স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.2 (6-10) part 2

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ বিন্দুর স্থানাঙ্ক, স্থানাঙ্ক থেকে ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়, ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিক বিবেচনা করে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

এই অনুশীলনীর পূর্বের অংশঃ

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.2 (1-5) part 1

৬. তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(-2,1), B(10,6) এবং C(a,-6)। AB=BC হলে a এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় কর। a এর মানের সাহায্যে যে ত্রিভুজ গঠিত হয় এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুসমূহ হলোঃ A(-2,1), B(10,6) এবং C(a,-6) 

তাহলে,

AB

=√{(10+2)²+(6-1)²}

=√(12²+25)

=√(144+25)

=√169

=13 একক

এবং

BC

=√{(a-10)²+(-6-6)²}

=√{(a²-2.a.10+10²+(-12)²} [সূত্রমতে]

=√(a²-20a+100+144)

=√(a²-20a+244)

প্রশ্নানুসারে,

13 = √(a²-20a+244)

বা, 169 = a²-20a+244 [বর্গ করে]

বা, a²-20a+244-169 = 0

বা, a²-20a+75 = 0

বা, a²-15a-5a+75 = 0

বা, a(a-15)-5(a-15) = 0

বা, (a-5)(a-15) = 0

বা, a-5 = 0       অথবা, a-15 = 0

বা, a = 5           বা, a = 15

অতএব, a এর সম্ভাব্য মানসমূহঃ 5, 15 (Ans.)

যখন a=5, তখন বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-2  5  10  -2  1  -6   6   1	|	বর্গ একক
= ½ ✕(12+30+10-5+60+12) বর্গ একক
= ½ ✕ (124-5) বর্গ একক
= ½ ✕ 119 বর্গ একক
= 119/2 বর্গ একক
= 59½ বর্গ একক (Ans.)

যখন a=15, তখন বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-2  15  10  -2  1  -6    6    1	|	বর্গ একক
= ½ ✕(12+90+10-15+60+12) বর্গ একক
= ½ ✕ (184-15) বর্গ একক
= ½ ✕ 169 বর্গ একক
= 169/2 বর্গ একক
= 84½ বর্গ একক (Ans.)

৭. A, B, C তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(a,a+1), B(-6,-3) এবং C(5,-1)। AB এর দৈর্ঘ্য AC এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হলে a এর সম্ভাব্য মান এবং ABC ত্রিভুজটির বৈশিষ্ট বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত স্থানাঙ্ক বিন্দুসমূহঃ A(a,a+1), B(-6,-3) এবং C(5,-1)।

তাহলে,

AB

=√{(-6-a)²+(-3-a-1)²}

=√{(-6-a)²+(-4-a)²}

=√{(-6)²-2.(-6).a+a²+(-4)²-2.(-4).a+a²}

=√(36+12a+a²+16+8a+a²)

=√(2a²+20a+52) একক

AC

=√{(5-a)²+(-1-a-1)²}

=√{(5-a)²+(-2-a)²}

=√{5²-2.5.a+a²+(-2)²-2.(-2).a+a²}

=√(25-10a+a²+4+4a+a²)

=√(2a²-6a+29) একক

প্রশ্নানুসারে,

AB=2AC

বা, √(2a²+20a+52) = 2√(2a²-6a+29)

বা, 2a²+20a+52 = 4(2a²-6a+29) [বর্গ করে]

বা, 2a²+20a+52 = 8a²-24a+116

বা, 2a²+20a+52-8a²+24a-116 = 0

বা, -6a²+44a-64 = 0

বা, 6a²-44a+64 = 0

বা, 2(3a²-22a+32) = 0

বা, 3a²-22a+32 = 0

বা, 3a²-6a-16a+32 = 0

বা, 3a(a-2)-16(a-2) = 0

বা, (a-2)(3a-16) = 0

বা, a-2 = 0       অথবা, 3a-16 = 0

বা, a = 2           বা, 3a = 16

                        বা, a = ¹⁶/₃

অতএব, a এর সম্ভাব্য মান 2 এবং ¹⁶/₃ (Ans.)

এখন,

a=2 হলে,

AB =√(2.2²+20.2+52) একক = √(8+40+52) একক =√100 একক = 10 একক

AC =√(2.2²-6.2+29) একক = √(8-12+29) একক =√25 একক = 5 একক

BC

=√{(5+6)²+(-1+3)²}

=√(121+4)

=√125

=5√5 একক

দেখা যাচ্ছে, AB²+AC² = 10² + 5² = 100+25 = 125 =(5√5)² = BC²

অতএব, পীথাগোরাস এর সূত্র অনুসারে △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, BC অতিভুজ এবং ∠BAC সমকোণ।

আবার,

a=¹⁶/₃ হলে,

AB

=√{2.(¹⁶/₃)²+20.(¹⁶/₃)+52) একক

= √(2.(²⁵⁶/₉)+³²⁰/₃+52) একক

=√{^{(512+960+468)}/₉} একক

= √(¹⁹⁴⁰/₉) একক

=^√1940/₃

AC

=√(2.(¹⁶/₃)²-6.(¹⁶/₃)+29) একক

= √(⁵¹²/₉-32+29) একক

=√{^{(512-288+261)}/₉} একক

^{= √485}/₃ একক

এবং BC = 5√5 একক

যেহেতু, AB ≠ AC ≠ BC সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

৮. নিন্মোক্ত চতুর্ভুজসমূহের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর [পদ্ধতি ২ ব্যবহার কর]:

ক) (0,0), (-2,4), (6,4), (4,1)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,

A(0,0), B(4,1), C(6,4), D(-2,4)

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	0  4  6  -2  0 0  1  4    4  0	|	বর্গ একক
= ½ ✕(0+16+24+0-0-6+8-0) বর্গ একক
= ½ ✕ (48-6) বর্গ একক
= ½ ✕ 42 বর্গ একক
= 21 বর্গ একক (Ans.)

খ) (1,4), (-4,3), (1,-2), (4,0)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,

A(1,4), B(-4,3), C(1,-2), D(4,0)

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	1  -4  1   4  1 4   3  -2  0  4	|	বর্গ একক
= ½ ✕(3+8+0+16+16-3+8-0) বর্গ একক
= ½ ✕ (51-3) বর্গ একক
= ½ ✕ 48 বর্গ একক
= 24 বর্গ একক (Ans.)

গ) (0,1), (-3,-3), (4,3), (5,1)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,

A(-3,-3), B(5,1), C(4,3), D(0,1)

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-3  5  4  0  -3 -3  1  3  1  -3	|	বর্গ একক
= ½ ✕(-3+15+4+0+15-4-0+3) বর্গ একক
= ½ ✕ (37-7) বর্গ একক
= ½ ✕ 30 বর্গ একক
= 15 বর্গ একক (Ans.)

৯. দেখাও যে, A(2,-3), B(3,-1), C(2,0), D(-1,1) এবং E(-2,-1) শীর্ষবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল 11 বর্গ একক।

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলো A(2,-3), B(3,-1), C(2,0), D(-1,1) এবং E(-2,-1) শীর্ষবিশিষ্ট বহুভুজটি পঞ্চভুজ ABCDE এর ক্ষেত্রফল।

অতএব, বিন্দুসমূকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,

ABCDE এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	2  3  2  -1  -2 2 -3 -1  0  1  -1 -3	|	বর্গ একক
= ½ ✕(-2+0+2+1+6+9+2-0+2+2) বর্গ একক
= ½ ✕ (24-2) বর্গ একক
= ½ ✕ 22 বর্গ একক
= 11 বর্গ একক (দেখানো হলো)

১০. একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ A(3,4), B(-4,2), C(6,-1) এবং D(p,3) এবং শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত। ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হলে p এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, চতুর্ভুজের  শীর্ষ A(3,4), B(-4,2), C(6,-1) এবং D(p,3) এবং শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

অতএব, বিন্দুসমূকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	3  -4  6  p   3 4    2  -1  3  4	|	বর্গ একক
= ½ ✕(6+4+18+4p+16-12+p-9) বর্গ একক
= ½ ✕ (23+5p) বর্গ একক

আবার, A, B, C ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,

ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	3  -4   6    3 4    2  -1   4	|	বর্গ একক
= ½ ✕(6+4+24+16-12+3) বর্গ একক
= ½ ✕ (53-12) বর্গ একক
= 41/2 বর্গ একক

প্রশ্নানুসারে,

½ ✕(23+5p) =2✕ ⁴¹/₂

বা, 23+5p = 41✕2

বা, 5p+23 = 82

বা, 5p = 82-23

বা, 5p =59

বা, p = ⁵⁹/₅ (Ans.)