লগারিদম (Logarithm) : সরল, লেখচিত্র, ডোমেন, রেঞ্জঃ SSC Higher Math BD-Chapter 9.2 (9-15) Part 4

লগারিদম (Logarithm) : সরল, লেখচিত্র, ডোমেন, রেঞ্জ

এই অনুশীলণীর পূর্বোক্ত অংশসমূহের লিঙ্কঃ

লগারিদম (Logarithm)-(-1-6-) Part 1

লগারিদম (Logarithm)-(-7-) Part 2

লগারিদম (Logarithm)-(-8-) Part 3

৯. নিচের ফাংশনের বিপরীত ফাংশন লিখ এবং লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করঃ

ক) y = 1-2^x

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=1-2^x

বা, x = f^-1(y)………(i)

এখন, y = 1-2^x

বা, 2^x = 1-y

বা, x = log₂(1-y)

বা, f^-1(y) = log₂(1-y) [(i) থকে মান বসিয়ে]

বা, f^-1(x) = log₂(1-x)

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
3	-7
2	-3
1	-1
0	0
-1	0.5
-2	0.75
-3	0.88

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=1-2^x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়ঃ

চিত্র হতে দেখা যায় লেখটি (0,0) বিন্দুগামী কারন যখন x=0, তখন y=1-2⁰ = 1-1 = 0.

আবার, x এর মান যত বৃদ্ধি পায় y এর মান তত কমে। অর্থাৎ x à ∞ তখন y à -∞

আবার, x এর মান যত হ্রাস পায় y এর মান তত বাড়ে। অর্থাৎ x à -∞ তখন y à ∞

সুতরাং, ডোমেন D= (-∞, ∞) এবং রেঞ্জ R=(-∞,∞)

খ) y =log₁₀x

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=log₁₀x

বা, x = f^-1(y)………(i)

এখন, y = log₁₀x

বা, x = 10^y

বা, f^-1(y) = 10^y [(i) থকে মান বসিয়ে]

বা, f^-1(x) = 10^x

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
0.5	-0.3
1	0
2	0.3
3	0.5
4	0.6
5	0.7
10	1

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=log₁₀x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়ঃ

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সঙ্গায়িত হয় এবং শূন্যতে (0) অসংজ্ঞায়ীত।

সুতরাং, ডোমেন (0, ∞)

লেখচিত্র হতে পাই, x যতই শূন্যের কাছাকাছি হয় y ততই হ্রাস পায় অর্থাৎ x à 0 তখন y à -∞

আবার, x যতই বৃদ্ধি পায় y ও ততই বৃদ্ধি পায় অর্থাৎ x à∞ তখন y à ∞

সুতরাং, রেঞ্জ =(-∞,∞)

গ) y = x², x > 0

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x) = x², x > 0

বা, x = f^-1(y)………(i)

এখন, y = x²

বা, x = ±√y

বা, x = √y [যেহেতু, x > 0]

বা, f^-1(y) =√y [(i) থকে মান বসিয়ে]

বা, f^-1(x) = √x

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
0	0
1	1
2	4
3	9

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=x² এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়ঃ

প্রদত্ত তথ্যমতে, y=f(x) = x², x > 0. তাহলে শূন্য ব্যতীত সকল বাস্তব মানের জন্য f(x) সংজ্ঞায়িত।

সুতরাং, ডোমেন (0, +∞)

এবং লেখচিত্র হতে পাই, রেঞ্জ =(0,+∞)

১০. f(x) = In (x-2) ফাংশনটির ডোমেন D_f এবং R_f রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

f(x) = In (x-2)

আমরা জানি, লগারিদম শুধুমাত্র ধণাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

সুতরাং,

x-2 > 0

বা, x > 0

সুতরাং ডোমেন D_f = {x : x >2} = (2, ∞)

রেঞ্জ : y= f(x) = ln(x-2)

à e^y = x-2

à x = e^y+2

y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ R_f = R

১১.

                1-x

f(x) = In-------

                1+x

ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

              1-x

f(x) = In------

              1+x

আমরা জানি, লগারিদম শুধুমাত্র ধণাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

সুতরাং,

1-x

----- > 0

1+x

হবে যদি (i) 1-x > 0 এবং 1+x > 0 হয়

অথবা, (ii) 1-x < 0 এবং 1+x < 0 হয়।

এখন,

(i) 1-x > 0        এবং 1+x > 0

বা, -x > - 1       এবং x > -1

বা, x < 1                      

অতএব,

ডোমেন D_f = {x:-1<x}∩{x:x<1}

            =(0,1,2,3….)∩(0,-1,-2,…)

            =(-1,1)

(ii) 1-x < 0       এবং 1+x < 0

বা, –x < -1       এবং x < -1

বা, x > 1           এবং x<-1

অতএব,

ডোমেন D_f = {x:x<-1}∩{x:x>1}

            = (-2,-3,-4,….) ∩(2,3,4,…)

            =∅

তাহলে, প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

D_f=(i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ সেট

=(-1,1) ∪ ∅

=(-1,1)

ধরি,

                            1-x

রেঞ্জঃ y=f(x) = In------

                           1+x

              1-x

বা, e^y = ------

             1+x

বা, 1-x = (1+x)e^y

বা, 1-x = e^y+xe^y

বা, 1-e^y=x(1+e^y)

             1-e^y

বা, x = ------

            1+e^y

y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

অতএব, প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন R_f = R

১২. ডোমেন ও রেঞ্জ উল্লেখসহ লেখচিত্র অঙ্কন কর।

ক) f(x) = |x|, যখন -5 ≤ x ≤ 5

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x) = |x|, যখন -5 ≤ x ≤ 5

x এর প্রদত্ত সীমার মধ্যে f(x) সর্বদা সংজ্ঞায়িত।

অতএব,

ডোমেন D_f = {x: -5 ≤ x ≤ 5} = [-5,5]

আবার যেহেতু f(x) পরমমান ফাংশন তাই -5 ≤ x ≤ 5 ব্যবধিতে f(x) এর মান হবে 0 ≤ f(x) ≤ 5.

অতএব,

রেঞ্জ R_f = {f(x): 0 ≤ f(x) ≤ 5} = [0,5]    

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-5	5
-4	4
-3	3
-2	2
-1	1
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=|x| এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

  

খ) f(x) = x + |x|,  যখন -2 ≤ x ≤ 2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x) = x + |x|,  যখন -2 ≤ x ≤ 2

x এর প্রদত্ত সীমার মধ্যে f(x) সর্বদা সংজ্ঞায়িত।

অতএব,

ডোমেন D_f = {x: -2 ≤ x ≤ 2} = [-2,2]

আবার, x যখন ঋণাত্মক তখন f(x) = -x+|-x| = -x+x = 0

এবং যখন ধণাত্মক তখন f(x) = x+|x| =x+x =2x

অতএব,

f(x) এর রেঞ্জ R_f

= {f(x):0≤f(x) ≤4}=[0,4]

আবার যেহেতু f(x) পরমমান ফাংশন তাই -5 ≤ x ≤ 5 ব্যবধিতে f(x) এর মান হবে 0 ≤ f(x) ≤ 5.

অতএব,

রেঞ্জ R_f = {f(x): 0 ≤ f(x) ≤ 5} = [0,5]    

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-2	0
-1	0
0	0
1	0
2	4

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=x+|x| এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

  

গ) f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0; f(x) = 0, যখন x = 0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0; f(x) = 0, যখন x = 0

এখন, f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0 এর ক্ষেত্রে, x এর মান 0 বাদে যেকোনো ঋণাত্মক ও ধণাত্মক সংখ্যা।

এবং f(x) = 0, যখন x = 0 এর ক্ষেত্রে x এর মান 0 ভিন্ন অন্য কিছু নয়। অর্থাৎ x এর সকল বাস্তব মানের জন্য প্রদত্ত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত।

অতএব, প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন D_f = R

আবার,

f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0 এর ক্ষেত্রে x এর মান ঋণাত্মক হলে f(x) এর মান হয় -1 [যেমনঃ ^|-2|/_-2 = ²/_-2 = -1]

এবং x এর মান ধণাত্মক হলে f(x) এর মান হয় 1 [যেমনঃ ^|2|/₂ = ²/₂ = 1]

এছাড়া f(x) = 0, যখন x = 0 এর ক্ষেত্রে f(x) এর মান হয় 0

তাহলে,

প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ R_f = { -1, 0, 1}

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-5	-1
-4	-1
-3	-1
-2	-1
-1	-1
0	0
1	1
2	1
3	1
4	1
5	1

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x) এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

১৩. দেওয়া আছে, 2^2x.2^y-1 = 64 ……..(i) এবং

      6^y-2

6^x. ------ = 72 ………..(ii)

        3

ক) (i) এবং (ii) কে x এবং y চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণে পরিণত কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

2^2x.2^y-1 = 64 ……..(i)

      6^y-2

6^x. ------ = 72 ………..(ii)

        3

(i) নং থেকে পাই,

2^2x+y-1 = 2⁶

বা, 2x+y-1 = 6

বা, 2x+y-7 = 0……..(iii)

(ii) নং হতে পাই,

6^x.6^y-2 = 3✕72

বা, 6^x+y-2 = 3✕2✕36

বা, 6^x+y-2 = 6✕6²

বা, 6^x+y-2 = 6¹⁺²

বা, 6^x+y-2 = 6³

বা, x+y-2 = 3

বা, x+y-5 = 0 …….(iv)

অতএব, (iii) ও (iv) নং সমীকরণদ্বয় (i) ও (ii) নং সমীকরণের x ও y চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ।

খ) সমীকরণদ্বয় সমাধান করে শুধতা যাচাই কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

2x+y-7 = 0……..(iii)

x+y-5 = 0 …….(iv)

(iii)-(iv) করে পাই,

x-2 = 0

বা, x = 2

x এর মান (iv) নং এ বসিয়ে পাই,

2+y-5 = 0

বা, y-3 = 0

বা, y = 3

শুদ্ধতা যাচাইঃ

(i) নং সমীকরণের বামপক্ষে x ও y এর মান বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ = 2^2.2.2^3-1 = 2⁴.2² = 16.4 = 64 = ডানপক্ষ

আবার, (ii) নং সমীকরণের বামপক্ষে x ও y এর মান বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ

         6^3-2

= 6². ------

           3

           6

= 36. ------

           3

=36.2

=72

=ডানপক্ষ

সুতরাং x=2, y=3 শুদ্ধ।

গ) x ও y এর মান যদি কোন চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (যেখানে বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90⁰) তবে চতুর্ভুজটি আয়ত না বর্গ উল্লেখ কর এবং এর ক্ষেত্রফল ও কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, x=2, y=3 এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90⁰.

সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। (যেহেতু x ≠ y)

অতএব, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 2✕3

= 6 বর্গ একক

এবং কর্ণের দৈর্ঘ

= √(2²+3²)

= √(4+9)

=√13 একক

১৪. দেওয়া আছে, y=2^x

ক) প্রদত্ত ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=2^x

x এর ঋণাত্মক যেকোনো মানের জন্য  f(x) এর মান কোনো সময় 0 এর খুবই কাছাকাছি পৌঁছায়। কিন্তু শূন্য (০) হয় না।

অর্থাৎ, xà -∞, y à 0

আবার, x এর ধণাত্মক মান বৃদ্ধি করলে  y এর মানও বৃদ্ধি পাবে।

অর্থাৎ, x à ∞, y à ∞

সুতরাং, ডোমেন D =(-∞,∞)

এবং রেঞ্জ R =(0, ∞)

খ) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি লিখ।

সমাধানঃ

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

এখানে, y=f(x)=2^x

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-3	1/8
-2	¼
-1	½
0	1
1	2
2	4

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x) এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্যঃ

-লেখচিত্রটি (0,1) বিন্দুগামী

-x এর যেকোনো মানের জন্য y ধনাত্মক

-লেখচিত্রটি ক্রমবর্ধমান

-x এর হ্রাস পওয়ার সাথে সাথে লেখটি x-অক্ষের নিকটবর্তী হয়।

-লেখচিত্রটি অবিছিন্ন।

গ) ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করে এটি এক-এক কিনা নির্ধারণ কর এবং বিপরীত ফাংশনটির লেখচিত্র আঁক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y = 2^x

বা, x = log₂y

আবার, y = f(x) হলে f^-1(y) = x

অতএব,

f^-1(y) = log₂y

সুতরাং, f^-1(x) = log₂x

মনে, করি, x₁ ∈ R, x₂ ∈ R

অতএব,

f^-1(x₁) = f^-1(x₂)

বা, log₂x₁ = log₂x₂

বা, x₁ = x₂

সুতরাং বিপরীত ফাংশনটি এক-এক।

y = log₂x লেখচিত্র অঙ্কনঃ

এখানে, y = log₂x

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
0.5	-0.3
1	0
2	0.3
3	0.5
4	0.6
5	0.7
10	1
12	1

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 2 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 20 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y= log₂x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

১৫. f(x) = 3^2x+2 এবং g(x) =27^x+1

ক) f(x) এর ডোমেন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

f(x) = 3^2x+2

উদ্দীপকে উল্লেখিত f(x) ফাংশনটি x এর সকল মানের জন্য সংজ্ঞায়িত।

সুতরাং f(x) এর ডোমেন = R

খ) f(x) + g(x) = 36 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

f(x) + g(x) = 36

বা, 3^2x+2+27^x+1 = 36

বা, 3^2x+2+3^3(x+1) = 36

বা, (3^x+1)²+(3^x+1)³ = 36

বা, a²+a³-36 = 0 [3^x+1=a ধরে ]

বা, a³-3a²+4a²-12a+12a-36=0

বা, a²(a-3)+4a(a-3)+12(a-3)=0

বা, (a²+4a+12)(a-3)=0

বা, a-3=0

বা, a=3

বা, 3^x+1 = 3

বা, 3^x+1 = 3¹

বা, x+1 = 1

বা, x= 0

এবং a²+4a+12 = 0 যা গ্রহণযোগ্য নয় কারন a এর কোন বাস্তব মান নেই।

অতএব, x এর মান 0

গ) q(x) = ^g(x)/_f(x) হলে, q(x) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে লেখচিত্র থেকে ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

q(x)

= ^g(x)/_f(x)

    27^x+1

=--------

    3^2x+2

    3^3(x+1)

=--------

    3^2x+2

    3^3x+3

=--------

    3^2x+2

= 3^3x+3-2x-2

= 3^x+1

ধরি, y =3^x+1

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-2	0.3
-1	1
0	3
1	9
2	27

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 2 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y = 3^x+1 এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

চিত্র থেকে লক্ষ্য করলে দেখা যায়, x=-1 হলে y =3^-1+1 = 3⁰ =1. অর্থাৎ রেখাটি (-1,1) বিন্দুগামী।

আবার, x এর ঋণাত্মক মানের জন্য xà-∞, yà0⁺

এবং x এর ধণাত্মক মানের জন্য xà∞, yà∞

অতএব, ডোমেন = (-∞,∞) রেঞ্জ=(0, ∞)

-%Thanks, stay with us%-