বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ (দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ) – Class 7 Math BD 2023 – ২য় অধ্যায় (৫৮ - ৫৮ পৃষ্ঠা)

ত্রিপদী রাশির বর্গ

কাজঃ (a+b+c)² এর বর্গ কাগজ কেটে নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

(i) কাগজ কেটে একটি বর্গ নিই যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a+b+c এর সমান।

(ii) এখন, a+b+c বাহুতে b ও c এর দৈর্ঘ্য নিচের চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি ফলে সম্পূর্ণ বর্গটি ৯টি ক্ষুদ্র ক্ষেত্রে  বিভক্ত হলো।

(iii) এখন সম্পূর্ণ বর্গের ক্ষেত্রফল = (a+b+c)²

তাহলে, চিত্র অনুসারে,

(a+b+c)²

= 9 টি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²

= a²+b²+c² + 2ab + 2bc + 2ca

= a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)

একক কাজঃ নিচের সমস্যাটি কাগজ কেটে বা ছবি এঁকে সমাধান করো।

(2x+3y+4z) এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

কাগজ কেটে একটি বর্গাকার কাগজ নিই যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য (2x+3y+4z) এর সমান হয়।

এখন, (2x+3y+4z) দৈর্ঘ্যের বাহুতে 3y ও 4z দৈর্ঘ্যকে নিচের চিত্র অনুসারে চিহ্নিত করি। ফলে ৯টি আয়তক্ষেত্র পাওয়া গেল।

আয়ত ক্ষেত্রগুলোর ক্ষেত্রফল এর সমষ্টি প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ অনুসারে নিন্মরুপঃ

2x.2x+2x.3y+2x.4z+2x.3y+3y.3y+3y.4z+2x.4z+3y.4z+4z.4z

= (2x)²+6xy+8xz+6xy+(3y)²+12yz+8zx+12yz+(4z)²

= 4x²+9y²+16z²+12xy+16zx+24yz

এখন, সম্পূর্ণ বর্গের ক্ষেত্রফল = (2x+3y+4z)²

তাহলে,

(2x+3y+4z) এর বর্গ 4x²+9y²+16z²+12xy+16zx+24yz

একক কাজঃ

১) কাগজ কেটে নিচের রাশিগুলোর বর্গ নির্ণয় করে শিক্ষকের কাছে জমা দাও।

1. a+3

2. 3x-5

3. 999

4. 2x+y+3z

সমাধানঃ

1. a+3

কাগজ কেটে (a+3) এর বর্গ নির্ণয়ঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a ও 3 এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

বর্গাকৃতি কাগজের ক্ষেত্রফল = 4 টি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

বা, (a+3)² = a.a+a.3+a.3+3.3

বা, (a+3)² = a²+3a+3a+3²

বা, (a+3)² = a²+6a+9

অতএব, (a+3) এর বর্গ = a²+6a+9

2. 3x-5

কাগজ কেটে (3x-5) এর বর্গ নির্ণয়ঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত 3x-5 ও 5 এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ কাগজের ক্ষেত্রফল – [লাল অংশের ক্ষেত্রফল + হলুদ অংশের ক্ষেত্রফল + কালো অংশের ক্ষেত্রফল]

বা, (3x-5)² = (3x-5+5)² – [(3x-5)5+5(3x-5)+5.5]

বা, (3x-5)² = (3x)² – [15x-25 +15x -25 + 25]

বা, (3x-5)² = 9x² – [30x-25]

বা, (3x-5)² = 9x² – 30x + 25

অতএব, (3x-5)² এর বর্গ = 9x² – 30x + 25

3. 999

কাগজ কেটে 999 এর বর্গ নির্ণয়ঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত 1000-1 ও 1 এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ কাগজের ক্ষেত্রফল – [লাল অংশের ক্ষেত্রফল + হলুদ অংশের ক্ষেত্রফল + কালো অংশের ক্ষেত্রফল]

বা, (1000-1)² = (1000-1+1)² – [(1000-1)1+1(1000-1)+1.1]

বা, 999² = (1000)² – [1000-1 +1000 -1 + 1]

বা, 999² = 1000000– 1999

বা, 999² = 998001

অতএব, 999² এর বর্গ = 998001

4. 2x+y+3z

কাগজ কেটে (2x+y+3z) এর বর্গ নির্ণয়ঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত 2x, y ও 3z এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 9 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

বর্গাকৃতি কাগজের ক্ষেত্রফল = 9 টি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

বা, (2x+y+3z)² = (2x)²+2xy+6zx+2xy+y²+3yz+6zx+3yz+(3z)²

বা, (2x+y+3z)² = 4x²+y²+9z²+4xy+12zx+6yz

অতএব, (2x+y+3z) এর বর্গ = 4x²+y²+9z²+4xy+12zx+6yz

২) কাগজ কেটে প্রমাণ করো।

1. a² +b² = (a-b)² + 2ab

সমাধানঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a-b ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ কাগজের ক্ষেত্রফল – [লাল অংশের ক্ষেত্রফল + হলুদ অংশের ক্ষেত্রফল + কালো অংশের ক্ষেত্রফল]

বা, (a-b)² = (a-b+b)² – [(a-b)b+b(a-b)+b.b]

বা, (a-b)² = a² – [ab-b² +ab –b² + b²]

বা, (a-b)² = a² – [2ab-b²]

বা, (a-b)² = a² – 2ab + b²

বা, (a-b)² + 2ab = a² + b² [পক্ষান্তর করে]

বা, a² + b² = (a-b)² + 2ab [প্রমাণিত]

2. (a-b)² = (a+b)² - 4ab

সমাধানঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a-b ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ কাগজের ক্ষেত্রফল – [লাল অংশের ক্ষেত্রফল + হলুদ অংশের ক্ষেত্রফল + কালো অংশের ক্ষেত্রফল]

বা, (a-b)² = (a-b+b)² – [(a-b)b+b(a-b)+b.b]

বা, (a-b)² = a² – [ab-b² +ab –b² + b²]

বা, (a-b)² = a² – [2ab-b²]

বা, (a-b)² = a²+ b² – 2ab ……..(i)

আবার,

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সম্পূর্ণ বর্গাকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল = a²+ab+ab+b²

বা, (a+b)²=a²+b²+2ab ………(ii)

এখন, (i) – (ii) করে পাই,

(a-b)²-(a+b)²= a²+b²-2ab-(a²+b²+2ab)

বা, (a-b)²-(a+b)²= a²+b²-2ab-a²-b²-2ab

বা, (a-b)²-(a+b)²=-4ab

বা, (a-b)²=(a+b)²-4ab [প্রমাণিত]

3. (a+b)² = (a-b)² + 4ab

সমাধানঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সম্পূর্ণ বর্গাকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল = a²+ab+ab+b²

বা, (a+b)²=a²+b²+2ab ………(i)

আবার,

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a-b ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ কাগজের ক্ষেত্রফল – [লাল অংশের ক্ষেত্রফল + হলুদ অংশের ক্ষেত্রফল + কালো অংশের ক্ষেত্রফল]

বা, (a-b)² = (a-b+b)² – [(a-b)b+b(a-b)+b.b]

বা, (a-b)² = a² – [ab-b² +ab –b² + b²]

বা, (a-b)² = a² – [2ab-b²]

বা, (a-b)² = a²+ b² – 2ab ……..(ii)

এখন,

(i) – (ii) করে পাই,

(a+b)²-(a-b)²=a²+b²+2ab – (a²+ b² – 2ab)

বা, (a+b)²-(a-b)²=a²+b²+2ab – a²- b² + 2ab

বা, (a+b)²-(a-b)²=4ab

বা, (a+b)²=(a-b)²+4ab [প্রমাণিত]

4. (a+b)² + (a-b)² = 2(a² +b²)

সমাধানঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সম্পূর্ণ বর্গাকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল = a²+ab+ab+b²

বা, (a+b)²=a²+b²+2ab ………(i)

আবার,

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a-b ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ কাগজের ক্ষেত্রফল – [লাল অংশের ক্ষেত্রফল + হলুদ অংশের ক্ষেত্রফল + কালো অংশের ক্ষেত্রফল]

বা, (a-b)² = (a-b+b)² – [(a-b)b+b(a-b)+b.b]

বা, (a-b)² = a² – [ab-b² +ab –b² + b²]

বা, (a-b)² = a² – [2ab-b²]

বা, (a-b)² = a²+ b² – 2ab ……..(ii)

এখন,

(i) + (ii) করে পাই,

(a+b)²+(a-b)² =a²+b²+2ab + a²+ b² – 2ab

বা, (a+b)²+(a-b)²=2a²+2b²

বা, (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) [প্রমাণিত]

5. (a+b)² - (a-b)² = 4ab

সমাধানঃ

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সম্পূর্ণ বর্গাকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল = a²+ab+ab+b²

বা, (a+b)²=a²+b²+2ab ………(i)

আবার,

(i) প্রথমে বর্গাকৃতি একটি কাগজ নিয়ে নিচের ছবির মত a-b ও b এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু চিহ্নিত করি।

(ii) তাহলে বর্গাকৃতির কাগজটি মোট 4 টি ক্ষেত্রে বিভক্ত হলো।

(iii) এখন, চিত্র অনুসারে,

সবুজ অংশের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ কাগজের ক্ষেত্রফল – [লাল অংশের ক্ষেত্রফল + হলুদ অংশের ক্ষেত্রফল + কালো অংশের ক্ষেত্রফল]

বা, (a-b)² = (a-b+b)² – [(a-b)b+b(a-b)+b.b]

বা, (a-b)² = a² – [ab-b² +ab –b² + b²]

বা, (a-b)² = a² – [2ab-b²]

বা, (a-b)² = a²+ b² – 2ab ……..(ii)

এখন,

(i) – (ii) করে পাই,

(a+b)²-(a-b)²=a²+b²+2ab – (a²+ b² – 2ab)

বা, (a+b)²-(a-b)²=a²+b²+2ab – a²- b² + 2ab

বা, (a+b)²-(a-b)²=4ab [প্রমাণিত]

পৃষ্ঠা ৫৮ – ৫৮ পর্যন্ত সমাধান এই অংশে দেওয়া হলো। বাকী অংশগুলোর লিঙ্ক নিন্মরুপঃ

পৃষ্ঠা ৩৩ - ৪১

পৃষ্ঠা ৪১ – ৫২

পৃষ্ঠা ৫৩ – ৫৭ 

পৃষ্ঠা ৫৮ - ৫৮ (এই অংশ)

এই অধ্যায়ের সূচীর লিঙ্কঃ

Class 7 Math BD - 2023

৭ম শ্রেণি ১ম অধ্যায়ঃ সূচকের গল্প, ৩য় অধায়ঃ ভগ্নাংশের গসাগু ও লসাগু