সরলরেখার সমীকরণ-SSC Higher Math BD-Chapter 11.4 part 3 (19-24)
সরলরেখার সমীকরণঃ সরলরেখার বা রেখার সমীকরণ নির্ণয়
১৯. y=x+5,
y=-x+5 এবং y=2 সমীকরণ তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করে। ত্রিভুজটির চিত্র
আঁক এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
এখানে,
y=x+5…..(i)
y=-x+5…..(ii)
y=2……(iii)
এখন,
y=x+5
বা, y=5 যখন x=0
তাহলে, (i) নং রেখা X অক্ষকে (0,5) বিন্দুতে ছেদ করে।
y=x+5
বা, 0 = x+5 যখন y = 0
বা, x = -5
তাহলে, (i) নং রেখা Y অক্ষকে (-5,0) বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার,
y=-x+5
বা, y = 5 যখন x=0
তাহলে, (ii) নং রেখা X অক্ষকে (0,5) বিন্দুতে ছেদ করে।
y = -x+5
বা, 0 = -x +5 যখন y = 0
বা, x = 5
তাহলে, (ii) নং রেখা Y অক্ষকে (5,0) বিন্দুতে ছেদ করে।
এবং
y=2
অর্থাৎ, এটি হলো. x অক্ষের সমান্তরাল রেখা. যা Y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে।
উপরিউক্ত তথ্যের আলোকে রেখাগুলো
গ্রাফ কাগজে আঁকা হলোঃ
চিত্র থেকে (i), (ii) ও
(iii) নং রেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ABC যার A(0,5), B(-3,2), C(3,2) এবং D বিন্দুর
স্থানাঙ্ক (0,2).
এখন, △ABC এর ভূমি
BC=BD+DC=3+3=6 একক।
উচ্চতা
AD=OA-OD=5-2=3 একক।
অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= ½✕BC✕AD বর্গ একক
= ½✕6✕3 বর্গ একক
=9 বর্গ একক (Ans.)
২০. y=3x+5, এবং
3x+y=10 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। রেখাদ্বয়ের চিত্র আঁক এবং X অক্ষ
সমন্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
y=3x+4
বা, 3x-y+4=0……..(i)
এবং,
3x+y=10
বা, 3x+y-10=0…….(ii)
প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর
স্থানাঙ্ক হবে (i) ও (ii) নং সমীকরণের সমাধান।
(i)+(ii)---à
6x-6=0
বা,6x=6
বা, x=1
এখন, x=1, (i) নং এ বসিয়ে,
3.1-y+4=0
বা, -y+7=0
বা, y=7
তাহলে, রেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দুর
স্থানাঙ্ক (1,7)
(i) নং রেখার উপর একটি বন্দু
(1,7) এবং অপর একটি বিন্দু (-4/3,0) [(i) নং এ y=0 বসিয়ে]
(ii) নং রেখার উপর একটি বন্দু
(1,7) এবং অপর একটি বিন্দু (10/3,0) [(ii) নং এ y=0 বসিয়ে]
এখন প্রাপ্ত বিন্দুগুলো গ্রাফ
কাগজে বসিয়ে ত্রিভুজটি আঁকি।
ABC ত্রিভুজের ভূমি AC=√{(-4/3-10/3)2+(0-0)2}
একক
=√{(-14/3)2}
একক
=14/3 একক
এবং উচ্চতা = 7 একক।
অতএব,
△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½ ✕ 14/3 ✕ 7 বর্গ একক
= 49/3
বর্গ একক
=161/3
বর্গ একক (Ans.)
২১. প্রমাণ কর যে,
2y-x=2, y+x=7 এবং y=2x-5 রেখা তিনটি সমবিন্দু (concurrent) অর্থাৎ একই বিন্দু দ্বারা
অতিক্রম করে।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রেখাত্রয়ঃ
2y-x=2……..(i)
y+x=7
বা, 2y+2x=14……(ii)
এবং
y=2x-5
বা, y-2x=-5……(iii)
(i)-(ii)----à করে
পাই,
-3x=-12
বা, x=4
x=4 (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2y-4=2
বা, 2y = 2+4
বা, 2y = 6
বা, y = 3
অর্থাৎ, (i) ও (ii) রেখার
ছেদবিন্দু (x,y) = (4,3)
প্রদত্ত রেখাত্রয় সমবিন্দু
হলে (4,3) বিন্দু দ্বারা (iii) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
সুতরাং (iii) নং এর বামপক্ষ
= 3-2.4 = 3- 8 = - 5 = ডানপক্ষ।
সুতরাং, প্রদত্ত রেখাত্রয়
সমবিন্দু (প্রমাণিত)।
২২. y=x+3,
y=x-3, y=-x+3 এবং y=-x-3 একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু নির্দেশ করে। চতুর্ভুজটি আঁক
এবং ক্ষেত্রফল তিনটি ভিন্ন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
y=x+3------(i)
বা, x=-3 যখন y=0 এবং
y=3 যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে
(-3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,3) বিন্দুতে
ছেদ করে।
y=x-3-------(ii)
বা, x=3 যখন y=0 এবং
y=-3 যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে
(3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,-3) বিন্দুতে
ছেদ করে।
y=-x+3------(iii)
বা, x=3 যখন y=0 এবং y=3
যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে
(3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,3) বিন্দুতে
ছেদ করে।
y=-x-3------(iv)
বা, x=-3 যখন y=0 এবং
y=-3 যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে
(-3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,-3) বিন্দুতে
ছেদ করে।
এখন প্রাপ্ত তথ্যানুযায়ী
(i), (ii), (iii) ও (iv) নং রেখাকে গ্রাফ কাগজে অঙ্কন করি।
উৎপন্ন চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো
হলো A(3,0), B(0,3), C(-3,0) এবং D(0,-3)
চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ
প্রথম পদ্ধতিঃ
AC কর্ণ ABCD কে △ABC ও △ACD তে বিভক্ত করে।
এখন,
AB=√{(3-0)2+(0-3)2}=√(9+9)=3√2
একক
BC=√{(0+3)2+(3-0)2}=√(9+9)=3√2 একক
CD=√{(-3-0)2+(0+3)2}=√(9+9)=3√2 একক
AD=√{(3-0)2+(0+3)2}=√(9+9)=3√2 একক
AC=√{(3+3)2+(0+0)2}=√(6)2=6
একক
△ABC এর পরিসীমা = AB+BC+CA=3√2+3√2+6=6√2+6=6(√2+1)
অতএব, △ABC এর অর্ধপরিসীমা = 3(√2+1)
△ACD এর পরিসীমা = AB+BC+CA=3√2+3√2+6=6√2+6=6(√2+1)
অতএব, △ACD এর অর্ধপরিসীমা = 3(√2+1)
△ABC এর ক্ষেত্রফল = √{s(s-AB)(s-BC)(s-AC) বর্গ একক
=√[3(√2+1){ 3(√2+1)- 3√2}{ 3(√2+1)- 3√2}{ 3(√2+1)- 6}] বর্গ একক
=√[3(√2+1){(3)(3)(3√2-3)] বর্গ একক
=√[(3√2+3){(3)(3)(3√2-3)] বর্গ একক
=√[{(3√2)2-32}(3)(3)]
বর্গ একক
=√{(18-9)(3)(3)}
বর্গ একক
=√{(9)(3)(3)}
বর্গ একক
=√81 বর্গ একক
=9 বর্গ একক
অনুরুপভাবে △ACD এর ক্ষেত্রফল = 9 বর্গ একক
তাহলে, ABCD এর ক্ষেত্রফল
= 9+9 বর্গ একক=18 বর্গ একক
দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ
১ম পদ্ধতি হতে পাই,
AB=BC=CA=DA=3√2 একক
এবং কর্ণ AC = 6 একক
আবার,
কর্ণ BD = √{(0-0)2+(3+3)2}=√62
= 6 একক
যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের সবগুলো বাহুর দৈর্ঘ্য
সমান ও কর্ণ AC=কর্ণ BD
অতএব, ABCD একটি বর্গ যার বাহুর দৈর্ঘ্য
3√2 একক
অতএব, ABCD এর ক্ষেত্রফল =(3√2)2 বর্গ একক = 9✕2 বর্গ
একক =18 বর্গ একক।
তৃতীয় পদ্ধতিঃ
চতুর্ভুজেটির শীর্ষবিন্দুগুলো
হলো A(3,0), B(0,3), C(-3,0) এবং D(0,-3)
বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার
বিপরীত দিকে বেবেচনা করে পাই,
|
ABCD
এর ক্ষেত্রফল |
||||
|
=
½ |
| |
3
0 -3 0 3 0
3 0 -3 0
|
| |
বর্গ একক
|
|
=
½ (9+0+9+0-0+9+0+9) ‘’ |
||||
|
=
½ ✕36
‘’ |
||||
|
=18
বর্গ একক |
||||
২৩. A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1) একটি চতুর্ভুজের চারটি
শীর্ষবিন্দু।
ক) BD রেখা x অক্ষের
সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণ্য় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, B(8,8) এবং
D(1,1)
BD রেখার ঢাল m হলে, tanθ
= m
এখন,
m
8-1
= 7/7
=1
অতএব,
tanθ
= 1
বা, tanθ = tan450
বা, θ
= 450
অর্থাৎ, BD রেখা
X অক্ষের সাথে 450 কোণ উৎপন্ন করে।
খ) ABCD চতুর্ভুজের
প্রকৃতি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু
A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1)
তাহলে,
AB=√{(-4-8)2+(13-8)2}
একক
=√{(-12)2+52} একক
=√(144+25) একক
=13 একক
BC=√{(8-13)+(8+4)}
একক= √(25+144) একক=13 একক
CD=√{(13-1)2+(-4-1)2}
একক=√(144+25) একক=13 একক
DA=√{(1+4)+(1-13)2}
একক=√(5+144) একক=13 একক
অর্থাৎ, ABCD চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান।
এখন,
AC=√{(13+4)2+(-4-13)2
একক=√{172+(-17)2} একক=√2(17)2 একক=17√2 একক
BD=√{(1-8)2+(1-8)2
একক= √72+72 একক=√2.72 একক=7√2 একক
অর্থাৎ, কর্ণ AC ≠
কর্ণ BD
চতুর্ভুজটি বাহুগুলো সমান কিন্তু কর্ণদ্বয়
সমান নয়।
সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।
গ)ABCD চতুর্ভুজের যে x অংশ
অক্ষের সাথে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু
A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1)
বিন্দুগুলোকে XY সমতলে স্থাপন
করে পাই,
চিত্র হতে, ধরি, CD রেখা
ও BC রেখা X-অক্ষকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অতএব,
CD রেখার সমীকরণ
y-1 1+4 5
বা, 5x-5=-12y+12
বা, 5x+12y=17
বা, 5x = 17 যখন y=0
বা, x = 17/5
তাহলে E বিন্দুর স্থানাঙ্ক
(17/5,0)
আবার BC রেখার সমীকরণ,
y-8 8+4
12
বা, 12x-96=-5y+40
বা,12x+5y=136
বা, 12x=136 যখন y=0
বা, x=136/12
বা, x=34/3
তাহলে F বিন্দুর স্থানাঙ্ক
(34/3,0)
এখন, E(17/5,0),
C(13,-4) F(34/3,0) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত
|
△ECF এর ক্ষেত্রফল |
||||
|
=
½ |
| |
17/5 13 34/3
17/5 0
-4 0 0
|
| |
বর্গ একক
|
|
=
½ (-68/5+0+0-0+136/3-0) ‘’ |
||||
|
=
½ (136/3-68/5) ‘’ |
||||
|
=
½ ✕ 476/15
‘’ |
||||
|
=1513/15
বর্গ একক |
||||
অতএব, X-অক্ষের সাথে উৎপন্ন
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 513/15
বর্গ একক।
২৪. একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু হলো P(5,2), Q(-3,2),
R(4,-1) এবং S(-2,-1)
ক) PS রেখার সমীকরণ
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, P(5,2) এবং
S(-2,-1)
অতএব, PS রেখার সমীকরণঃ
x-5 y-2
x-5
y-2
বা, 3x-15=7y-14
বা, 3x-7y-1=0
খ) PQRS চতুর্ভুজের
সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
P(5,2), Q(-3,2),
R(4,-1) এবং S(-2,-1) বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
|
PQRS
চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল |
||||
|
= ½ |
| |
5
-3 -2 4 5 2
2 -1 -1 2
|
| |
বর্গ একক
|
|
=
½ (10+3+2+8+6+4+4+5) ‘’ |
||||
|
=
½ ✕42
‘’ |
||||
|
=
21 বর্গ একক |
||||
তাহলে, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য
a = √21
অতএব,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√2a একক
=√2✕√21 একক
=√42 একক
নির্নেয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য √42 একক।
গ) PQRS চতুর্ভুজের
যে অংশ ২য় চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, P(5,2),
Q(-3,2), R(4,-1) এবং S(-2,-1)
বিন্দুগুলোকে ছক কাগজে স্থাপন
করে পাই,
PQ রেখা Y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে
ছেদ করেছে।
আবার QS রেখার সমীকরণ,
y-2 2+1
3
বা, 3x+9=-y+2
বা, 3x+y=-7
বা, 3x = -7 [রেখাটি X অক্ষকে
ছেদ করে বলে, y=0 ধরে]
বা, এক্স =-7/3
অতএব, QS রেখার ছেদবিন্দুর
স্থানাঙ্ক (-7/3,0)
এখন, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে
(0,0), (0,2), (-3,2) এবং (-7/3,0) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের
ক্ষেত্রফলঃ
|
=
½ |
| |
0
0 -3 -7/3 0 0
2 2 0 0
|
| |
বর্গ একক
|
|
=
½ (0+0+0+0-0+6+14/3-0) ‘’ |
||||
|
=
½ ✕
(6+14/3) ‘’ |
||||
|
=
½ ✕ 32/3
‘’ |
||||
|
=
16/3 বর্গ একক |
||||
অতএব, PQRS চতুর্ভুজের যে অংশ ২য়
চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল 16/3 বর্গ একক।