দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) – SSC Higher Math BD

Admin

20 November

দ্বিপদী বিস্তৃতিঃ প্যাসকেলের ত্রিভুজের ব্যবহার, চার পদ পর্যন্ত ফলাফল, দ্বিপদী উপপাদ্য, বিস্তৃতির সহগ

এই অনুশীলনীর ১ম অংশ এর লিঙ্কঃ (১-৯ পর্যন্ত)

দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) – SSC Higher Math BD – Chapter 10.2 (1-9) Part 1

এই অনুশীলনীর ২য় অংশ এর লিঙ্কঃ (১০-১৫ পর্যন্ত)

দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) – SSC Higher Math BD – Chapter 10.2 (10-15) part 2

এবং তৃতীয় অংশ নিন্মরুপঃ

১৬. A=(1+x)⁷ এবং B=(1-x)⁸

ক) প্যাসকেল এর ত্রিভুজ ব্যবহার করে A এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A=(1+x)⁷

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে A এর বিস্তৃতি

অতএব, A = (1+x)⁷ = 1+7x+21x²+35x³+35x⁴+21x⁵+7x⁶+x⁷

খ) B এর বিস্তৃতির চার পদ পর্যন্ত নির্ণয় করে উক্ত ফলাফল ব্যবহার করে (0.99)⁸ এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, B=(1-x)⁸

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

(1-x)⁸

=1+⁸c₁(-x)¹ +⁸c₂(-x)² +⁸c₃(-x)³ +….

=1-8x+(^8.7/_1.2).x² -(^8.7.6/_1.2.3).x³ +….

=1-8x+28x²-56x³+……..

এখন, 0.99 = 1-0.01 অর্থাৎ (1-x)⁸ এর ফলাফলে x=0.01 বসিয়ে (0.99)⁸ এর মান পাওয়া যায়।

অতএব,

(0.99)⁸

=(1-0.01)⁸

=1-8(0.01)+28(0.01)²-56(0.01)³+…….

=1-0.08+0.0028-0.000056+…..

=0.922744+…..

=0.9227 (চার দশমিক স্থান পর্যন্ত)

গ) AB এর বিস্তৃতির x⁷ এর সহগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A=(1+x)⁷ এবং B=(1-x)⁸

তাহলে,

=(1+x)⁷(1-x)⁸

= (1-x²)⁷(1-x)

=(1-x){1+⁷c₁ (-x²)¹+⁷c₂ (-x²)²+⁷c₃ (-x²)³+⁷c₄ (-x²)⁴+………..} [দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে]

=(1-x){1-7x²+21x⁴-35x⁶+35x⁸+………}

=1-7x²+21x⁴-35x⁶+35x⁸+………-x+7x³-21x⁵+35x⁷-35x⁸+………

যেখানে x⁷ এর সহগ 35 (Ans.)

১৭. (A+Bx)ⁿ একটি বীজগাণিতিক রাশি।

ক) A=1; B=2 এবং n=5 হলে, প্যাসকেল এর ত্রিভুজ ব্যবহার করে রাশিটির বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

A=1, B=2 এবং n=5 হলে প্রদত্ত রাশি = (1+2x)⁵

প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে (1+2x)⁵ এর বিস্তৃতি

অতএব,

(1+2x)⁵

=1+5.(2x)+10.(2x)²+10(2x)³+5(2x)⁴+(2x)⁵

=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵ (Ans)

খ) B=3 এবং n=7 হলে রাশিটির বিস্তৃতির x⁴ এর সহগ 22680 হয়। A এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

B=3 এবং n=7 হলে প্রদত্ত রাশি = (A+3x)⁷

এখন,

(A+3x)⁷

=A⁷+⁷c₁ A^7-1 (3x)¹ +⁷c₂ A^7-2 (3x)² +⁷c₃ A^7-3 (3x)³ +⁷c₄ A^7-4 (3x)⁴ +……….

=A⁷+⁷c₁ A⁶ .3x +⁷c₂ A⁵ 9x² +⁷c₃ A⁴ 27x³ +⁷c₄ A³ .81x⁴ +……….

বিস্তৃতিটিতে x⁴ এর সহগ = ⁷c₄ A³ .81

প্রশ্নমতে,

⁷c₄ A³ .81 = 22680

বা, ⁷c₄ A³ = 280

বা, (^7.6.5.4/_1.2.3.4) A³ = 280

বা, 35A³ = 280

বা, A³ = 8

বা, A³ = 2³

বা, A = 2 (Ans.)

গ) A=2 এবং B=1 হলে রাশিটির বিস্তৃতির পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদের সহগ সমান হয়। n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

A=2 এবং B=1 হলে প্রদত্ত রাশি = (2+x)ⁿ

তাহলে,

বিস্তৃতির পঞ্চম পদ = T₅ = T₄₊₁ = ⁿC₄ 2^n-4 x⁴

বিস্তৃতির ষষ্ট পদ T₆= T₅₊₁=ⁿC₅ 2^n-5 x⁵

শর্তমতে,

ⁿC₄ 2^n-4=ⁿC₅ 2^n-5

বা, ⁿC₄ 2^n-4=ⁿC₅ 2^n-5

বা, {^{n(n-1)(n-2)(n-3)}/_1.2.3.4} 2^n-4 ={^{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}/_1.2.3.4.5} 2^n-5

বা, {¹/₂₄} 2^n-4 ={^(n-4)/₁₂₀} 2^n-5

বা, 120.2^n-4 = 24.(n-4)2^n-5

বা, 5.2^n-4 = (n-4)2^n-5

বা, 5.2^n-4-n+5 = (n-4)

বা, 5.2¹ = n-4

বা, n-4 = 10

বা, n = 10+4

বা, n = 14 (Ans.)

১৮. a₁, a₂, a₃, a₄ যদি (1+x)ⁿ এর বিস্তৃতির চারটি ক্রমিক পদের সহগ হয়ে থাকে তাহলে প্রমাণ কর যে,

a₁ a₃ 2a₂

----- + -------- = -------

a₁+a₂ a₃+a₄ a₂+a₃

সমাধানঃ

1+x)ⁿ = 1+ⁿc₁ x¹ +ⁿc₂ x² +ⁿc₃ x³ +ⁿc₄ x⁴ +…….

অতএব,

r তম পদের সহগ = ⁿc_r-1 = a₁

r+1 তম পদের সহগ = ⁿc_r = a₂

r+2 তম পদের সহগ = ⁿc_r+1 = a₃

r+3 তম পদের সহগ = ⁿc_r+2 = a₄

এখন,

a₂ⁿc_r

--- = ---------

a₁ⁿc_r-1

a₂^n!/_r!(n-r)!

বা, --- = -------------------

a₁^n!/_{(r-1)!(n-r+1)!}

a₂n! (r-1)!(n-r+1)!

বা, --- = --------------------

a₁n! r!(n-r)!

a₂(r-1)!(n-r+1)!

বা, --- = --------------------

a₁r!(n-r)!

a₂(r-1)! (n-r+1) (n-r+1-1)!

বা, --- = ----------------------------

a₁ r(r-1)! (n-r)!

a₂(r-1)! (n-r+1) (n-r)!

বা, --- = -----------------------

a₁ r(r-1)! (n-r)!

a₂ n-r+1

বা, --- = ----------

a₁r

a₂ n-r+1

বা, ---+1 = ---------+1

a₁r

a₂+a₁n-r+1+r

বা, -------- = ---------

a₁r

a₂+a₁n+1

বা, -------- = ---------

a₁r

a₁ r

বা, -------- = ---------…..(i)

a₂+ a₁n+1

আবার,

a₄ⁿc_r+2

--- = -------

a₃ⁿc_r+1

a₄^n!/_{(r+2)!(n-r-2)!}

বা, --- = -------------------

a₃^n!/(_{r+1)!(n-r-1)!}

a₄(r+1)!(n-r-1)!

বা, --- = ------------------

a₃(r+2)!(n-r-2)!

a₄(r+1)!(n-r-1)(n-r-2)!

বা, --- = ------------------------

a₃(r+2)(r+1)!(n-r-2)!

a₄n-r-1

বা, --- = -------

a₃ r+2

a₄n-r-1

বা, ---+1 = ----------+1

a₃ r+2

a₄+a₃n-r-1+r+2

বা, -------- = ---------------

a₃ r+2

a₄+a₃n+1

বা, -------- = ---------

a₃ r+2

বা, -------- = ---------…..(ii)

a₄+a₃n+1

এবং,

a₃ⁿc_r+1

--- = ------

a₂ⁿc_r

a₃^n!/_{(r+1)!(n-r-1)!}

বা, --- = ------------------

a₂^n!/_r!(n-r)!

a₃r!(n-r)!

বা, --- = ------------------

a₂(r+1)!(n-r-1)!

a₃r!(n-r) (n-r-1)!

বা, --- = -------------------

a₂(r+1)r!(n-r-1)!

a₃ n-r

বা, --- = --------

a₂ r+1

a₃ n-r

বা, --- +1 = -------+1

a₂ r+1

a₃+a₂n-r+r+1

বা, ------ = -----------

a₂ r+1

a₃+a₂n+1

বা, ------ = -------

a₂ r+1

a₂r+1

বা, ------ = -------

a₃+a₂n+1

2a₂2r+2

বা, ------ = -------…(iii)

a₃+a₂n+1

এখন,

LHS

a₁ a₃

= ------- + ------

a₁+a₂ a₃+a₄

r r+2

= ------ + --------

n+1 n+1

[(i) ও (ii) মান বসিয়ে]

r+r+2

=-----------

n+1

2r+2

=-----------

n+1

2a₂

= ------- [(i) নং হতে]

a₃+a₂

=RHS [Proved]

১৯. কোনটি বড় 99⁵⁰+100⁵⁰ না 101⁵⁰?

সমাধানঃ

101⁵⁰-99⁵⁰

=(100+1)⁵⁰-(100-1)⁵⁰

=(100⁵⁰+⁵⁰c₁ 100⁴⁹+⁵⁰c₂ 100⁴⁸+……..)-(100⁵⁰-⁵⁰c₁ 100⁴⁹+⁵⁰c₂ 100⁴⁸-……..)

=100⁵⁰+⁵⁰c₁ 100⁴⁹+⁵⁰c₂ 100⁴⁸+……..-100⁵⁰+⁵⁰c₁ 100⁴⁹-⁵⁰c₂ 100⁴⁸+……..

= ⁵⁰c₁ 100⁴⁹+⁵⁰c₃ 100⁴⁷+……..+⁵⁰c₁ 100⁴⁹+⁵⁰c₃ 100⁴⁷+……..

=2(⁵⁰c₁ 100⁴⁹+⁵⁰c₃ 100⁴⁷+……..)

=2(50.100⁴⁹+⁵⁰c₃ 100⁴⁷+⁵⁰c₅ 100⁴⁵……..)

=2.50.100⁴⁹+2(⁵⁰c₃ 100⁴⁷+⁵⁰c₅ 100⁴⁵……..)

=100.100⁴⁹+2(⁵⁰c₃ 100⁴⁷+⁵⁰c₅ 100⁴⁵……..)

=100⁵⁰+2(⁵⁰c₃ 100⁴⁷+⁵⁰c₅ 100⁴⁵……..) > 100⁵⁰

অতএব,

101⁵⁰-99⁵⁰> 100⁵⁰

বা, 101⁵⁰ > 100⁵⁰+99⁵⁰

সুতরাং, 99⁵⁰+100⁵⁰ অপেক্ষা 101⁵⁰ বড়।

---*%ধন্যবাদ আমাদের সাথে থাকার জন্য%*---

School Math BD

দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) – SSC Higher Math BD – Chapter 10.2 part 3

দ্বিপদী বিস্তৃতিঃ প্যাসকেলের ত্রিভুজের ব্যবহার, চার পদ পর্যন্ত ফলাফল, দ্বিপদী উপপাদ্য, বিস্তৃতির সহগ