ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (1-14) Part 1
আয়তাকার ঘনবস্তু, সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার, সিলিন্ডারের আয়তন, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল , বক্রতলের ক্ষেত্রফল
১. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 5 সেন্টিমিটার, প্রস্থ 4 সেন্টিমিটার এবং উচ্চতা 3 সেন্টিমিটার। এর কর্ণ কত?
ক) 5√2 সেমি খ) 25 সেমি
গ) 25√2 সেমি ঘ) 50 সেমি
উত্তরঃ ক
[আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ=√(52+42+32) সেমি = √50 সেমি= 5√2 সেমি]
২. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ভিন্ন অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং 3 সেমি। ত্রিভুজটিকে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে-
a. উৎপন্ন ঘনবস্তুটি একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক হবে
b. ঘনবস্তুটি একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার হবে
c. উৎপন্ন ঘনবস্তুটির ভূমির ক্ষেত্রফল হবে 9π বর্গ সেমি
ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) a খ) b গ) a ও c ঘ) b ও c
উত্তরঃ গ
[a. উৎপন্ন ঘনবস্তুটি একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক হবে
c. ঘনবস্তুটির ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2 = π.32 বর্গ সেমি = 9π বর্গ সেমি]
নিন্মের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও।
2 সেমি ব্যাসের একটি গোলোক আকৃতির বল একটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।
৩. সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
ক) 2π ঘন সেমি খ) 4π ঘন সেমি
গ) 6π ঘন সেমি ঘ) 8π ঘন সেমি
উত্তরঃ ক
[সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h ঘন একক = πr2.(2r)
ঘন একক = 2πr3 ঘন একক = 2π.13 ঘন সেমি = 2π ঘন সেমি।(ব্যাস, 2r=2 সেমি বা r=1 সেমি)]
৪. সিলিন্ডারটির অনধিকৃত অংশের আয়তন কত?
ক) π/3 ঘন সেমি
খ) 2π/3 ঘন সেমি
গ) 4π/3 ঘন সেমি
ঘ) 3π/3 ঘন সেমি
উত্তরঃ খ
[সিলিন্ডারের অনধিকৃত অংশের অয়তন
=সিলিন্ডারের আয়তন-গোলকের আয়তন
=(2π-4/3
πr2) ঘন একক
=(2π-4/3
π.12) ঘন সেমি
=2π/3
ঘন সেমি]
নিন্মের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও।
6 সেমি ব্যসবিশিষ্ট একটি ধাতব কঠিন গোলককে গলিয়ে 3 সেমি ব্যসার্ধবিশিষ্ট একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার তৈরি করা হলো।
৫. উৎপন্ন সিলিন্ডারটির উচ্চতা কত?
ক) 4 সেমি খ) 6 সেমি
গ) 8 সেমি ঘ) 12 সেমি
উত্তরঃ ক
[প্রশ্নমতে,
গোলকের আয়তন=সিলিন্ডারের আয়তন
বা, 4/3 πr13
= πr22h
বা, 4/3✕33 = 32✕h
বা, h = 4
সেমি]
৬. সিলিন্ডারটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
ক) 24π খ) 42π গ) 72π ঘ) 96π
উত্তরঃ ক
[সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল]
=2πrh বর্গ একক
=2✕ π✕3✕4 বর্গ সেমি
=24 π বর্গ সেমি]
৭. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 16 মি, 12 মি ও 4.5 মি। এর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার
প্রস্থ b= 12 মিটার
এবং উচ্চতা c=4.5 মিটার।
অতএব,
আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ একক
=2(16✕12+12✕4.5+4.5✕16) বর্গ মিটার
=2(192+54+72) বর্গ মিটার
=636 বর্গ মিটার
আবার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√(a2+b2+c2) একক
=√{(16)2+(12)2+(4.5)2}
মিটার
=√(256+144+20.25) মিটার
=√420.25 মিটার
=20.5 মিটার
এবং
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন
=(a✕b✕c) ঘন একক
=(16✕12✕4.5) ঘন মিটার
=864 ঘন মিটার
৮. ভূমির উপর অবস্থিত 2.5 মি ও 1 মি প্রস্থ বিশিষ্ট (অভ্যন্তরীণ পরিমাপ) একটি আয়তাকার জলাধারের উচ্চতা 0.4 মিটার হলে, এর আয়তন এবং অভ্যন্তরীণ তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, আয়তাকার জলাধারটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a একক, b একক এবং c একক।
সুতরাং,
আয়তাকার জলাধারটির দৈর্ঘ্য a = 2.5 মিটার
প্রস্থ b= 1.0 মিটার
এবং উচ্চতা c=0.4 মিটার।
অতএব,
আয়তাকার ক্ষেত্রের আয়তন
=abc ঘন একক
=2.5✕1.0✕0.4 ঘন মিটার
=1 ঘন মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের অভ্যন্তরীন তলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ একক
=2(2.5✕1.0+1.0✕0.4+0.4✕2.5) বর্গ মিটার
=2(2.5+0.4+1) বর্গ মিটার
=7.8 বর্গ মিটার
৯. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর মাত্রাগুলো 5 সেমি, 4 সেমি ও 3 সেমি হলে, তার কর্ণের সমান ধারবিশিষ্ট ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 5 সেমি
প্রস্থ b= 4 সেমি
এবং উচ্চতা c=3 সেমি
অতএব,
কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√(a2+b2+c2) একক
=√(52+42+32) সেমি
=√(25+16+9) সেমি
=√50 সেমি
=5√2 সেমি
তাহলে, ঘনকের ধার, p=5√2 সেমি।
অতএব,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=6p2 বর্গ একক
=6(5√2)2 বর্গ সেমি
=6✕50 বর্গ সেমি
=300 বর্গ সেমি
১০. 70 জন ছাত্রের জন্য এরূপ একটি হোস্টেল নির্মাণ করতে হবে যাতে প্রত্যেক ছাত্রের জন্য 4.25 বর্গমিটার মেঝে ও 13.6 ঘনমিটার শুণ্যস্থান থাকে। ঘরটি 34 মিটার লম্বা হলে, এর প্রস্থ ও উচ্চতা কত হবে?
সমাধানঃ
1 জন ছাত্রের জন্য প্রয়োজন 4.25 বর্গমিটার মেঝে
অতএব, 70 জন ছাত্রের জন্য প্রয়োজন (4.25✕70)
বর্গমিটার মেঝে = 297.50 বর্গমিটার মেঝে
আমরা জানি,
দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, 3.4✕প্রস্থ = 297.50
বা, প্রস্থ = 297.50/3.4 মিটার = 87.5 মিটার
এবং,
আয়তন = ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
বা, উচ্চতা = আয়তন/ক্ষেত্রফল = 13.6/4.25 = 3.2 মিটার
অতএব, হোস্টেলের প্রস্থ 87.5 মিটার এবং উচ্চতা 3.2 মিটার।
১১. একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 8 সেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সেমি হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, কোণকের উচ্চতা h=8 সেমি
এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r=6 সেমি।
অতএব,
কোণকের তির্যক বাহুর উচ্চতা l
=√(h2+r2) একক
=√(82+62) সেমি
=√(64+36) সেমি
=√100 সেমি
=10 সেমি
তাহলে,
কোণকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(l+r) বর্গ একক
=3.1416✕6(10+6) বর্গ সেমি
=3.1416✕6✕16 বর্গ সেমি
=301.5936 বর্গ সেমি (প্রায়)
এবং,
কোণকের আয়তন
=(1/3) πr2h ঘন একক
=(1/3)✕3.1416✕62✕8 ঘন সেমি
=301.5929 ঘন সেমি (প্রায়)
১২. একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 24 সেমি এবং আয়তন 1232 ঘনসেমি। এর হেলানো উচ্চতা কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা h=24 সেমি
এবং কোণকের আয়তন = 1232 ঘন একক
এখন, কোণকের উচ্চতা h ও ব্যাসার্ধ r হলে
কোণকের আয়তন = (1/3) πr2h
বা, 1232 = (1/3) πr2h
বা, πr2h = 3696
বা, 3.1416✕r2 ✕24 =3696
বা, r2 = 49.0196
বা, r = 7.0014 সেমি
তাহলে,
হেলানো উচ্চতা l
=√(h2+r2)
একক
=√{(24)2+(7.0014)2} সেমি
=√(576+49.0196) সেমি
=25.0004 সেমি (প্রায়)
১৩. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3.5 সেমি। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
সমকোণী ত্রিভুজের 5 সেমি বাহুর চতুর্দিকে ত্রিভুজটিকে ঘোরালে 3.5 সেমি ব্যাসার্ধ এবং 5 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট সমবৃত্তভূমিক কোণক তৈরি হবে।
তাহলে সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ r = 3.5 সেমি ও উচ্চতা h=5 সেমি।
অতএব,
কোণকের আয়তন
= =(1/3) πr2h ঘন একক
=(1/3)✕3.1416✕(3.5)2✕5 ঘন সেমি
=64.14 ঘন সেমি (প্রায়)
১৪. 6 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলকের পৃষ্টতল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাসার্ধ r = 6 সেমি।
অতএব,
গোলকের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr2 বর্গ একক
=4✕3.1416✕62 বর্গ সেমি
=452.3904 বর্গ সেমি (প্রায়)
এবং
গোলকের আয়তন
= (4/3)πr3 ঘন একক
= (4/3)✕3.1416✕63 ঘন সেমি
=904.7808 ঘন সেমি (প্রায়)
বাকী অংশসমূহঃ
ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (15-25) Part 2
ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)-SSC Higher Math BD-Chapter 13 (26-32) Part 3