অনুক্রম ও ধারা (২)– Class 9 Math BD 2024 – দ্বিতীয় অধ্যায় (অনুশীলনীর প্রশ্নঃ ৫- ১১ পর্যন্ত) – Part 2
অনুক্রম ও ধারা
এটা অনুক্রম
ও ধারা অধ্যায়ের ২য় অংশ যেখানে ৫-১১ পর্যন্ত
সমাধান করা হয়েছে। অনুক্রম ও
ধারা অধ্যায়ের অনুশীলনীতে কিছু
সমস্যা আমরা খুঁজে পেয়েছি যেগুলো আমরা আরও বিস্তর বিশ্লেষন সাপেক্ষে সমাধান প্রদান
করব যা আমরা প্রশ্নের সাথে উল্লেখ করেছি। তাহলে চল শুরু করি। উল্লেখ এই অধ্যায়ের আলোচনা
অংশের অংশগুলো পরে প্রকাশ করব। ধন্যবাদ।
৫.
ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।
[বিদ্রঃ অনুক্রম
ও ধারা অধ্যায়ের এই ৫ নং সমস্যার ছক পূরণ করেই প্রকাশ করা হলো। কিভাবে ছক এ উত্তর বসানো
হয়েছে তা ছকের নিচে সূত্র সহকারে বিস্তারিত দেয়া হয়েছে।]
|
ক্রমিক
নং
|
১ম
পদ
a |
সাধারণ
অনুপাত
r |
পদসংখ্যা
n |
nতম
পদ
an |
সমষ্টি
Sn |
|
i.
|
128
|
½
|
9
|
½
|
511/2
|
|
ii.
|
1
|
-3
|
8
|
-2187
|
-1640
|
|
iii.
|
1/√2
|
-√2
|
9
|
8√2
|
(31/√2 - 7)
|
|
iv.
|
2
|
-2
|
7
|
128
|
86
|
|
v.
|
2
|
2
|
7
|
128
|
254
|
|
vi.
|
12
|
2
|
7
|
768
|
1524
|
|
vii.
|
27
|
1/3
|
5
|
1/3
|
121/3
|
|
viii.
|
3
|
4
|
6
|
3072
|
4095
|
সমাধানঃ
i.
an
= arn-1
বা, ½ =
128(½)n-1 [মান বসিয়ে..]
বা, (½)n-1
= 1/256
বা, (½)n-1
= (½)8
বা, n-1
= 8
বা, n =
9
আবার,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = 128(1- ½9) ÷ (1- ½ ) [মান বসিয়ে..]
বা, Sn = 128(1- 1/512) ÷ ½
বা, Sn = 128(511/512)×2
বা, Sn = 511/2
ii.
an
= arn-1
বা, -2187
= a(-3)8-1 [মান বসিয়ে..]
বা, -2187
= a(-3)7
বা, -2187
= -2187a
বা, a =
1
এবং,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
Sn = 1{1-(-3)8} ÷ {1-(-3)} [মান বসিয়ে..]
Sn = (1-6561) ÷ 4
Sn = -6560 ÷ 4
Sn = -1640
iii.
an
= arn-1
বা, 8√2 = (1/√2)(-√2)n-1 [মান বসিয়ে..]
বা, 8√2×√2 = (-√2)n-1
বা, 16 =
(-√2)n-1
বা, (-√2)n-1 = (-√2)8
বা, n-1
= 8
বা, n =
9
আবার,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = (1/√2){1-(-√2)9} ÷ {1-(-√2)} [মান বসিয়ে]
বা, Sn = (1/√2){19-(-√2)9} ÷ {1-(-√2)}
বা, Sn = (1/√2)[(13)3-{(-√2)3}3]÷ {1-(-√2)}
বা, Sn
= (1/√2)[{(13-(-√2)3}{(13)2+13.(-√2)3+{(-√2)3}2]÷
{1-(-√2)} [সূত্র a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2
ব্যবহার করে]
বা, Sn = (1/√2)[{1-(-√2)}{12+1.(- √2)+(- √2)2}{1-2√2+8}] ÷ {1-(-√2)} [সূত্র a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2 ব্যবহার করে]
বা, Sn = (1/√2)[{1-(-√2)}(1- √2+2){1-2√2+8} ÷ {1-(-√2)}
বা, Sn
= (1/√2)(1-
√2+2)(1-2√2+8)
বা, Sn
= (1/√2)(1-
√2+2 - 2√2 + 4 +4√2 + 8 - 8√2 + 16)
বা, Sn
= (1/√2)(-7√2
+ 31)
বা, Sn
= (1/√2)(31-7√2)
বা, Sn
= (31/√2 - 7)
iv.
an
= arn-1
বা, 128
= a(-2)7-1
বা, 128
= a(-2)6
বা, 128
= 64a
বা, a =
2
এবং,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = 2{1-(-2)7} ÷ {1-(-2)}
বা, Sn = 2{1-(-128)} ÷ (1+2)
বা, Sn = 2(1+128) ÷ (1+2)
বা, Sn = 2×129 ÷ 3
বা, Sn = 86
v.
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 254
= 2(1-2n) ÷ (1-2)
বা, 254
= 2(1-2n) ÷ (-1)
বা, 254
= -2(1-2n)
বা, 1-2n = -127
বা, -2n = -128
বা, 2n = 128
বা, 2n = 27
বা, n = 7
আবার,
an
= arn-1
বা, an
= 2.27-1
বা, an
= 128
vi.
an
= arn-1
বা, 768
= 12rn-1
বা, rn-1=768/12
বা, rn-1=64
বা, rn/r=64
বা, rn=64r …….(i)
আবার,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 1524 = 12(1-rn) ÷ (1-r)
বা, (1-rn)
÷ (1-r) = 1524/12
বা, (1-rn) ÷ (1-r) = 127
বা, (1-rn) = 127(1-r)
বা, 1-rn
= 127-127r
বা, -rn
= 127-127r - 1
বা, -rn
= 126-127r
বা, rn = 127r – 126 ………(ii)
(i) ও (ii)
থেকে পাই,
64r = 127r – 126
বা, 64r
– 127r = 126
বা, 63r
= 126
বা, r = 126/63
বা, r =
2
এখন, r এর
মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2n=64×2
বা, 2n=128
বা, 2n
= 27
বা, n =
7
vii.
an
= arn-1
বা, 1/3
= 27(1/3)n-1
বা, 27(1/3)n-1
= 1/3
বা, (1/3)n-1
= 1/3×27
বা, (1/3)n-1
= 1/81
বা, (1/3)n-1
= (1/3)4
বা, n-1
= 4
বা, n =
5
এবং,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = 27{1-(1/3)5} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = 27{1-1/243} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (27-27/243} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (27-1/9} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (243/9-1/9) ÷ (3/3-1/3)
বা, Sn = 242/9 ÷ 2/3
বা, Sn = 242/9 × 3/2
বা, Sn = 121/3
viii.
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 4095 = a(1-46) ÷ (1-4)
বা, 4095 = a(1-4096) ÷ (-3)
বা, 4095 = a(-4095) ÷ (-3)
বা, 4095
= 1365a
বা, a = 4095/1365
বা, a = 3
আবার,
an
= arn-1
বা, an
= 3.46-1
বা, an
= 3.45
বা, an
= 3072
৬.
ক) ছক- ১ এর অনুক্রমটি নিবিড়ভাবে পর্যবেক্ষণ করো। অতঃপর ১০ম চিত্রটি গঠন করে কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ছক – ১ এর
অনুক্রমের চিত্রটি পর্যবেক্ষন করি। প্রতিটি চিত্রে, চিত্র সংখ্যার সমান সংখ্যক কয়েন
এর সারি আছে, এক সারি থেকে অপর সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার 1 এবং ১ম সারিতে 1টি মাত্র
কয়েন আছে।
তাহলে,
১০ম চিত্রে,
কয়েন এর সারি
সংখ্যা n = 10
সারি থেকে
সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার বা সাধারণ অন্তর d = 1
১ম সারিতে
কয়েনের সংখ্যা a = 1
অতএব,
১০ম চিত্রে
মোট কয়েন এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.10(2.1+(10-1)1
= 5(2+9.1)
= 5(2+9)
= 5×11
= 55
ফলে, দশম
পদ 55 এর জন্য চিত্রটি নিন্মরুপঃ
|
•
•• ••• •••• ••••• •••••• ••••••• •••••••• ••••••••• •••••••••• |
খ) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে nতম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ছক – ১ এর
অনুক্রমের চিত্রটি পর্যবেক্ষন করি। প্রতিটি চিত্রে, চিত্র সংখ্যার সমান সংখ্যক কয়েন
এর সারি আছে, এক সারি থেকে অপর সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার 1 এবং ১ম সারিতে 1টি মাত্র
কয়েন আছে।
তাহলে,
nতম চিত্রে,
কয়েন এর সারি
সংখ্যা = n
সারি থেকে
সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার বা সাধারণ অন্তর d = 1
১ম সারিতে
কয়েনের সংখ্যা a = 1
অতএব,
nতম চিত্রে
মোট কয়েন এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.n{2.1 + (n - 1)1}
= ½.n{2 + (n - 1)}
= ½.n(2 + n – 1)
= ½.n(n + 1) [Ans.]
গ) n = 5 হলে, ছক-২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলো নির্ণয় করো এবং দেখাও যে, nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 2n সূত্রকে সমর্থন করে।
সমাধানঃ
ছক – ২ পর্যবেক্ষন
করে পাই,
প্রতিটি সারিতে
১ম ও শেষ সংখ্যা হলো 1 এবং মাঝের সংখ্যাগুলো হলো পূর্বের সারির পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার
যোগফলের সমান।
সেইঅনুসারে,
n = 5 এর ক্ষেত্রে আমরা পাই,
অতএব,
n = 5 হলে,
ছক-২ এর ২য়
কলামের সংখ্যাগুলোঃ 1, 5, 10, 10, 5, 1
nতম
সারির
সংখ্যাগুলোর
সমষ্টিঃ
১ম সারির
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2 = 21
২য় সারির
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 4 = 22
৩য় সারির
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 8 = 23
৪র্থ সারির
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 16 = 24
∴ nতম
সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2n [দেখানো হলো]
ঘ)
প্রতিটি সারির সমষ্টিগুলো নিয়ে একটি ধারা তৈরি করো এবং ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2046 হলে, n এর মান নির্ণয়
করো।
সমাধানঃ
প্রতিটি সারির
সমষ্টিগুলো নিয়ে একটি ধারা তৈরি করা হলো যা নিন্মরুপঃ
2 + 4 +
8 + 16 + …………….
এখন,
ধারাটিতে,
১ম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত
r = 4 ÷ 2 = 2
পদসংখ্যা
= n
সমষ্টি Sn
= 2046
আমরা জানি,
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, 2046
= 2(1-2n) ÷ (1-2)
বা, 2046
= 2(1-2n) ÷ (-1)
বা, 2046
= -2(1-2n)
বা, -2(1-2n) = 2046
বা, 1-2n = -1023
বা, -2n = -1023 – 1
বা, -2n = -1024
বা, 2n = 1024
বা, 2n
= 210
বা, n = 10
৭. n এর মান নির্ণয় করো, যেখানে n ∈ N.
[বিদ্রঃ ∑
এর উপর n এবং নিচে k=1 সাইটে
লেখা না যাওয়ায় শুধুমাত্র ∑ দ্বারা
প্রকাশ করেছি; তোমরা পাঠ্যপুস্তক অনুসারে লিখবে।]
i. ∑ (20 - 4k) = -20
সমাধানঃ
এখানে, k
= 1, 2, 3, ……. n
∵ (20 – 4.1) + (20 – 4.2) + (20 – 4.3) + ………. (20 – 4n)
= -20
বা, 20n
– 4(1+2+3+…..n) = -20
বা, 20n – 4.½.n{2.1 + (n - 1)1} = -20 [Sn = ½.n{2a + (n - 1)d} এর সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 20n – 2.n(2 + n – 1) = -20
বা, 20n – 2n(n + 1) = -20
বা, 20n – 2n2 – 2n = -20
বা, -2n2
+ 18n = -20
বা, -2n2
+ 18n + 20 = 0
বা, 2n2-
18n -20 = 0
বা, n2
– 9n – 10 = 0
বা, n2
– 10n + n – 10 = 0
বা,
n(n-10) + 1(n-10) = 0
বা,
(n+1)(n-10) = 0
বা, n+1
= 0 অথবা, n-10 = 0
বা, n =
-1 বা, n = 10
n এর মান
ঋণাত্মক হতে পারে না; অর্থাৎ n = 10.
ii. ∑ (3k + 2) = 1105
সমাধানঃ
এখানে, k
= 1, 2, 3, ……. n
∵ (3.1 + 2) + (3.2 + 2) +(3.3 + 2) +………+ (3.n + 2) = 1105
বা,
3(1+2+3+……n) + 2n = 1105
বা, 3.½.n{2.1
+ (n - 1).1} + 2n = 1105 [Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d} এর
সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 3.½.n{2
+ n - 1} + 2n = 1105
বা, 3.½.n(n + 1) + 2n = 1105
বা, 3.½.(n2 + n) + 2n = 1105
বা, 3.(n2
+ n) + 4n = 2210 [উপয়পক্ষকে
2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3n2+3n+4n
= 2210
বা, 3n2+7n
– 2210 = 0
বা, 3n2-78n
+ 85n – 2210 = 0
বা,
3n(n-26) + 85(n – 26) = 0
বা,
(n-26)(3n+85) = 0
বা, n-26
= 0 অথবা, 3n+85 = 0
বা, n =
26 বা, 3n = - 85 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য
নয়]
∵ n
= 26
iii. ∑ (-8). (0.5)k-1 = -255/16
সমাধানঃ
এখানে, k
= 1, 2, 3, ……. n
∵ (-8). (0.5)1-1 + (-8). (0.5)2-1 + (-8). (0.5)3-1 +…….+ (-8). (0.5)n-1 = -255/16
বা, (-8). {(0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1}= -255/16
বা, (-8). {(0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1}= -255/16
বা, (0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1= 255/128
বা, {(0.5)0}(1-0.5n) ÷
(1-0.5) = 255/128 [Sn = a(1-rn)
÷ (1-r) সূত্রমতে]
বা, 1.(1-0.5n)
÷ 0.5 = 255/128
বা, (1-0.5n)
÷ 0.5 = 255/128
বা, (1-½n)
÷ ½ = 255/128
বা, (1-½n)
= 255/256
বা, -½n
= 255/256 - 1
বা, -½n
= 255/256 - 1
বা, -½n
= -1/256
বা, ½n
= 1/256
বা, ½n = ½8
বা, n
= 8
iv. ∑ (3)k-1 = 3280
সমাধানঃ
এখানে, k
= 1, 2, 3, ……. n
∵ (3)1-1 + (3)2-1 + (3)3-1 +……… +(3)n-1 = 3280
বা, (3)0 + (3)1 + (3)2 +……… +(3)n-1 = 3280
বা, (3)0.(1-3n) ÷ (1-3) = 3280
বা, 1.(1-3n) ÷ (-2) = 3280
বা, (1-3n) = 3280×(-2)
বা, 1-3n = -6560
বা, -3n = -6560-1
বা, -3n = -6561
বা, 3n = 6561
বা, 3n = 38
বা, n = 8
৮. একটি সমান্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় ও ১০তম পদ যথাক্রমে একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম, চতুর্থ ও ১৭তম পদের সমান।
ক) সমান্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d এবং গুণোত্তর সাধারণ অনুপাত r হলে, ধারা দুইটি সমন্বয়ে দুইটি সমীকরণ গঠন করো।
সমাধানঃ
সূত্র অনুসারে,
সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে nতম পদ an=a+(n−1)d
গুণত্তর ধারার
ক্ষেত্রে nতম পদ bn=a⋅r(n−1)
প্রদত্ত সমান্তর
ধারায়,
১ম পদ =
a
২য় পদ =
a+d
১০ম পদ =
a+(10-1)d = a+9d
প্রদত্ত গুণোত্তর
ধারায়,
১ম পদ =
a
৪র্থ পদ
= ar4-1 = ar3
১৭তম পদ
= ar17-1= ar16
শর্ত অনুসারে,
a+d = ar3
[সমান্তরের ২য় পদ = গুণোত্তরের ৪র্থ পদ]
a+9d =
ar16 [সমান্তরের ১০ম পদ = গুণোত্তরের ১৭তম পদ]
∵ নির্নেয়
দুইটি সমীকরণঃ a+d = ar3 ও a+9d = ar16
খ) সাধারণ অনুপাত r এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ক হতে পাই,
a+d = ar3
বা, 1+d/a
= r3 [a দ্বারা ভাগ করে]
বা, r = 3√(1+d/a) …..(i)
গ) গুণোত্তর ধারাটির ১০তম পদ 5120 হলে, a ও d এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
পরে দেয়া
হবে…..
ঘ)
সমান্তর ধারাটির ১ম 20টি পদের সমষ্টি
নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
পরে দেয়া
হবে…..
৯.
একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু
সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। ওই ত্রিভুজের বাহুগুলোর
মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। এইভাবে পর্যায়ক্রমে ১০টি ত্রিভুজ অঙ্কন করলে এবং সর্ববহিস্থ ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 64 মিমি হলে, সবগুলো ত্রিভুজের পরিসীমার সমষ্টি কত হবে নির্ণয়
করো।
সমাধানঃ
একটি সমবাহু
ত্রিভুজ ABC আঁকি যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 64 মিমি অর্থাৎ ABC ত্রিভুজের পরিসীমা =
3×64mm = 192mm. এখন ABC এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ
DEF আঁকি। এখন আমরা জানি, ত্রিভূজের যেকোনো
দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা উহার তৃতীয় বাহুর অর্ধেক। তাহলে, DF = ½AC = ½×64mm
= 32mm. এখন, যেহেতু অঙ্কিত DEF সমবাহু ত্রিভুজ
সেহেতু DE=EF=DF=32mm অর্থাৎ DEF এর পরিসীমা = 3×32mm = 96mm. আবার, DEF এর বাহুগুলোর
মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ GHI আঁকি। তাহলে, GH=HI=IG= ½×32mm =
16mm অর্থাৎ GHI এর পরিসীমা = 3×16mm = 48mm. একইভাবে পর্যায়ক্রমে ১০টি ত্রিভুজ আঁকি।
এখন, এইভাবে
পর্যায়ক্রমে যদি অসীম ত্রিভুজ আঁকা হয় তাহলে আমরা ত্রিভুজগুলোর পরিসীমাগুলোকে একটি
ধারা আকারে লিখতে পারি যা নিন্মরুপঃ
192 + 96
+ 48 + ……………………..
ধারাটিতে,
১ম পদ a = 192
সাধারন অনুপাত
r = 96 ÷ 192 = ½
তাহলে,
এই
ধারার nতম পদের সমষ্টি
Sn
= a(1-rn) ÷ (1-r)
= 192(1- ½n) ÷ (1- ½)
শর্তানুসারে,
অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা 10 অর্থাৎ n=10 এর ক্ষেত্রে, ধারাটির সমষ্টি
= 192(1- ½10) ÷ (1- ½)
= 192(1-
½10) ÷ ½
= 384(1- ½10)
= 384(1- 1/1024)
= 384 - 384/1024
= 384 - 3/8
= 3069/8 মিমি (Ans.)
১০. শাহানা তার শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে একটি চারা গাছ রোপণ করল। এক বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা 1.5 ফুট হলো। পরবর্তী বছর এর উচ্চতা 0.75 ফুট বৃদ্ধি পেল। প্রতি বছর গাছটির উচ্চতা পূর্বের বছরের বৃদ্ধিপ্রাপ্ত উচ্চতার 50% বাড়ে। এভাবে বাড়তে থাকলে 20 বছর পরে গাছটির উচ্চতা কত ফুট হবে?
সমাধানঃ
১ বছর পর
চারা গাছটির উচ্চতা = 1.5 ফুট
২ বছর পর
চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 ফুট
৩ বছর পর
চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 এর 50% ফুট = 0.375 ফুট
৪ বছর পর
চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.375 এর 50% ফুট = 0.1875 ফুট
তাহলে, উচ্চতা
বৃদ্ধির ধারাঃ 0.75 + 0.375 + 0.1875 + …………
এখানে,
a =
0.75; r = 0.375 ÷ 0.75
=0.1875 ÷ 0.375 = ½;
এবং, n =
19 কারণ গাছের বৃদ্ধি ২য় বছর থেকে শুরু হয়।
তাহলে, nতম
বছরে গাছের মোট বৃদ্ধির পরিমাণ Sn
= a(1-rn) ÷ (1-r)
= 0.75(1- ½19) ÷ (1- ½)
= 0.75(1- ½19) ÷ ½
= 1.5(1- ½19)
= 1.5(1- 1/524288)
= 1.5(524287/524288)
= 1.49999714
ফুট
তাহলে, ২০
বছরে গাছটির উচ্চতা হবে
= ১ম বছরেরের
গাছের উচ্চতা + ১৯ বছরের গাছটির বৃদ্ধি
= 1.5 + 1.49999714 ফুট
= 2.99999714
ফুট
১১. তুমি তোমার পরিবারের গত ছয় মাসের খরচের হিসাব জেনে নাও। প্রতি মাসের খরচকে একেকটি পদ বিবেচনা করে সম্ভব হলে একটি ধারায় রূপান্তর করো। তারপর নিচের সমস্যাগুলো সমাধানের চেষ্টা করো।
ক) ধারা তৈরি করা সম্ভব হয়েছে কী? হলে, কোন ধরনের ধারা পেয়েছ ব্যাখা করো।
সমাধানঃ
হ্যাঁ ধারা
তোরি করা হয়েছে। আমি একটি সামন্তর ধারা পেয়েছি।
গত ছয় মাসে
আমার পরিবারের খরচ নিন্মরুপঃ
|
মাস
|
খরচ (টাকা)
|
|
১ম
|
6000
|
|
২য়
|
6200
|
|
৩য়
|
6400
|
|
৪র্থ
|
6600
|
|
৫ম
|
6800
|
|
৬ষ্ট
|
7000
|
এখানে, a
= 6000; d = 6200 – 6000 = 200; n = 6; অর্থাৎ এটি একটি সমান্তর ধারা।
খ) ধারার সমষ্টিকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করো।
সমাধানঃ
উপরোক্ত তথ্য
হতে আমরা যে ধারাটি পাই তা নিন্মরুপঃ
6000 +
6200 + 6400 + ………………..
= 6000 +
(6000+200) + (6000 + 200 + 200) + …………
= a +
(a+d) + (a+d+d) + ……….. [১ম পদ, 6000 =
a, সাধারন অন্তর 200 = d ধরে]
= a +
(a+d) + (a+2d) + ………. (a+nd) [পদসংখ্যা n
হলে]
= an + d{(1+2+3+…….(n-1)}
= an +
d.n/2(n-1) [1+2+3+…….(n-1)= n/2(n-1)
সূত্রমতে]
= 2an/2
+ d.n/2(n-1)
= ½n{2a+(n-1)d}
= ধারার সমষ্টি
Sn
অতএব, প্রাপ্ত সমীকরণ, Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
গ) পরবর্তী ছয় মাসে সম্ভাব্য মোট কত খরচ হতে পারে তা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
উপরোক্ত তথ্য
হতে, পরবর্তি ১ম মাসের খরচ = 7000 + 200 = 7200
∵ পরবর্তী
ছয় মাসের মোট খরচ
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.6{2.7000 + (6 - 1)200}
= 3(14000 + 5×200)
= 3(14000 + 1000)
= 3×15000
= 45000 টাকা।
ঘ)
পরিবারের মাসিক/বার্ষিক খরচ সম্পর্কে তোমার উপলব্ধিবোধ লিপিবদ্ধ করো।
সমাধানঃ
পারিবারিক খরচ সম্পর্কে আমার উপলব্ধি হলো বর্তমান বাজার ব্যবস্থায় আমাদের খরচ দিন দিন বৃদ্ধি পাচ্ছে।
এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ