
3x2+ 3x+ 1 কে x+ π
দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় -π3 + 3 π2 - 3π + 1.
(v) 5+2x
= 0 হলে, 2x = -5 বা, x = -5/2
এখন ধরি,
k(x) =x3+ 3x2+ 3x+ 1
∵k(-5/2)
= (-5/2)3
+ 3(-5/2)2 + 3(-5/2) + 1
= - 125/8
+ 3× 25/4 – 3× 5/2 + 1
= - 125/8
+ 75/4 – 15/2 + 1
= -27/8
সুতরাং, x3+
3x2+ 3x +1 কে 5+2x দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় -27/8.
2. ভাগশেষ
নির্ণয় করো যখন x3 – ax2 + 6x – a কে x-a দিয়ে ভাগ করা হয়।
সমাধান2:
x-a = 0 হইলে,
x = a.
এখন ধরি,
g(x) = x3 – ax2 + 6x – a
তাহলে,
g(a)
= a3
– a.a2 + 6a – a
= a3
– a3 + 6a – a
=5a
∵নির্নেয়
ভাগশেষ = 5a.
3. 7 +
3x রাশিটি 3x3 + 7x এর একটি উৎপাদক কি না পরীক্ষা করো।
সমাধান3:
ধরি, 7 +
3x = 0
বা, 3x =
- 7
বা, x =
- 7/3
এখন মনে করি, p(x) = 3x3 + 7x
∵P(-7/3)
= 3(-7/3)3
+ 7(-7/3)
= 3(-7×7×7/3×3×3)
- 7(7/3)
= - 343/9
– 49/3
= -490/9
যেহেতু, p(-7/3) = 0 নয় সেহেতু, 7 + 3x রাশিটি 3x3 + 7x এর একটি উৎপাদক নয় (পরীক্ষা করা হলো)।
আরওঃ