ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (15-25) Part 2
আয়তাকার ঘনবস্তু, সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার, সিলিন্ডারের আয়তন, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল, বক্রতলের ক্ষেত্রফল
এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ
ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (1-14) Part 1
১৫. 6, 8, r সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি কঠিন কাচের বল গলিয়ে 9 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কঠিন গোলকে পরিনত করা হলো। r এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
6, 8, r সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট
গোলকের আয়তনের সমষ্টি
={(4/3)π(6)3+(4/3)π(8)3+(4/3)π(r)3} ঘন সেমি
=(4/3)π(63+83+r3)
ঘন সেমি
আবার,
9 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন =(4/3)π.93 ঘন সেমি
প্রশ্নমতে,
(4/3)π(63+83+r3)
=(4/3)π.93
বা, 63+83+r3=93
বা, 216+512+r3=729
বা, r3=729-216-512
বা, r3=1
বা, r=1
১৬. একটি ফাঁপা
লোহার গোলকের বাইরের ব্যাস13 সেমি এবং লোহার বেধ 2 সেমি। ঐ গোলকে ব্যবহৃত লোহা দিয়ে
একটি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। তার ব্যাস কত হবে?
সমাধানঃ
গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ
= 13/2 সেমি = 6.5 সেমি
লোহার বেধ = 2 সেমি
তাহলে,
গোলকের ফাঁপা অংশের ব্যাসার্ধ
= (6.5-2) সেমি = 4.5 সেমি।
এখন,
ফাঁপা অংশের আয়তন
=(4/3)π.(4.5)3 ঘন সেমি
=(4/3)✕3.1416✕(4.5)3 ঘন সেমি
=381.7044 ঘন সেমি
সম্পূর্ণ গোলকের আয়তন
=(4/3)π.(6.5)3 ঘন সেমি
=(4/3)✕3.1416✕(6.5)3 ঘন সেমি
=1150.3492 ঘন সেমি
তাহলে,
গোলকে ব্যবহৃত নিরেট লোহার আয়ত্ন
=(1150.3492-381.7044) ঘন সেমি
=768.6448 ঘন সেমি
এখন,
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে এর আয়তন
= (4/3)π.r3 ঘন একক
অর্থাৎ,
(4/3)π.r3 = 768.6448
বা, r3 = 183.5 [π=3.1416 ধরে]
বা, r=5.6826
বা, 2r=11.3652 সেমি
অতএব, নিরেট গোলকের ব্যাস 11.37 সেমি (প্রায়)।
১৭. 4 সেমি ব্যাসার্ধের
একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 5 সেমি বহিব্যাসার্ধ বিশিষ্ট ও সমভাবে পুরু একটি ফাঁপা গোলক
প্রস্তুত করা হলো। দ্বিতীয় গোলকটি কত পুরু?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ,
r = 4 সেমি
এবং ফাঁপা গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ
r1 = 5 সেমি
ধরি ফাঁপা গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ
= r2 সেমি
আমরা জানি, উভয় গোলকের নিরেট
লোহার আয়তন সমান।
অর্থাৎ,
(4/3)π.r3 = (4/3)π.r13-(4/3)π.r23
বা, r3=r13-r23
বা, 43=53-r23
বা, r23=53-43
বা, r23=61
বা, r2=3.937
তাহলে,
দ্বিতীয় বা ফাঁপা গোলকের পুরুত্ব = (r1-r2)
= (5-3.937) সেমি = 1.063 সেমি।
১৮. একটি লোহার
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সেমি। এর লোহা থেকে 8 সেমি দৈর্ঘ্য ও 6 সেমি ব্যাসের কয়টি
নিরেট সিলিন্ডার প্রস্তুত করা যাবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, নিরেট গোলকের
ব্যাসার্ধ = 6 সেমি
এবং লোহার সিলিন্ডারের ব্যাস
= 6 সেমি
ধরি, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ
r = 6/2 = 3 সেমি এবং দৈর্ঘ্য h = 8 সেমি।
তাহলে, গোলকের আয়তন = (4/3).π.63 ঘন সেমি
এবং সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h ঘন একক = π.32.8 ঘন সেমি
মনে করি, n সংখ্যক সিলিন্ডার তৈরি করা যাবে।
অতএব,
সিলিন্ডার সমূহের আয়তন = নিরেট গোলকের আয়তন
বা, n.π.32.8 = (4/3).π.63
বা, n.32.8 = (4/3).63
বা, n.9.8 = (4/3).216
বা, n.9.8 = 4.72
বা, n = 4
অতএব, সিলিন্ডারের সংখ্যা
4 টি।
১৯. 22/π সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলক আকৃতির বল
একটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়। বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ r = 22/π সেমি
যেহেতু গোলকটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে
যায় সেহেতু ঘনকের বাহু গোলকের ব্যাসের সমান হবে।
অতএব,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r = 2 ✕ 22/π সেমি = 44/3.1416 সেমি = 14.0056 সেমি
এবং ঘনকের আয়তন = (ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য)3
ঘন একক = (14.0056)3 ঘন সেমি = 2747.2954 ঘন সেমি।
গোলকের আয়তন = (4/3).π.(22/π)3
ঘন একক = 1438.4832 ঘন সেমি [π=3.1416 ধরে]
অতএব,
অনধিকৃত অংশের আয়তন
= ঘনকের আয়তন – গোলকের আয়তন
= (2747.2954-1438.4832) ঘন সেমি
=1308.812 ঘন সেমি
২০.
13 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলকের কেন্দ্র থেকে 12 সেমি দূরবর্তী কোন বিন্দুর
মধ্য দিয়ে ব্যাসের উপর লম্ব সমতল গোলকটিকে ছেদ করে। উৎপন্ন তলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়
কর।
সমাধানঃ
প্রশ্ন অনুসারে চিত্র থেকে গোলকের কেন্দ্র
থেকে তলের দূরত্ব OA = 12 সেমি এবং গোলকের ব্যাসার্ধ OB = 13 সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ OBA থেকে পাই,
OB2 = OA2 + AB2
বা, AB2 = OB2 – OA2
বা, AB2 = 132 – 122
বা, AB2 = 169-144
বা, AB2 = 25
বা, AB = 5 সেমি
ধরি, সমতলটি একটি বৃত্ত হবে যার ব্যাসার্ধ,
r = 5 সেমি
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক
= π.52 বর্গ সেমি
= 3.1416 ✕ 25 বর্গ সেমি
= 78.5 বর্গ সেমি
অতএব, তলের ক্ষেত্রফল = 78.5 বর্গ সেমি।
২১. একটি
ঢাকনাযুক্ত কাঠের বাক্সের বাইরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 1.6 মি ও 1.2 মি, উচ্চতা
0.8 মি এবং এর কাঠ 3 সেমি পুরু। বাক্সটির ভিতরের তলের ক্ষেত্রফল কত? প্রতি বর্গমিটার
14.44 টাকা হিসাবে বাক্সের ভিতর রং করতে কত খরচ হবে?
সমাধানঃ
3 সেমি= 0.03 মিটার
অতএব,
বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, a = (1.6-2✕0.03) = 1.54 মি
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ, b =(1.2-2✕0.03) = 1.14 মি
বাক্সের ভিতরের উচ্চতা, c = (0.8-2✕0.03) = 0.74 মি
[যেহেতু বাক্স আয়তাকার হয় সেহেতু এর পুরুত্ব
উভয় দিকে সমান হারে বাদ দিয়ে ভিতরের দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ বা উচ্চতা মাপা হয়]
অতএব,
ভিতরের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ মিটার
=2(1.54✕1.14+1.14✕0.74+0.74✕1.54) বর্গ মিটার
=7.4776 বর্গ মিটার
দেওয়া আছে,
প্রতি বর্গ মিটার ক্ষেত্রে খরচ হয় 14.44 টাকা
অতএব, 7.4776 বর্গ মিটার ক্ষেত্রে খরচ হয় (14.44✕7.4776) টাকা = 107.98 টাকা।
২২.
120 মি দৈর্ঘ্য ও 90 মি প্রস্থ (বহির্মাপ) বিশিষ্ট আয়তাকার বাগানের চতুর্দিকে 2 মি
উচু ও 25 সেমি পুরু প্রাচীর নির্মাণ করতে 25 সেমি দৈর্ঘ্য, 12.5 সেমি প্রস্থ এবং 8
সেমি বেধ বিশিষ্ট কতগুলো ইট লাগবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য, A=120 মিটার
বাগানের প্রস্থ, B = 90 মিটার
প্রচীরের উচ্চতা, H = 2 মিটার
প্রাচীরের পুরুত্ব, d = 25 সেমি =0.25 মিটার
প্রতিটি ইটের দৈর্ঘ্য a = 25 সেমি = 0.25 মিটার
প্রতিটি ইটের প্রস্থ b = 12.5 সেমি =
0.125 মিটার
প্রতিটি ইটের উচ্চতা c = 8 সেমি = 0.08 সেমি
এখন,
প্রাচীর ছাড়া বাগানের দৈর্ঘ্য = (A-2d) মিটার
= (120-2✕0.25) মিটার = 119.5 মিটার
প্রাচীর ছাড়া বাগানের প্রস্থ = (B-2d) মিটার
= (90-2✕0.25) মিটার = 89.5 মিটার
অতএব,
প্রাচীর ছাড়া বাগানের ক্ষেত্রফল = (119.5✕89.5) বর্গ মিটার = 10695.25 বর্গ
মিটার।
প্রাচীর সহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (120✕90) বর্গ মিটার = 10800 বর্গ মিটার
অতএব,
যে স্থানে প্রাচীর অবস্থিত সে স্থানের ক্ষেত্রফল
=(প্রাচীর
সহ বাগানের ক্ষেত্রফল-প্রাচীর ছাড়া বাগানের ক্ষেত্রফল)
=(10800-10695.25)
বর্গ মিটার
=104.75
বর্গ মিটার
তাহলে,
প্রাচীরের আয়তন
=প্রাচীরের
অবস্থিত স্থানের ক্ষেত্রফল✕প্রাচীরের উচ্চতা
=104.75✕2 ঘন মিটার
=209.5
ঘন মিটার
এখন,
প্রতিটি ইটের আয়তন = abc ঘন মিটার
=(0.258✕0.125✕0.08) ঘন মিটার
=0.0025
ঘন মিটার
অতএব, 209.5 ঘন মিটার প্রাচীর নির্মাণে ইট
লাগবে (209.5/0.0025) টি = 83800 টি।
২৩. একটি
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 এবং এর আয়তন 2304 ঘন সেমি। প্রতি বর্গসেন্টিমিটারে
10 টাকা হিসাবে ঐ বস্তুর তলায় সীসার প্রলেপ দিতে 1920 টাকা খরচ হলে, ঐ বস্তুর মাত্রাগুলো
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = 4x সেমি
এবং
প্রস্থ = 3x সেমি ও উচ্চতা = h সেমি
তাহলে, ঐ ঘনবস্তুর আয়তন = 4x.3x.h ঘন সেমি
= 12x2h ঘন সেমি।
প্রশ্নমতে,
12x2h = 2304 ……(i)
যেহেতু প্রতি বর্গ সেমি 10 টাকা হিসেবে বস্তুটির
তলায় সীসার প্রলেপ দিতে মোট খরচ 1920 টাকা সেহেতু,
তলার ক্ষেত্রফল
1920/10
= 192 বর্গ সেমি ।
তাহলে,
4x.3x=192
বা, 12x2 = 192…….(ii)
বা, x2 = 16
বা, x = 4
(ii) নং থেকে মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
192h=2304
বা, h = 12
অতএব,
দৈর্ঘ্য = 4x = 4✕4 = 16 সেমি
প্রস্থ = 3x = 3✕4 = 12 সেমি
এবং উচ্চতা h = 12 সেমি
২৪. কোণক
আকারের একটি তাঁবুর উচ্চতা 7.5 মিটার। এই তাঁবু দ্বারা 2000 বর্গমিটার জমি ঘিরতে চাইলে
কি পরিমাণ ক্যানভাস লাগবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
তাঁবুর উচ্চতা h = 7.5 মিটার
এবং জমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গ মিটার
অতএব, কোণকের ভূমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গ
মিটার
ধরি, কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ = r মিটার
প্রশ্নমতে,
πr2 = 2000
বা, r2 = 636.6183 [π=3.1416 ধরে]
বা, r = 25.2313
আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক বাহুর দৈর্ঘ্য,
l=√(h2+r2) একক
= √{(7.5)2+(25.2313)2}
= 26.3224 মিটার
এখন, মোট ক্যানভাস প্রয়োজন হবে কোণকের বক্রতলের
ক্ষেত্রফলের সমান।
অর্থাৎ তাঁবুর ক্যানভাসের পরিমাণ
= πrl বর্গ মিটার
=(3.1416✕25.2313✕26.3224) বর্গ মিটার
=2086.4885 বর্গ মিটার।
২৫. একটি পঞ্চভুজাকার
প্রিজমের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি ও 8 সেমি এবং অপর তিনটি বাহুর প্রত্যেকটির
দৈর্ঘ্য 10 সেমি, উচ্চতা 12.5 সেমি। প্রিজমটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন রের কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
প্রিজমের ভূমি একটি পঞ্চভুজ ।
দেওয়া আছে, ABCDE পঞ্চভুজের তিনটি বাহুর
দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি ও 8 সেমি এবং উচ্চতা 12.5 সেমি।
অর্থাৎ AB=BC=CD=10 সেমি, AE=8 সেমি,
DE=6 সেমি।
অতএব , পঞ্চভুজাকার প্রিজমটির ভূমি
ABCD বর্গ এবং △ADE এর
সমন্বয়ে গঠিত।
ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =(10)2
সেমি = 100 বর্গ সেমি
△ADE এ , AD = 10 সেমি
ত্রিভুজটির পরিসীমা, 2s=(8+6+10) সেমি
∴ s = 24/2 =
12 সেমি
আমরা জানি,
AD, AE, DE বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজের
ক্ষেত্রফল
= √{s(s
–AD) (s-AE) (s-DE)} বর্গ একক
= √{12
(12-10) (12-8) (12-6)} বর্গ সেমি
= √576
বর্গ সেমি
= 24 বর্গ সেমি
প্রিজমের ভূমির পরিসীমা = (10✕3+8+6) সেমি = 44 সেমি
এখন, প্রিজমের উচ্চতা = 12.5 সেমি
আমরা জানি,
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(ভূমির ক্ষেত্রফল) + ভূমির পরিসীমা
✕ উচ্চতা
= 2 (100+24) বর্গসেমি + 44 ✕
12.5 বর্গ সেমি
= (248 + 44✕12.5 ) বর্গ সেমি
= 798 বর্গ সেমি
এবং প্রিজমের আয়তন
= ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=124✕12.5 ঘন মিটার
= 1550 ঘন মিটার
এই অধ্যায়ের পরের অংশঃ
ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (26-25) Part 3