বীজগণিতীয় রাশিমালার গসাগু ও লসাগু – Class 7 Math BD 2023 – ৯ম অধ্যায় ( ১৮৮ - ১৯২ পৃষ্ঠা)
বীজগণিতীয় রাশিমালার গসাগু ও লসাগু (HCF & LCM)
আমরা
পাটিগণিতের লসাগু ও গসাগু সম্পর্কে
পূর্ব থেকেই পরিচিত। ইতিমধ্যেই আমরা বীজগণিতীয় রাশির বর্গ, ঘন , উৎপাদকে বিশ্লেষণ, গুণ এবং ভাগ নির্ণয় শিখেছি। এ অধ্যায়ে আমরা
বীজগণিতীয় রাশিমালার লসাগু ও গসাগু নির্ণয়
করা শিখব।
বীজগণিতীয় রাশিমালার সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক (Common Factor):-
দুই
বা ততোধিক বীজগাণিতিক রাশি অপর কোনো রাশি দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য হলে শেষোক্ত রাশিটিকে ওই দুই বা
ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক
বলে।
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু (Highest Common Factor or H.C.F):-
দুই বা ততোধিক রাশির মধ্যে যতগুলি সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক থাকে, তাদের গুণফলকে পূর্বোক্ত রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু. (Highest Common Factor or H.C.F) বলে।
.webp "বীজগণিতীয় রাশিমালার গসাগু ও লসাগু (HCF & LCM)")
একক
কাজঃ
১. যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা গসাগু x গঠিত, আমরা কি সেই সকল রাশিগুলিকে গসাগু x দ্বারা ভাগ করতে পারি?
সমাধানঃ
হ্যাঁ,
যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা গ.সা.গু.
x গঠিত, আমরা সেই সকল রাশিগুলিকে গসাগু x দ্বারা ভাগ করতে পারি।
উদাহরণঃ
মনে
করি, দুইটি বীজগণিতীয় রাশি xy ও
zx যাদের গসাগু = x. এখন
x দ্বারা xy ও zx কে ভাগ করা যায়।
২. যে
সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp গঠিত, আমরা কি সেই সকল
বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু
15xyzp কে ভাগ করতে পারি-ব্যাখ্যা করো।
সমাধানঃ
হ্যাঁ,
যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp গঠিত, আমরা সেই সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp কে ভাগ করতে
পারি।
ব্যখ্যাঃ
লসাগু
মানেই লঘিষ্ট সাধারণ গুণীতক, অর্থাৎ যে সকল
বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু
গঠিত তাদেরও একটা গুণিতক হলো এই লসাগু।
তাহলে,
যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু
15xyzp গঠিত, সেই রাশিগুলোর একটা
গুণীতক হলো 15xyzp. তার
মানে 15xyzp কে সেই
সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ভাগ করা যায়।
উদাহরণঃ
xyz, 5x, 3xp এর লসাগু নির্ণয় করে দেখিঃ
xyz= x.y.z
5x = 5.x
3xp=3.x.p
অতএব,
লসাগু=x.y.z.5.3.p = 15xyzp যাকে xyz, 5x ও 3xp দ্বারা ভাগ করা যায়।
গসাগু নির্ণয়ের নিয়ম
- পাটিগণিতের নিয়মে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের গসাগু নির্ণয় করতে হবে।
- বীজগণিতীয় রাশিগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করতে হবে।
- সাংখ্যিক সহগের গসাগু এবং প্রদত্ত রাশিগুলোর বীজগণিতীয় সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর ধারাবাহিক গুণফল হচ্ছে নির্ণেয় গসাগু।
কাজ
: গসাগু নির্ণয় কর:
1. 3x3y2, 2x2y3
সমাধানঃ
১ম রাশি = 3x3y2 = 3.x.x.x.y.y
২য়
রাশি = 2x2y3 = 2.x.x.y.y.y
অতএব,
গসাগু = x.x.y.y = x2.y2
2. 3xy, 6x2y, 9xy2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 3xy = 3.x.y
২য় রাশি = 6x2y = 3.2.x.x.y
৩য় রাশি = 9xy2 = 3.3.x.y.y
অতএব,
গসাগু = 3.x.y = 3xy
3. (x2 – 25), (x – 5)2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = x2 – 25 = x2-52
= (x-5)(x+5)
এবং,
২য়
রাশি = (x-5)2 = (x-5)(x-5)
অতএব,
গসাগু = (x-5)
4. x2 - 9, x2 + 7x + 12, 3x + 9
সমাধানঃ
১ম রাশি = x2 - 9 = x2-32 = (x+3)(x-3)
২য় রাশি = x2 + 7x + 12 = x2+3x+4x+12 = x(x+3)+4(x+3) = (x+3)(x+4)
৩য় রাশি = 3x + 9 = 3(x+3)
অতএব,
গসাগু = (x+3)
বিঃদ্রঃ
পাঠ্যবইয়ে ১ম রাশি x2 + 9 দেয়া
আছে, সেক্ষেত্রে x2 + 9 একটি
মৌলিক রাশি। তখন তোমরা, তিনটি রাশির কোন সাধারণ মৌলিক উৎপাদক পাবে না, অর্থাৎ তখন গসাগু
হবে ১।
লসাগু নির্ণয়ের নিয়ম:
লসাগু (Lowest Common Multiple or LCM) নির্ণয়:–
প্রত্যেক
রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে, উক্ত উৎপাদকগুলোর প্রত্যেকটির যে মাত্রা রাশিগুলোর
মধ্যে সর্বোচ্চ, তাদের গুণফলই রাশিগুলোর লসাগু হবে। রাশিগুলোর সংখ্যা সহগগুলোর লসাগুই নির্ণেয় লসাগুর সংখ্যা সহগ হবে।
লসাগু নির্ণয় করো:
1. 3x2y3, 9x3y2 ও 12x2y2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 3x2y3 = 3.x2.y3
২য় রাশি = 9x3y2 = 3.3.x3.y2
৩য়
রাশি = 12x2y2 = 3.2.2.x2.y2
অতএব,
লসাগু = 3.x2.y3.3.x.2.2 = 36x3y3
2. 3a2 + 9, a4 – 9, ও a4 + 16a2 + 9
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= 3a2 + 9
= 3(a2+3)
২য়
রাশি
= a4 – 9
= (a2)2-32
= (a2+3)(a2-3)
৩য়
রাশি = a4 + 16a2 + 9
অতএব,
লসাগু = 3(a2+3)(a2-3)(a4 + 16a2
+ 9) = 3(a4-9)(
a4 + 16a2 + 9)
3. x2 + 10x + 21, x4 – 49x2
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= x2 + 10x + 21
= x2 + 7x + 3x +21
= x(x+7)+3(x+7)
= (x+3)(x+7)
২য়
রাশি
= x4 – 49x2
= x2(x2-49)
= x2(x2-72)
= x2(x-7)(x+7)
অতএব, লসাগু = (x+3)(x+7)x2(x-7) = x2(x+3)(x2-49)
4. a – 2, a2 – 4, a2 – a – 2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = a-2
২য়
রাশি = a2-4 = a2 – 22 = (a-2)(a+2)
৩য়
রাশি
=
a2-a-2
=
a2-2a+a-2
=a(a-2)+1(a-2)
=(a-2)(a+1)
অতএব,
লসাগু = (a-2)(a+2)(a+1) = (a2-4)(a+1)
একক
কাজঃ
গসাগু নির্ণয় করঃ
3a2b2c2, 6ab2c2
সমাধানঃ
১ম রাশি = 3a2b2c2 = 3.a.a.b.b.c.c
২য় রাশি = 6ab2c2 = 3.2. b.b.c.c
অতএব,
গসাগু = 3.a.b.b.c.c = 3ab2c2
5ab2x2 , 10a2by2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 5ab2x2 =5.a.b.b.x.x
২য়
রাশি = 10a2by2 = 5.2. a.a.b.y.y
অতএব, গসাগু = 5.a.b = 5ab
3a2x2, 6axy2, 9ay2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 3a2x2 = 3.a.a.x.x
২য়
রাশি = 6axy2 = 3.2.a.x.y.y
৩য়
রাশি = 9ay2 = 3.3.a.y.y
অতএব, গসাগু = 3.a = 3a
16a3x4y, 40a2y2x, 28ax3
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 16a3x4y = 2.2.2.2.a.a.a.x.x.x.x.y
২য়
রাশি =40a2y2x = 2.2.2.5.a.a.y.y.x
৩য় রাশি = 28ax3 = 2.2.7.a.x.x.x
অতএব,
গসাগু =2.2.a.x = 4ax
a2+ab, a2-b2
সমাধানঃ
১ম রাশি
= a2+ab = a(a+b)
২য় রাশি = a2-b2 = (a-b)(a+b)
অতএব, গসাগু = (a+b)
x3y-xy3, (x-y)2
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= x3y-xy3
= xy(x2-y2)
=
xy(x-y)(x+y)
২য়
রাশি
=
(x-y)2
= (x-y)(x-y)
অতএব, গসাগু = (x-y)
x2 +7x+12, x2 +9x+20
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= x2 +7x+12
= x2
+ 4x + 3x + 12
=
x(x+4)+3(x+4)
=
(x+3)(x+4)
২য়
রাশি
= x2 + 9x + 20
= x2 + 5x + 4x + 20
= x(x+5) + 4(x+5)
= (x+4)(x+5)
অতএব,
গসাগু = x+4
a3 -ab2, a4 +2a3b+a2b2
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= a3 -ab2
= a(a2-b2)
=
a(a-b)(a+b)
২য়
রাশি
= a4 +2a3b+a2b2
= a2(a2+2ab+b2)
=a2(a+b)2
=a2(a+b)(a+b)
অতএব,
গসাগু = a(a+b)
a2 -16, 3a+12, a2 +5a+4
সমাধানঃ
১ম
রাশি = a2-16 = a2-42 = (a-4)(a+4)
২য়
রাশি = 3a+12 = 3(a+4)
৩য়
রাশি
=
a2+5a+4
=
a2+4a+a+4
=
a(a+4)+1(a+4)
=
(a+1)(a+4)
অতএব,
গসাগু = a+4
xy-y, x3y-xy, x2-2x+1
সমাধানঃ
১ম
রাশি = xy-y = y(x-1)
২য়
রাশি = x3y-xy = xy(x2-1) = xy(x-1)(x+1)
৩য় রাশি = x2-2x+1 = x2-2.x.1+12 = (x-1)2 =(x-1)(x-1)
অতএব, গসাগু =(x-1)
লসাগু নির্ণয় কর:
6a3b2c, 9a4bd2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 6a3b2c = 3.2.a.a.a.b.b.c
২য় রাশি = 9a4bd2 = 3.3.a.a.a.a.b.d.d
অতএব,
লসাগু = 3.2.a.a.a.b.b.c.3.a.d.d = 18a4b2cd2
5x2y2, 10xz3, 15y3z4
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 5x2y2 = 5.x.x.y.y
২য়
রাশি = 10xz3 = 5.2.x.z.z.z
৩য়
রাশি =15y3z4 = 5.3.y.y.y.z.z.z.z
অতএব,
লসাগু = 5.x.x.y.y.2.z.z.z.3.y.z = 30x2y3z4
2p2xy2, 3pq2, 6pqx2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = 2p2xy2 = 2.p.p.x.y.y
২য়
রাশি = 3pq2 = 3.p.q.q
৩য়
রাশি =6pqx2 = 3.2.p.q.x.x
অতএব,
লসাগু = 2.p.p.x.y.y.3.q.q.x = 6p2x2y
(b2-c2), (b+c)2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = (b2-c2) = (b-c)(b+c)
২য়
রাশি = (b+c)2 =
(b+c)(b+c)
অতএব,
লসাগু = (b-c)(b+c)(b+c)
x2+2x, x2+3x+2
সমাধানঃ
১ম
রাশি = x2+2x = x(x+2)
২য়
রাশি
= x2+3x+2
= x2+2x+x+2
= x(x+2)+1(x+2)
= (x+1)(x+2)
অতএব,
লসাগু = x(x+2)(x+1) = x(x2+3x+2)
9x2-25y2, 15ax-25ay
সমাধানঃ
১ম
রাশি
=
9x2-25y2
=
(3x)2-(5y)2
=
(3x-5y)(3x+5y)
২য়
রাশি
= 15ax-25ay
= 5a(3x-5y)
অতএব,
লসাগু = 5a(3x-5y)(3x+5y) = 5a(9x2-25y2)
x2-3x-10, x2-10x+25
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= x2-3x-10
= x2-5x+2x-10
= x(x-5)+2(x-5)
= (x+2)(x-5)
২য়
রাশি
= x2-10x+25
= x2-5x-5x+25
= x(x-5)-5(x-5)
= (x-5)(x-5)
অতএব, লসাগু = (x+2)(x-5)(x-5) = (x+2)(x-5)2
a2-7a+12, a2+a-20, a2+2a-15
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= a2-7a+12
= a2-4a-3a+12
=
a(a-4)-3(a-4)
=
(a-3)(a-4)
২য়
রাশি
= a2+a-20
= a2+5a-4a-20
= a(a+5)-4(a+5)
= (a-4)(a+5)
৩য়
রাশি
= a2+2a-15
= a2+5a-3a-15
= a(a+5)-3(a+5)
= (a-3)(a+5)
অতএব,
লসাগু = (a-3)(a-4) (a+5)
x2-8x+15, x2-25, x2+2x-15
সমাধানঃ
১ম
রাশি
= x2-8x+15
= x2-5x-3x+15
= x(x-5)-3(x-5)
= (x-3)(x-5)
২য়
রাশি
= x2-25
= x2-52
= (x-5)(x+5)
৩য়
রাশি
= x2+2x-15
= x2+5x-3x-15
= x(x+5)-3(x+5)
= (x-3)(x+5)
অতএব,
লসাগু =(x-3)(x-5)(x+5)
x+5, x2+5x, x2+7x+10
সমাধানঃ
১ম
রাশি = x+5
২য়
রাশি = x2+5x = x(x+5)
৩য়
রাশি
= x2+7x+10
= x2+5x+2x+10
= x(x+5)+2(x+5)
= (x+2)(x+5)
অতএব,
লসাগু = x(x+5)(x+2)