বিস্তার পরিমাপ - Class 9 Math BD 2024 – নবম অধ্যায় (অনুশীলনীঃ ১-৫ পর্যন্ত) - Part - 1
বিস্তার পরিমাপ
এই অধ্যায়ের নাম বিস্তার পরিমাপ যেখানে আমরা নানান বিষয়ে ধারণা পাব। যেমনঃ অবিন্যস্ত ও বিন্যস্ত উপাত্তের পরিসর নির্ণয়; গাণিতিক গড় ও মধ্যক থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়; পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়, ভেদঙ্ক নির্ণয় ও পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়। এই অংশে আমরা বিস্তার পরিমাপ এর অনুশীলনীর ১-৫ পর্যন্ত সমাধান দিয়েছি। বাকী অংশ পরের পোস্টে দেয়া হয়েছে।
অনুশীলনী-১০ (১ম অংশ)
১. নিচের তথ্যরাশির পরিসর নির্ণয় করো।
ক) 14, 3, 19, 17, 4, 9, 16, 19, 22, 15, 18, 17, 12, 8, 16, 11, 3, 11, 0, 15
সমাধানঃ
তথ্যরাশির
সর্বোচ্চ মান = 22 এবং সর্বনিন্ম মান = 0
∵ পরিসর
= (সর্বোচ্চ
মান – সর্বনিন্ম মান)
= (22-0)
= 22
খ) 48, 70, 58, 40, 43, 55, 63, 46, 56, 44
সমাধানঃ
তথ্যরাশির
সর্বোচ্চ মান = 70 এবং সর্বনিন্ম মান = 40
∵ পরিসর
= (সর্বোচ্চ
মান – সর্বনিন্ম মান)
=
(70-40)
= 30
গ)
|
উচ্চতা (সেমি)
|
গণসংখ্যা
|
|
95-105
|
8
|
|
105-115
|
12
|
|
115-125
|
28
|
|
125-135
|
30
|
|
135-145
|
15
|
|
145-155
|
7
|
সমাধানঃ
এখানে, সর্বশের্বষ শ্রেণির উচ্চসীম = 155 ও প্রথম শ্রেণির নিম্নসীমা = 95
∵ পরিসর
= 155 –
95
= 60
২। নিচের তথ্যরাশির গাণিতিক গড় ও মধ্যক থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয় করো।
ক) 8, 15, 53, 49, 19, 62, 7, 15, 95, 77
সমাধানঃ
গাণিতিক গড়
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়:
গাণিতিক গড়
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য সারণি তৈরি করিঃ
|
Xi (তথ্যরাশির
মান)
|
X̅ (গাণিতিক গড়)
|
|xi-
X̅|
|
|
8
|
= ∑xi/n
= 400/10 = 40 এখানে, n = তথ্যরাশির মানের সংখ্যা ∑xi = তথ্যরাশির মানগুলোর যোগফল |
32
|
|
15
|
25
|
|
|
53
|
13
|
|
|
49
|
9
|
|
|
19
|
21
|
|
|
62
|
22
|
|
|
7
|
33
|
|
|
15
|
25
|
|
|
95
|
55
|
|
|
77
|
37
|
|
|
n=10; ∑xi
= 400
|
|
∑|xi-
X̅| = 272
|
এখন, অবিন্যস্ত
উপাত্তের ক্ষেত্রে,
গড় ব্যবধান,
M.D(X̅)
= 272/10
= 27.2
মধ্যক
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়:
প্রদত্ত তথ্যরাশিকে
মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
7, 8,
15, 15, 19, 49, 53, 62, 77, 95
∵ মধ্যক
Me = (19+49) ÷ 2
= 34
মধ্যক থেকে
গড় ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য সারণি তৈরি করিঃ
|
Xi (তথ্যরাশির
মান)
|
Me
(মধ্যক)
|
|xi-
Me|
|
|
8
|
34
|
26
|
|
15
|
19
|
|
|
53
|
19
|
|
|
49
|
15
|
|
|
19
|
15
|
|
|
62
|
28
|
|
|
7
|
27
|
|
|
15
|
19
|
|
|
95
|
61
|
|
|
77
|
43
|
|
|
n=10
|
∑|xi-
Me| =
272
|
এখন, অবিন্যস্ত
উপাত্তের ক্ষেত্রে,
গড় ব্যবধান,
M.D(Me)
= 272/10
= 27.2
খ) 10, 15, 54, 59, 19, 62, 98, 8, 25, 95, 77, 46, 36
সমাধানঃ
গাণিতিক গড়
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়:
গাণিতিক গড়
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য সারণি তৈরি করিঃ
|
Xi (তথ্যরাশির
মান) |
X̅ (গাণিতিক গড়) |
|xi-
X̅| |
|
10 |
= ∑xi/n = 604/13 = 46.46 (প্রায়) এখানে, n = তথ্যরাশির মানের
সংখ্যা ∑xi = তথ্যরাশির
মানগুলোর যোগফল |
36.46 |
|
15 |
31.46 |
|
|
54 |
7.54 |
|
|
59 |
12.54 |
|
|
19 |
27.46 |
|
|
62 |
15.54 |
|
|
98 |
51.54 |
|
|
8 |
38.46 |
|
|
25 |
21.46 |
|
|
95 |
48.54 |
|
|
77 |
30.54 |
|
|
46 |
0.46 |
|
|
36 |
10.46 |
|
|
n=13; ∑xi
= 604 |
∑|xi- X̅| = 332.46 |
এখন, অবিন্যস্ত
উপাত্তের ক্ষেত্রে,
গড় ব্যবধান,
M.D(X̅)
= 332.46/13
=
25.57 (প্রায়)
মধ্যক
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়:
প্রদত্ত তথ্যরাশিকে
মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
8, 10, 15, 19, 25, 36, 46, 54, 59, 62, 77, 95, 98
∵ মধ্যক
Me = 46
মধ্যক থেকে
গড় ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য সারণি তৈরি করিঃ
|
Xi (তথ্যরাশির
মান)
|
Me
(মধ্যক)
|
|xi-
Me|
|
|
10
|
46
|
36
|
|
15
|
31
|
|
|
54
|
8
|
|
|
59
|
13
|
|
|
19
|
27
|
|
|
62
|
16
|
|
|
98
|
52
|
|
|
8
|
38
|
|
|
25
|
21
|
|
|
95
|
49
|
|
|
77
|
31
|
|
|
46
|
0
|
|
|
36
|
10
|
|
|
n=13
|
∑|xi-
Me| =
332
|
এখন, অবিন্যস্ত
উপাত্তের ক্ষেত্রে,
গড় ব্যবধান,
M.D(Me)
= 332/13
=
25.5384615
৩।
প্রদত্ত উপাত্তের গাণিতিক গড় ও মধ্যক
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়
করো।
|
x
|
f
|
|
60
|
2
|
|
61
|
0
|
|
62
|
15
|
|
63
|
30
|
|
64
|
25
|
|
65
|
12
|
|
66
|
11
|
|
67
|
5
|
সমাধানঃ
গাণিতিক
গড় থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়ের
জন্য সারণি তৈরি করি।
|
x
|
f
|
fx
|
|x-X̅|
|
f|x- X̅|
|
|
60
|
2
|
120
|
3.81
|
7.62
|
|
61
|
0
|
0
|
2.81
|
0
|
|
62
|
15
|
930
|
1.81
|
27.15
|
|
63
|
30
|
1890
|
0.81
|
24.3
|
|
64
|
25
|
1600
|
0.19
|
4.75
|
|
65
|
12
|
780
|
1.19
|
14.28
|
|
66
|
11
|
726
|
2.19
|
24.09
|
|
67
|
5
|
335
|
3.19
|
15.95
|
|
|
n=100
|
∑fx = 6381;
X̅ = ∑fx/n = 6381/100 = 63.81 |
|
∑f|x- X̅|
= 118.14 |
∵ গড়
ব্যবধান, M.D(X̅)
= 118.14/100
= 1.1814
আবার,
মধ্যক
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়ের
জন্য সারণি তৈরি করি।
|
x
|
f
|
f এর
ক্রমযোজিত মান |
|x-Me|
|
f|x- Me|
|
|
60
|
2
|
2
|
4
|
8
|
|
61
|
0
|
2
|
3
|
0
|
|
62
|
15
|
17
|
2
|
30
|
|
63
|
30
|
47
|
1
|
30
|
|
64
|
25
|
72
|
0
|
0
|
|
65
|
12
|
84
|
1
|
12
|
|
66
|
11
|
95
|
2
|
22
|
|
67
|
5
|
100
|
3
|
15
|
|
|
n=100;
n/2 = 50; n/2 + 1= 51 |
∵ 48
-72 তম পদ 64;
∵ 50 ও 52 তম পদ 64; ∵ Me = (64 + 64) ÷ 2 = 64 |
|
∑f|x- Me|
= 117 |
∵ গড়
ব্যবধান, M.D(Me)
= 117/100
= 1.17
৪। প্রতিদিন রিক্সায় স্কুলে আসা যাওয়া বাবদ সবুজ ও মৌলির যথাক্রমে 50 ও 80 টাকা খরচ হয়।
ক) সবুজ ও মৌলির খরচের পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
সবুজ ও মৌলির
খরচ যথাকরমে 50 ও 80 টাকা।
এই তথ্য থেকে
নিচের সারণিটি তৈরি করিঃ
|
x
|
x2
|
|
50
|
2500
|
|
80
|
6400
|
|
∑x = 130
|
∑x2 = 8900
|
এখন,
ভেদাঙ্ক,
σ2
= (∑x2/n) – (∑x/n)2
= (8900/2) – (130/2)2
= 4450 –
4225
= 225
∵ পরিমিত
ব্যবধান, σ = √(σ2)
= √225 = 15
খ)
দেখাও যে, উপাত্ত দুটির গড় ব্যবধান পরিসরের
অর্ধেক।
সমাধানঃ
গাণিতিক গড়
থেকে গড় ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য সারণি তৈরি করিঃ
|
Xi
|
X̅
|
|xi-
X̅|
|
|
50
|
= ∑xi/n
= 130/2 = 65 |
15
|
|
80
|
15
|
|
|
n=2; ∑xi
= 130
|
|
∑|xi-
X̅| = 30
|
এখন, অবিন্যস্ত
উপাত্তের ক্ষেত্রে,
গড় ব্যবধান,
M.D(X̅)
= 30/2
= 15
এবং,
পরিসর =
80 – 50 = 30
∵ উপাত্ত
দুটির গড় ব্যবধান পরিসরের
অর্ধেক [দেখানো হলো]
৫। থানা স্বাস্থ্য কেন্দ্রের বহির্বিভাগ চিকিৎসাসেবা নিতে আসা কোনো এক দিনের রোগীর সংখ্যার তথ্য নিম্নরূপ:
|
বয়স
|
রোগীর সংখ্যা
|
|
0-15
|
15
|
|
15-30
|
4
|
|
30-45
|
5
|
|
45-60
|
9
|
|
60-75
|
7
|
|
75-90
|
10
|
ক) ভেদাঙ্কের মান কখন সর্বনিম্ন হয়? ব্যাখ্যা করো।
সমাধানঃ
xi
এর মানগুলো যখন তাদের গাণিতিক গড় X̅ এর
অধিক নিকটবর্তী হয় তখন ভেদাঙ্কের মান সর্বনিন্ম হয়।
ব্যখ্যাঃ
ভেদাঙ্ক নির্ণয়ে
∑(xi -
X̅)2 কে আমরা তুলনা
করে উপরোক্ত তথ্যের সত্যতা ব্যাখ্যা করতে পারি। কারণ এখানে xi ও X̅ এর
মান যত কাছাকাছি হবে xi - X̅ বা
∑(xi -
X̅)2 এর মানও ততো
ছোট হবে।
খ)
উপাত্তের গড় ব্যবধান ও
পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় করে তুলনা করো।
সমাধানঃ
গড় ব্যবধান
নির্ণয়ের জন্য সারণি তৈরি করিঃ
|
শ্রেণি
|
f
|
শ্রেণি মধ্যমান
x |
fx
|
|x- X̅|
|
f|x- X̅|
|
|
0-15
|
15
|
7.5
|
112.5
|
35.7
|
535.5
|
|
15-30
|
4
|
22.5
|
90
|
20.7
|
82.8
|
|
30-45
|
5
|
37.5
|
187.5
|
5.7
|
28.5
|
|
45-60
|
9
|
52.5
|
472.5
|
9.3
|
83.7
|
|
60-75
|
7
|
67.5
|
472.5
|
24.3
|
170.1
|
|
75-90
|
10
|
82.5
|
825
|
39.3
|
393
|
|
|
n = 50
|
|
∑fx = 2160
∵ X̅ = 2160/50 = 43.2 |
|
∑f|x- X̅|
= 1293.6
|
∵ গড়
ব্যবধান, M.D(X̅)
= 1293.6/50
= 25.872
পরিমিত
ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য সারণি
তৈরি করিঃ
|
শ্রেণি
|
f
|
শ্রেণি মধ্যমান
x |
d = (x-a)/h
|
fd
|
fd2
|
|
0-15
|
15
|
7.5
|
-2
|
-30
|
45
|
|
15-30
|
4
|
22.5
|
-1
|
-4
|
4
|
|
30-45
|
5
|
37.5 = a
|
0
|
0
|
0
|
|
45-60
|
9
|
52.5
|
1
|
9
|
9
|
|
60-75
|
7
|
67.5
|
2
|
14
|
28
|
|
75-90
|
10
|
82.5
|
3
|
30
|
90
|
|
|
n = 50
|
|
|
∑fd = 19
|
∑fd2 =
176
|
∴ ভেদাঙ্ক,
σ2
= {(∑fd2/n) – (∑fdx/n)2} × h2
= {(176/50) – (19/50)2}× 152
= (3.52 – 0.1444)×152
= 759.51
∵ পরিমিত ব্যবধান, σ = √(σ2) = √759.51 = 27.559 (প্রায়)
Part 2: বিস্তার পরিমাপ (২)
আরওঃ