সরলরেখার সমীকরণ-SSC Higher Math BD-Chapter 11.4 (12-18) Part 2

সরলরেখার সমীকরণঃ সরলরেখার বা রেখার সমীকরণ নির্ণয়

এই অনুশীলনীর ১ম অংশঃ

 সরলরেখার সমীকরণ-SSC Higher Math BD-Chapter 11.4 (1-11) Part 1

১২. নিন্মোক্ত প্রতিক্ষেত্রে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

ক) ঢাল 3 এবং y ছেদক 5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=3 এবং y এর ছেদক c=5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = 3x+5

সুতরাং, y=3x+5 (Ans.)

খ) ঢাল 3 এবং y ছেদক -5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=3 এবং y এর ছেদক c=-5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = 3x-5

সুতরাং, y=3x-5 (Ans.)

গ) ঢাল -3 এবং y ছেদক 5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=-3 এবং y এর ছেদক c=5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = -3x+5

সুতরাং, y=-3x+5 (Ans.)

ঘ) ঢাল -3 এবং y ছেদক -5

সমাধানঃ

এখানে ঢাল m=-3 এবং y এর ছেদক c=-5

অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = -3x-5

সুতরাং, y=-3x-5 (Ans.)

উপরোক্ত চার রেখা একই সমতলে এঁকে দেখাও [এই রেখাসমূহের মাধ্যমে বুঝা যাবে ঢাল এবং y ছেদকের চিহ্নের জন্য রেখা কোন চতুর্ভাগে অবস্থান করবে]

সমাধানঃ

 (ক)

y=3x+5

বা, 0 = 3x+5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = -5

বা, x = -⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁵/₃,0)

আবার,

y=3x+5

বা, y = 5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5)

(খ)

y=3x-5

বা, 0 = 3x-5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 5

বা, x = ⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (⁵/₃,0)

আবার,

y=3x-5

বা, y = -5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-5)

(গ)

y=-3x+5

বা, 0 = -3x+5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 5

বা, x = ⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₃ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (⁵/₃,0)

আবার,

y=-3x+5

বা, y = 5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₃ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5)

(ঘ)

y=-3x-5

বা, 0 = -3x-5 [y=0 ধরে]

বা, 3x = -5

বা, x = -⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁵/₃,0)

আবার,

y=-3x-5

বা, y = -5 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-5)

উপরোক্ত রেখা চারটি নিচে একই সমতলে আঁকা হলোঃ

১৩. নিন্মোক্ত রেখাসমূহ x অক্ষকে ও y অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে নির্ণয় কর। তারপর রেখাসমূহ এঁকে দেখাও।

ক) y=3x-3

সমাধানঃ

y=3x-3

বা, 0 = 3x-3 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 3

বা, x = 1

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,0) (Ans.)

আবার,

y=3x-3

বা, y = -3 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-3) (Ans.)

নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ

খ) 2y=5x+6

সমাধানঃ

2y=5x+6

বা, 0 = 5x+6 [y=0 ধরে]

বা, 5x = -6

বা, x = -⁶/₅

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁶/₅, 0) (Ans.)

আবার,

2y=5x+6

বা, 2y = 6 [x=0 ধরে]

বা, y = 3

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,3) (Ans.)

নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ

গ) 3x-2y-4=0

সমাধানঃ

3x-2y-4=0

বা, 3x -4 =0 [y=0 ধরে]

বা, 3x = 4

বা, x = ⁴/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (⁴/₃, 0) (Ans.)

আবার,

3x-2y-4=0

বা, -2y-4 = 0 [x=0 ধরে]

বা, -2y = 4

বা, y =-2

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-2) (Ans.)

নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ

১৪. (k,0) বিন্দুগামী ও k ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ k এর মাধ্যমে নির্ণয় কর। যদি রেখাটি (5,6) বিন্দুগামী হয় তবে k এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(k,0) বিন্দুগামী ও K ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-0)=k(x-k)  [যেহেতু, y-y₁=m(x-x₁)]

বা, y=k(x-k) (Ans.)

যদি রেখাটি (5,6) বিন্দুগামী হয়, তাহলে,

6 = k(5-k)

বা, 6 =5k-k²

বা, k²-5k+6 = 0

বা, k²-2k-3k+6=0

বা, k(k-2)-3(k-2) = 0

বা, (k-3)(k-2) = 0

বা, k-3 = 0       অথবা, k-2 = 0

বা, k=3             বা, k = 2

অতএব, k = 2,3 (Ans.)

১৫. (k²,2k) বিন্দুগামী এবং ¹/_k ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। যদি রেখাটি (-2,1) বিন্দু দ্বারা অতিক্রম করে তবে k এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(k²,2k) বিন্দুগামী এ্বং ¹/_K ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-2k)=¹/_k(x-k²)  [যেহেতু, y-y₁=m(x-x₁)]

বা, y-2k = ^x/_k-k

বা, y = ^x/_k-k+2k

বা, y = ^x/_k+k (Ans.)

যদি রেখাটি (-2,1) বিন্দুগামী হয়, তাহলে,

1 = -²/_k+k

বা, k =-2+k² [উভয়পক্ষকে k দ্বারা গুণ করে]

বা, k²-k-2 = 0

বা, k²-2k+k-2 = 0

বা, k(k-2)+1(k-2) = 0

বা, (k+1)(k-2)=0

বা, k+1 = 0      অথবা, k-2 = 0

বা, k = -1         বা, k = 2

অতএব,

k  এর সম্বাব্য মান -1,2 (Ans.)

১৬. একটি রেখা A(-2,3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল ½ । রেখাটি যদি (3,k) বিন্দু দিয়েও যায় তবে k এর মান কত?

সমাধানঃ

A(-2,3) বিন্দুগামী ও ½ ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-3) = ½ (x+2)

বা, y = ^x/₂ +1 +3

বা, y = ^x/₂ +4

রেখাটি (3,k) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে,

বা, k = ³/₂ +4

বা, k = ¹¹/₂ (Ans.)

১৭. 3 ঢালবিশিষ্ট একটি রেখা A(-1,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং  x অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুগামী অন্য একটি রেখা  x অক্ষকে C(2,0) বিন্দুতে ছেদ করে।

ক) AB ও AC রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

A(-1,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং 3 ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

(y-6) = 3(x+1)   [যেহেতু, y-y₁=m(x-x₁)]

বা, y = 3x+3+6

বা, y = 3x+9

রেখাটি X অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে, B বিন্দুতে কোটি, y = 0

বা, 3x+9 = 0

বা, x = -3

অতএব, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3,0)

তাহলে,

AB রেখার সমীকরণ,

x+1    -1+3

---- =-------

y-6       6-0

বা, (y-6)2 = (x+1)6

বা, 2y-12 = 6x+6

বা, 2y = 6x+6+12

বা, 2y = 6x+18

বা, y = 3x+9 (Ans.)

এবং, AC রেখার সমীকরণ,

x+1    -1-2

---- =-------

y-6       6-0

বা, (y-6).(-3) = (x+1)6

বা, -3y+18 = 6x + 6

বা, -3y =6x+6-18

বা, -3y = 6x-12

বা, y =-2x+4 (Ans.)

খ) △ABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-1  -3  2  -1   6   0  0   6	|	বর্গ একক
= ½ ✕ (0+0+12+18-0-0) বর্গ একক
= ½ ✕30 বর্গ একক
= 15 বর্গ একক (Ans.)

১৮. দেখাও যে, y-2x+4=0 এবং 3y=6x+10 রেখাদ্বয় পরস্পপর ছেদ করে না। রেখাদ্বয়ের চিত্র এঁকে ব্যাখ্যা কর কেন সমীকরণ দুইটির সমাধান নাই।

সমাধানঃ

y-2x+4=0

বা, y = 2x-4……..(i)

এবং

3y=6x+10

বা, y = 2x+¹⁰/₃……..(ii)

যেহেতু (i) ও (ii) উভয় রেখার ঢাল m₁ = m₂ = 2 এবং y অক্ষের কর্তিত অংশ যথাক্রমে -4 ও ¹⁰/₃ অসমান। সুতরাং রেখাদ্বয় পরস্পপর সমান্তরাল এবং পরস্পর ছেদ করে না।

এখন,

y = 2x-4

বা, 2x -4 =0 [y=0 ধরে]

বা, 2x = 4

বা, x = 2

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 0)

আবার,

y = 2x-4

বা, y =-4 [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₁ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₁ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-4)

এবং,

y = 2x+¹⁰/₃

বা, 2x +¹⁰/₃ =0 [y=0 ধরে]

বা, 2x = -¹⁰/₃

বা, x = -¹⁰/₆ =-⁵/₃

অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A₂ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

A₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-⁵/₃, 0)

আবার,

y = 2x+¹⁰/₃

বা, y =¹⁰/₃ [x=0 ধরে]

অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B₂ বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,

B₂ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, ¹⁰/₃)

ছক কাগজে A₁, B₁, A₂ ও B₂ বিন্দু স্থাপন করে রেখাদ্বয় আঁকা হলোঃ

সুতরাং, উপরিক্ত চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে, রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল অর্থাৎ তাদের কোনো ছেদবিন্দু নেই। তাই প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সমাধান নেই।

এই অনুশীলনীর ৩য় বা শেষ অংশঃ

সরলরেখার সমীকরণ-SSC Higher Math BD-Chapter 11.4 (19-24) Part 3