সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vector)-SSC Higher Math BD-Chapter 12 (1-12) Part 1

সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vector): স্কেলার ও ভেক্টর রাশি, ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ, সমান-বিপরীত ও অবস্থান ভেক্টর, স্কেলার গুণিতক ও একক ভেক্টর, ভেক্টরের সাহায্যে জ্যামিতিক সমাধান।

১. AB || DC হলে

(i.)	à AB	=	à m.DC
যেখানে m একটি স্কেলার রাশি।
(ii.)	à AB	=	à DC
(iii.)	à AB	=	à CD

ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক.) i      খ.) ii

গ.) i ও ii    ঘ.) i, ii ও iii

উত্তরঃ ক

২. দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে--

.i. এদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্ত্রিক বিধি প্রযোজ্য

.ii. এদের যোগের ক্ষেত্রে ত্রিভুজ বিধি প্রযোজ্য

.iii. এদের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান

ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক.) i      খ.) ii

গ.) i ও ii    ঘ.) i, ii ও iii

উত্তরঃ  খ

৩. AB=CD এবং AB||CD হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক.)	à AB	=	à CD
খ.)	à AB	=	à m.CD
যেখানে m>1
গ.)	à AB	+	à DC < 0
ঘ.)	à AB	+	à mCD=0
	যেখানে m>1

উত্তরঃ ক

৪.

à AA

ভেক্টর হচ্ছে

.i. বিন্দু ভেক্টর

.ii. একক ভেক্টর

.iii. শূন্য ভেক্টর

নিচের কোনটি সঠিক?

ক.) i      খ.) i, iii

গ.) i ও ii    ঘ.) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

৫. △ABC এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

ক.)	à AB	+	à BC	=	à CA
খ.)	à AB	+	à AC	=	à BC
গ.)	à CB	+	à BA	+	à CA	=0
ঘ.)	à AB	+	à BC	+	à CA	=0

উত্তরঃ ঘ

৬.	ABCD সামন্তরিকের কর্ণদ্বয়
	à AC ও	à BD	হলে
	à AB ও	à AC	ভেক্টরদ্বয়কে
	à AD ও	à BD	ভেক্টরদ্বয়ের
	মাধ্যমে প্রকাশ কর এবং
	দেখাও যে,
	à AC +	à BD	à =2BC এবং
	à AC -	à BD	à =2AB

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ABCD একটি সামন্তরিক।
à AC ও	à BD	এর কর্ণদ্বয়।
à AB ও	à AC	ভেক্টরদ্বয়কে
à AD ও	à BD	ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে
প্রকাশ করতে হবে এবং দেখাতে হবে যে,
à AC +	à BD	=	à 2BC	এবং
à AC -	à BD	=	à 2AB

প্রমাণঃ নিচের চিত্রে দেখানো হলোঃ

৭. দেখাও যে,

ক) –(a+b)=-a-b

সমাধানঃ

–(a+b)

=(-1) (a+b)

=(-1)a+(-1)b [বন্টন সূত্র]

=-a-b [দেখানো হলো]

খ) a+b=c হলে a=c-b

সমাধানঃ

a+b=c

বা, a+b-b=c-b [উভয়পক্ষে (-b) যোগ করে]

বা, a+0=c-b

বা, a=c-b [দেখানো হলো]

৮. দেখাও যে,

ক) a+a=2a

সমাধানঃ

a+a

=1 a+1a [স্কেলার গুণের নিয়মানুসারে]

=(1+1)a [যেহেতু, (m+n)a=ma+na]

=2a (দেখানো হলো)

খ) (m-n)a=ma-na

সমাধানঃ

(m-n)a

={m+(-n)}a

=ma+(-n)a [যেহেতু, (m+n)a=ma+na]

= ma-na  [স্কেলার গুণের নিয়মানুসারে](দেখানো হলো)

গ) m(a-b)=ma-mb

সমাধানঃ

m(a-b)

= m{(a+(-b)}

=ma+m(-b)  [যেহেতু, (m+n)a=ma+na]

=ma-mb (দেখানো হলো)

৯. দেখাও যে,

ক) a,b প্রত্যেকে অশূন্য (০ নয়)ভেক্টর হলে, a=mb হতে পারে কেবলমাত্র যদি a,b এর সমান্তরাল হয় এই শর্তে।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a,b প্রত্যেকে অশূন্য ভেক্টর। দেখাতে হবে যে, a=mb হতে পারে কেবলমাত্র যদি a,b এর সমান্তরাল হয়।

মনে করি, a=mb

তাহলে, a,b এর সমান্তরাল দেখানোই যথেষ্ট হবে।

a=mb হওয়ায় a ভেক্টরটি b এর স্কেলার গুণিতক। সুতরাং a এর দিক ও b এর দিক সমমূখী হবে যদি m>0 হয় এবং বিপরীত্মুখী হবে যদি m<0 হয়। এখানে m ≠ 0 কারন m=0 হলে a=0 হবে যা অসম্ভব কেননা a একটি অশূন্য ভেক্টর।

a ও b এর দিক যদি একই হয় তাহলে তারা সদৃশ সমান্তরাল আর যদি বিপরিত হয় তাহলে তারা বিসদৃশ সমান্তরাল হবে।

সুতরাং উভয়ক্ষেত্রেই a.b এর সমান্তরাল। (দেখানো হলো)

খ) a,b অশূন্য অসমান্তরাল ভেক্টর এবং ma+nb=0 হলে, m=n=0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a,b অশূন্য অসমান্তরাল ভেক্টর এবং ma+nb=0 । দেখাতে হবে যে, m=n=0

এখন,

ma+nb=0

বা, ma+nb-nb =0-nb (উভয়পক্ষে -nb যোগ করে)

বা, ma =-nb

যদি m ও n অশূন্য হয় তাহলে a ও b

(i) বিপরীতমুখী হবে যদি m ও n এর চিহ্ন একই হয়।

(ii) সমমুখী হবে যদি m ও n এর চিহ্ন বিপরীত হয়।

উভয় ক্ষেত্রেই a ও b সমান্তরাল হবে যা অসম্ভব কেননা দেওয়া আছে যে a ও b দুইটি অসমান্তরাল ভেক্টর।

অতএব, m ও n অশূন্য হতে পারে না।

অর্থাৎ m=n=0 (দেখানো হলো)

১০. A, B, C এবং D বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a,b,c ও d হলে দেখাও যে, ABCD সামন্তরিক হবে যদি এবং কেবল যদি b-a=c-d হয়।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A, B, C এবং D বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a,b,c ও d

তাহলে,

à

AB=b-a

এবং

à

DC=c-d

মনে করি, ABCD একটি সামন্তরিক। তাহলে AB ও DC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হবে।

অর্থাৎ

à    à

AB=DC

বা, b-a=c-d

বিপরীতক্রমে, মনে করি, b-a=c-d

তাহলে,

à    à

AB=DC

সুতরাং, AB ও DC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

অর্থাৎ, ABCD একটি সামন্তরিক।

অতএব, ABCD সামন্তরিক হবে যদি এবং কেবল যদি b-a=c-d হয়।(দেখানো হলো)

১১. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের এক বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে অঙ্কিত অপর বাহুর সমান্তরাল রেখা তৃতীয় বাহুর মধ্যবিন্দুগামী।

সমাধানঃ

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে যে, ত্রিভুজ এর একটি বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে অঙ্কিত অপর বাহুটির সমান্তরাল রেখা তৃতীয় বাহুটির মধ্যবিন্দুগামী।

প্রমাণঃ

মনে করি, O বিন্দুর সাপেক্ষে,  ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a, b, c। D, AB এর মধ্যবিন্দু। DE||BC এবং DE, AC কে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, E, AC এর মধ্যবিন্দু।

যেহেতু, D, AB এর মধ্যবিন্দু, সেহেতু D এর অবস্থান ভেক্টর হবে,

à

OD = ½ (a+b).

E,AC এর মধ্যবিন্দু না হলে, মনে করি F, AC এর মধ্যবিন্দু। তাহলে F এর অবস্থান ভেক্টর হবে,

à

OF= ½ (a+c)

এখন,

à    à   à

DF=OF-OD

    = ½ (a+c)- ½ (a+b)

    = ½ (a+c-a-b)

    = ½ (c-b)

            à

    = ½ BC

অর্থাৎ, DF||BC. কিন্তু দেওয়া আছে, DE||BC. তাহলে DF ও DE যেহতু BC এর সমান্তরাল সেহেতু DF ও DE একই রেখা। অর্থাৎ F বিন্দু E বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।

অতএব, E, AC এর মধ্যবিন্দু (প্রমাণিত)

১২. প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে তা একটি সামন্তরিক হয়।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামন্তরিক।

প্রমাণঃ

à    à

DO=OB [যেহেতু, O,BD এর মধ্যবিন্দু]….(i)

এবং

à    à

OC=AO [যেহেতু, O,AC এর মধ্যবিন্দু]….(ii)

এখন,

à    à    à

AB=AO+OB [ত্রিভুজ বিধি]

       à    à

    =OC+DO   [(i) ও (ii) হতে]

       à    à

    =DO+OC

       à  

    =DC

অতএব,

à    à

AB=DC

অতএব, AB=DC এবং

à      à

AB ও DC এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল হবে। এখানে ধারক রেখাদ্বয় সম্পূর্ণ ভিন্ন। অর্থাৎ AB||DC.

অতএব, ABCD একটি সামন্তরিক।

[সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল](প্রমাণিত)    

এই অনুশীলনীর পরবর্তি অংশঃ

সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vector)-SSC Higher Math BD-Chapter 12 (13-16) Part 2