ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (26-32) Part 3
সিলিন্ডারের আয়তন, আয়তাকার ঘনবস্তু, বক্রতলের ক্ষেত্রফল, সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
পূর্বের অংশসমূহঃ
ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (1.-14.) Part 1
ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (15.-25.) Part 2
২৬. 4 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি সুষম ষড়ভুজাকার প্রিজমের উচ্চতা 5 সেমি। ইহার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
সুষম ষড়ভুজাকার প্রিজমের
উচ্চতা = 5 সেমি
প্রিজমটি সুষম ষড়ভুজাকার
বলে এখানে,
ভূমির ক্ষেত্রফল = 6 টি সমবাহু
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান যার বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।
অতএব,
প্রিজমটির ভূমির ক্ষেত্রফল
= 6 ✕ (√3/4) (বাহুর দৈর্ঘ্য)2
বর্গ সেমি
= 6 ✕ (√3/4) (4)2 বর্গ
সেমি
= 6 ✕ √3 ✕ 4 বর্গ সেমি
= 41.569 বর্গ সেমি
এখন,
প্রিজমটির ভূমির পরিসীমা
= 6 ✕ 4 সেমি = 24 সেমি।
অতএব,
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=2(ভূমির ক্ষেত্রফল)+ভুমির
পরিসীমা✕উচ্চতা
=2✕41.569+24✕5 বর্গ সেমি
=83.138+120 বর্গ সেমি
=203.138 বর্গ সেমি
এবং
প্রিজমের আয়তন
= ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=41.569✕5 ঘন সেমি
=207.845 ঘন সেমি
২৭. 6 সেমি বাহু
বিশিষ্ট সুষম ষড়ভুজাকার প্রিজমের উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 10 সেমি। ইহার
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
সুষম ষড়ভুজাকৃতির একটি পিরামিডের,
প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a =
6 সেমি এবং উচ্চতা h = 10 সেমি।
অতএব,
পিরামিডের ভূমির পৃষ্ঠতলের
ক্ষেত্রফল
= 6 ✕ (√3/4) a2 বর্গ সেমি
= 6 ✕ (√3/4) 62 বর্গ সেমি
= 93.53 বর্গ সেমি
এখন,
ভূমির কেন্দ্র থেকে প্রতি
বাহুর দূরত্ব r
= কেন্দ্র হতে বাহুগুলোর
লম্ব দূরত্ব
= √{62-(½✕6)2} সেমি
= √(36-9) সেমি
= √27 সেমি
অতএব,
হেলানো উচ্চতা,
l = √{102+(√27)2} সেমি
= √(100+27)
= 11.27 সেমি
এখন,
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=(ভূমির ক্ষেত্রফল)+½✕(ভূমির পরিধি✕হেলানো উচ্চতা)
= 93.53 + ½✕6✕6✕11.27 বর্গ সেমি
= 93.53 + 202.85 বর্গ সেমি
= 296.39 বর্গ সেমি
পিরামিডের আয়তন
= 1/3✕ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
= 1/3✕93.353✕10 ঘন সেমি
= 311.77 ঘন সেমি
২৮. একটি সুষম চতুস্তলকের
যেকোনো ধারের দৈর্ঘ্য 8 (আট) সেমি হলে, ইহার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
একটি সুষম চতুস্তলক চারটি
সমবাহু দ্বারা গঠিত।
সুতরাং,
চতুস্তলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4✕সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= 4✕(√3/4) a2 [a=বাহুর দৈর্ঘ্য]
=4✕(√3/4)82 বর্গ সেমি
[দেওয়া আছে, বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 সেমি]
= 110.85 বর্গ সেমি
ধরি, চতুস্তলকের ত্রিভুজাকৃতির
লম্ব উচ্চতা, h
= (√3/2) a সেমি
= (√3/2)✕8 সেমি
= 6.93 সেমি
এবং ত্রিভুজাকৃতির ভূমির
পরিবৃত্তের ব্যাস R হলে, ব্রক্ষ্মগুপ্তের উপপাদ্য হতে পাই,
8✕8=R✕h
বা, 64 = R✕6.93
বা, R = 9.24
অতএব, ব্যাসার্ধ r = 9.24/2
= 4.62 সেমি।
এখন,
চতুস্তলকের উচ্চতা H হলে,
l2=r2+H2
বা, 82 =
(4.62)2+H2
বা, H2 =
64-21.34 = 42.66
বা, H = 6.53
অতএব,
চতুস্তলকটির আয়তন
=1/3✕ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=1/3✕(√3/4)82✕6.53
=60.32 ঘন সেমি
২৯. একটি স্থাপনার
নিচের অংশ 3 মি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট আয়তাকার ঘনবস্তু ও উপরের অংশ সুষম পিরামিড। পিরামিডের
ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মি এবং উচ্চতা 3 মি হলে স্থাপনাটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
যেহেতু পিরামিডটি আয়তাকার
ঘনবস্তুর উপর স্থাপিত সেহেতু ঘনবস্তুর প্রস্থ b = ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 2 মি।
দেওয়া আছে, ঘনবস্তুর উচ্চতা
c = 3 মি।
অতএব,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন
= abc ঘন একক
= 2✕2✕3 ঘন মি
= 12 ঘন মি।
আবার,
পিরামিডের ভূমির অর্থাৎ বর্গের
ক্ষেত্রফল = 2✕2 বর্গ মি = 4 বর্গ মি।
এখন,
পিরামিডের আয়তন
=1/3✕ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=1/3✕4✕3 ঘন মি
= 4 ঘন মি
অতএব,
স্থাপনাটির আয়তন = 12+4 ঘন মি = 16 ঘন মি।
আবার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের
ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ একক
=2(2✕2+2✕3+3✕2) বর্গ একক
=32 ঘন মি
পিরামিডের ভূমির পরিসীমা
= 4✕2 মিটার = 8 মিটার
এখন,
ভূমির কেন্দ্র থেকে প্রতি
বাহুর দূরত্ব r
= কেন্দ্র হতে বাহুগুলোর
লম্ব দূরত্ব
= 2/2 মি
= 1 মি
অতএব,
হেলানো উচ্চতা, l
=√(h2+r2)
একক
=√(32+12) মি
=3.1623 মি
তাহলে,
পিরামিডের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=ভূমির ক্ষেত্রফল+½(ভূমির পরিসীমা✕হেলানো উচ্চতা)
={4+½(8✕3.1623)} বর্গ মি
=(4+12.649) বর্গ মি
=16.649 বর্গ মি
কিন্তু আয়তাকার ঘনবস্তুর উপরিতল এবং পিরামিডের
ভূমি পরস্পপরের উপর স্থাপিত যার ক্ষেত্রফল = (4+4) বর্গ মি = 8 বর্গ মি।
অর্থাৎ,
স্থাপনাটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=(32+16.65-8) বর্গ মি
=40.65 বর্গ মি
৩০. 25 মি দৈর্ঘ্য
ও 18 মি প্রস্থ বিশিষ্ট ভূমির উপর অবস্থিত দোচালা গুদাম ঘরের দেয়ালের উচ্চতা 5 মি।
প্রতিটি চালার প্রস্থ14 মি হলে গুদাম ঘরটির আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
চিত্র থেকে পাই, দোচালা গুদাম
ঘরটির নিচের অংশ একটি আয়তাকার ঘনবস্তু এবং উপরের অংশ একটি ত্রিভুজাকার প্রিজম।
অতএব,
ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য,
a=25 মিটার, প্রস্থ, b=18 মিটার এবং উচ্চতা c=5 মিটার
তাহলে,
ঘনবস্তুটির আয়তন
=abc ঘন মিটার
=25✕18✕5 ঘন মিটার
=2250 ঘন মিটার
প্রতিটি চালার প্রস্থ =
14 মিটার।
এখন, △ABC এর পরিসীমা = 18+14+14 = 46 মিটার
অতএব, s = 46/2
মিটার = 23 মিটার
তাহলে,
△ABC এর ক্ষেত্রফল
=√{s(s-18)(s-14)(s-14)} বর্গ মিটার
=√{23(23-18)(23-14)(23-14)} বর্গ মিটার
=√(23✕5✕9✕9) বর্গ মিটার
=√9315 বর্গ মিটার
=96.51 বর্গ মিটার
অতএব,
দোচালা প্রিজম আকৃতির ঘরের
আয়তন
=△ABC এর ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=96.51✕25 [এখানে উচ্চতা=ঘরের দৈর্ঘ্য]
=2412.85 ঘন মিটার
তাহলে,
গুদাম ঘরের মোট আয়তন
=ঘনবস্তুটির আয়তন+দোচালা
প্রিজম আকৃতির ঘরের আয়তন
=2250+2412.85 ঘন মিটার
=4662.85 ঘন মিটার।
৩১.
ক) নিন্মের চিত্রের
ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
চিত্র হতে,
ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, a=8
সেমি;
প্রস্থ, b=5 সেমি এবং উচ্চতা,
c=3 সেমি
অতএব,
ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ সেমি
=2(8✕5+5✕3+3✕8) বর্গ সেমি
=158 বর্গ সেমি
খ) ঘনবস্তুটির কর্ণের
সমান ধার বিশিষ্ট একটি ধাতব ঘনককে গলিয়ে 1.8 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট কতগুলো নিরেট গোলক
উৎপন্ন করা যাবে তা নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য=√(a2+b2+c2)
একক =√(82+52+32)
সেমি = 9.9 সেমি (প্রায়)।
ধরি, ঘনকের ধার, x=ঘনবস্তুর
কর্ণের দৈর্ঘ্য= 9.9 সেমি
এখন,
ঘনকের আয়তন
=x3 একক
=(9.9)3 ঘন সেমি
=970.299 ঘন সেমি
দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাস
= 1.8 সেমি
অতএব, গোলকের ব্যাসার্ধ,
r = 1.8/2 = 0.9 সেমি
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন
=(4/3)πr3 ঘন একক
=(4/3)✕3.1416✕(0.9)3 ঘন সেমি
=3.0536352 ঘন সেমি
ধরি, n সংখ্যক নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে।
প্রশ্নমতে,
970.299=n✕3.0536352
বা, n=317.752101
অতএব, 317 টি গোলক তৈরি করা যাবে।
৩২. একটি সমবৃত্তভূমিক কোণাকৃতির তাঁবুর উচ্চতা 8 (আট) মিটার এবং
এর ভূমির ব্যাস 50 মিটার।
ক) তাঁবুটির হেলানো
উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, তাঁবুর উচ্চতা,
h=8 মিটার
এবং ভূমির ব্যাস = 50 মিটার
অতএব, ভূমির ব্যাসার্ধ,
r=50/2=25 মিটার
তাহলে,
হেলানো উচ্চতা, l
=√(h2+r2) একক
=√(82+252) মি
=26.25 মি (প্রায়)
খ) তাঁবুটি স্থাপন
করতে কত বর্গমিটার জমির/জায়গা প্রয়োজন হবে? তাঁবুটির ভিতরের শূন্যস্থানের পরিমাণ নির্ণয়
কর।
সমাধানঃ
তাবুটি স্থাপন করতে তার তলের
সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট জায়গা লাগবে যা একটি বৃত্ত।
অতএব,
তাঁবুটির তলের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ একক
= 3.1416✕252 বর্গ মিটার
=1963.50 বর্গ মিটার (প্রায়)
অর্থাৎ তাবুটি স্থাপন করতে 1963.50 বর্গ মিটার
জায়গা প্রয়োজন।
আবার, তাঁবুটির ভেতরের শূন্যস্থানের পরিমাণ
তাঁবুটির আয়তনের সমান।
অতএব,
তাঁবুটির আয়তন
=(1/3)πr2h ঘন একক
=(1/3)✕3.1416✕252✕8 ঘন মিটার
=5236 ঘন মিটার (প্রায়)
অতএব, তাঁবুটির শূন্যস্থানের পরিমাণ 5236 ঘন
মিটার (প্রায়)।
গ) তাঁবুটির প্রতি
বর্গমিটার ক্যানভাসের মূল্য 125 টাকা হলে ক্যানভাস বাবদ কত খরচ হবে?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
তাবুতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
=πrl বর্গ একক
=3.1416✕25✕26.25 বর্গ মিটার
=2061.675 বর্গ মিটার (প্রায়)
প্রতি বর্গ মিটার ক্যানভাসের
মূল্য 125 টাকা হলে ক্যানভাস বাবদ খরচ = তাঁবুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল✕প্প্রতি বর্গ মিটার ক্যানভাসের মূল্য
=(2061.675✕125) টাকা
=257709.38 টাকা (প্রায়)