স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.1 (5-11) part 2
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ k এর মান নির্ণয়, স্থানাঙ্ক বিন্দুর মাধ্যমে বাহুর দূরত্ব নির্ণয়
এই অনুশীলনীর আগের অংশঃ
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)–SSC Higher Math BD–Chapter 11.1 (1-4.) part 1
৫. মূলবিন্দু থেকে (-5,5) ও (5,k) বিন্দুদ্বয় সমদূরবর্তী হলে k এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মূলবিন্দু (0,0) থেকে
(-5,5) বিন্দুর দূরত্ব
=√{(-5-0)2+(5-0)2}
=√{(-5)2+52}
=√(25+25)
=√50
=5√2 একক
আবার,
মূলবিন্দু (0,0) থেকে
(5,k) বিন্দুর দূরত্ব
=√{(5-0)2+(k-0)2}
=√(52+k2)
প্রশ্নানুসারে,
√(52+k2)=
5√2
বা, 25+k2 = 50 [বর্গ করে]
বা, k2=25
বা, k =± 5 (Ans.)
৬. দেখাও যে, A(2,2),
B(-2,-2) এবং C(-2√3,2√3)
একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। এর পরিসীমা তিন দশমিক
স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(2,2), B(-2,-2) এবং C(-2√3,2√3)
এখানে,
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2-2)2+(-2-2)2}
=√{(-4)2+(-4)2}
=√(16+16)
=√32
=√16.2
=4√2 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2√3+2)2+(2√3+2)2}
=√{(12-8√3+4)+(12+8√3+4)}
=√(12-8√3+4+12+8√3+4)
=√32
=4√2
AC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-2√3-2)2+(2√3-2)2}
=√(12+8√3+4)+(12-8√3+4)}
=√(12+8√3+4+12-8√3+4)
=√32
=4√2
দেখা যাচ্ছে, AB=BC=AC=4√2
অর্থাৎ, A, B, C বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু (দেখানো হলো)
ত্রিভুজটির পরিসীমা
=AB+BC+AC
=4√2+4√2+4√2
=12√2
=16.971 একক (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)
৭. দেখাও
যে, A(-5,0), B(5,0),
C(5,5) ও D(-5,5) একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি বিন্দু।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে A(-5,0), B(5,0), C(5,5) ও D(-5,5)
তাহলে,
AB
=√{(5+5)2+(0-0)2}
=√(102+0)
=√100
=10 একক
BC
=√{(5-5)2+(5-0)2}
=√(02+52)
=√25
=5 একক
CD
=√{(-5-5)2+(5-5)2}
=√{(-10)2+02}
=√(100+0)
=√100
=10 একক
এবং DA
=√{(-5+5)2+(0-5)2}
=√{02+(-5)2}
=√25
=5 একক
আবার,
কর্ণ AC
=√{(-5-5)2+(5-0)2}
=√{(-10)2+52}
=√(100+25)
=√125
=5√5
এবং কর্ণ BD
=√{(-5-5)2+(5-0)2}
=√{(-10)2+52}
=√(100+25)
=√125
=5√5
অর্থাৎ আমরা পেলাম, AB = CD = 10 একক; BC = DA = 5 একক এবং কর্ণ AC = কর্ণ BD.
অতএব, A,B,C,D বিন্দু চারটি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
৮.
A(-2,-1), B(5,4), C(6,7) ও D(-1,2) দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি আয়তক্ষেত্র না সামন্তরিক তা নির্নয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(-2,-1), B(5,4), C(6,7) এবং
D(-1,2)
তাহলে ABCD চতুর্ভুজে
AB বাহুর দৈর্ঘ্য
= √{(5+2)2+(4+1)2}
=√(72+52)
=√(49+25)
=√74 একক
BC বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(6-5)2+(7-4)2}
=√(12+32)
=√(1+9)
=√10 একক
CD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-1-6)2+(2-7)2}
=√{(-7)2+(-5)2}
=√(49+25)
=√74 একক
AD বাহুর দৈর্ঘ্য
=√{(-1+2)2+(2+1)2}
=√(12+32)
=√(1+9)
=√10
AC কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√{(6+2)2+(7+1)2}
=√(82+82)
=√(64+64)
=√128
=8√2 একক
BD কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√{(-1-5)2+(2-4)2}
=√{(-6)2+(-2)2}
=√(36+4)
=√40
=2√10 একক
এখানে, AB=CD এবং BC=AD। কিন্তু কর্ণ AC
≠
কর্ণ
BD।
অতএব,
A, B, C, D দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি সামন্তরিক।
৯. A(10,5),
B(7,6) ও C(-3,5) বিন্দুগুলোর মধ্যে কোন বিন্দুটি P(3,-2) এর সবচেয়ে দূরবর্তী ও কোনটি সবচেয়ে নিকটবর্তী?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(10,5), B(7,6), C(-3,5),
P(3,-2)
এখানে,
AP (P থেকে A এর দূরত্ব)
=√{(3-10)2+(-2-5)2}
=√{(-7)2+(-7)2}
=√(49+49)
=√98
=9.899 একক (প্রায়)
BP (P থেকে B এর দূরত্ব)
=√{(3-7)2+(-2-6)2}
=√{(-4)2+(-8)2}
=√(16+64)
=√80
=8.944 একক (প্রায়)
CP (P থেকে C এর দূরত্ব)
=√{(3+3)2+(-2-5)2}
=√{62+(-7)2}
=√ (36+49)
=√85
=9.220 একক (প্রায়)
তাহলে, P বিন্দুর সবচেয়ে নিকটবর্তী বিন্দু
হলো B ও সবচেয়ে দূরবর্তী বিন্দু হলো A.
১০.
P(x,y) বিন্দু থেকে y অক্ষের দূরত্ব এবং Q(3,2) বিন্দুর দূরত্ব সমান। প্রমাণ কর যে,
y2-4y-6x+13=0.
সমাধানঃ
ধরি, y অক্ষের উপর যে কোন
বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(0,y)
এখন, P(x,y) ও A(0,y) বিন্দুদ্বয়ের
মধ্যবর্তী দূরত্ব PA
=√{(0-x)2+(y-y)2}
=√{(-x)2+02}
=√x2
=x একক
এবং, P(x,y) ও Q(3,2) বিন্দুদ্বয়ের
মধ্যবর্তী দূরত্ব PQ
=√{(3-x)2+(2-y)2}
=√{(9-6x+x2+(4-4y+y2)}
=√(9-6x+x2+4-4y+y2)
=√(x2+y2-6x-4y+13)
প্রশ্নানুসারে,
PQ = PA
বা, √(x2+y2-6x-4y+13) = x
বা, x2+y2-6x-4y+13
= x2
বা, y2-4y-6x+13
= 0 (প্রমাণিত)
১১. ABC ত্রিভুজের
শীর্ষবিন্দুসমূহ A(2,-1), B(-4,2), C(2,5)। ত্রিভুজটির মধ্যমা AD এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A(2,-1),
B(-4,2), C(2,5)
এখন, ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা
বলে D বিন্দুর স্থানাঙ্ক AB এর উপর এবং D, BC কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অতএব, D বিন্দুর স্থানাঙ্ক
(-4+2/2, 2+5/2) = (-1, 7/2)
তাহলে,
AD এর দৈর্ঘ্য
=√{(2+1)2+(-1-7/2)2}
=√{9+(-9/2)2}
=√(9+81/2)
=√(117/4)
=√117/2
=3√13/2
=3/2.√13
একক (Ans.)