দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) – SSC Higher Math BD – Chapter 10.2 (10-15) Part 2
দ্বিপদী বিস্তৃতিঃ দ্বিপদী উপপাদ্যের ব্যবহার, বিস্তৃতির পদসংখ্যা ও মধ্যপদ নির্ণয়
এই অনুশীলনীর ১ম অংশ (১-৯ পর্যন্ত) এর লিঙ্কঃ
দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) – SSC Higher Math BD – Chapter 10.2 (1-9) Part 1
১০. (p- ½ x)6
= r-96x+sx2+….. হলে, p, r এবং s এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
(p- ½ x)6
=p6+6c1
p6-1 (- ½ x)1 + 6c2 p6-2
(- ½ x)2+……
=p6 + 6.p5
. (- ½ x) + (6.5/1.2) . p4 (x2/4) + ……..
= p6 – 3p5x
+ 15/4 p4x2 - ……
কিন্তু, (p- ½ x)6
= r-96x+sx2+…..
অতএব,
p6 – 3p5x
+ 15/4 p4x2 - ……= r-96x+sx2+…..
(i)
(i) নং এর উভয় পক্ষ হতে ধ্রুবক
পদ সমীকৃত করে পাই,
p6 = r
……..(ii)
(i) নং এর উভয় পক্ষ হতে
x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
3p5 = 96
বা, p5 = 32
বা, p5=25
বা, p = 2
(ii) নং এ p=2 বসিয়ে পাই,
r = 64
অতএব,
p=2, r=64 (Ans.)
১১. (1+x/2)8
এর বিস্তৃতির x3 এর সহগ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে পাই,
(1+x/2)8
= 18+8c1
18-1 (x/2)1 + 8c2
18-2 (x/2)2+8c3
18-3 (x/2)3+……..
= 1 + 8 . 1 . x/2
+ (8.7/1.2) . 1 . x2/4 + (8.7.6/1.2.3)
. 1 . x3/8 + …..
= 1+ 4x + 7x2
+ 7 x3 + ……
অতএব, (1+x/2)8
এর বিস্তৃতির x3 এর সহগ 7 (Ans.)
১২. x এর ঘাতের
উর্ধবক্রম অনুসারে (2+x/4)6
কে x3 পর্যন্ত বিস্তৃত কর। উহার সাহায্যে (1.9975)6 এর আসন্ন
মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে পাই,
(2+x/4)6
=26+6c1
26-1 (x/4)1 + 6c2
26-2 (x/4)2 + 6c3
26-3 (x/4)3 +……
=64+6c1
25 (x/4) + 6c2 24
(x2/16) + 6c3
23 (x3/64) +……
=64+6.32.(x/4)
+(6.5/1.2).16. (x2/16) +(6.5.4/1.2.3).8.(x3/64) +……
= 64+48x+15x2+(5/2)x3+……(Ans.)
এখানে,
2+x/4
= 1.9975
বা, x/4
= 1.9975-2
বা, x/4
= -0.0025
বা, x = -0.0025✕4
বা, x= -0.01
এখন x=-0.01 বসিয়ে পাই,
{2+(-0.01)/4}6
=64+48(-0.01)+15.(-0.01)2+(5/2)(-0.01)3+……
=63.5214975…..
=63.5215 [চার দশমিক পর্যন্ত]
অতএব, (1.9975)6
= 63.5215 (Ans.)
১৩. দ্বিপদী উপপাদ্য
ব্যবহার করে (1.99)5 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(1.99)5
=(2-0.01)5
=25+5c1
25-1 (-0.01)1 + 5c2 25-2
(-0.01)2 +5c3 25-3 (-0.01)3
+5c4 25-4 (-0.01)4 +5c5
25-5 (-0.01)5
[দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে]
=32+5.24.(-0.01)
+ (5.4/1.2).23.(0.0001) +(5.4.3/1.2.3).22.(-0.000001)
+(5.4.3.2/1.2.3.4).2.(0.00000001) +1.20.(-0.0000000001)
=32+5.16.(-0.01) + (5.4/1.2).8.(0.0001)
+(5.4.3/1.2.3).4.(-0.000001) +(5.4.3.2/1.2.3.4).2.(0.00000001)
+1.1.(-0.0000000001)
=32-0.8+0.008-0.00004+0.0000001-0.0000000001
=31.2079601
=31.2080 [চার দশমিক স্থান
পর্যন্ত]
১৪. (1+x/4)n
এর বিস্তৃতির তৃতীয় পদের সহগ চতুর্থ পদের সহগের দ্বিগুণ। n এর মান নির্ণয় কর। বিস্তৃতির
পদসংখ্যা ও মধ্যপদ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে পাই,
(1+x/4)n
=1n+nc1
(x/4)1 + nc2 (x/4)2
+ nc3 (x/4)3 +….
= 1+ ¼ nx + {n(n-1)/1.2}(x/4)2
+{ n(n-1)(n-2)/1.2.3} (x/4)3
+….
= 1+ (¼) nx + (1/32
)n(n-1)x2 + (1/384) n(n-1)(n-2)x3+……
এখানে, তৃতীয় পদের সহগ (1/32
)n(n-1)
এবং চতুর্থ পদের সহগ (1/384)
n(n-1)(n-2)
প্রশ্নানুসারে,
2.(1/384)
n(n-1)(n-2) = (1/32 )n(n-1)
বা, 2.(1/384)(n-2)
= (1/32 ) [উভয় পক্ষকে
n(n-1) দ্বারা ভাগ করে]
বা, 2.(1/384)(n-2)
= (1/32)
বা, 2.(n-2) = (384/32)
বা, 2.(n-2) = 12
বা, n-2 = 6
বা, n = 6+2
বা, n = 8
যেহেতু, n=8
অতএব, বিস্তৃতির পদসংখ্যা
= 8+1 = 9
যেহেতু n=8 সেহেতু বিস্তৃতির
মধ্যপদ হবে (8/2+1) = 5 তম পদ।
অতএব,
মধ্যপদ = T5
= T4+1
= nc4 1n-4 (x/4)4
= 8c4 18-4 (x/4)4
= 8c4 14 (x/4)4
= 8c4 (x/4)4
=(8.7.6.5/1.2.3.4)(x/4)4
35
১৫.
ক) (2k-x/2)5
এর বিস্তৃতিতে k3 এর সহগ 720 হলে x এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে পাই,
(2k-x/2)5
=(2k)5+5c1
(2k)5-1 (-x/2)1 + 5c2
(2k)5-2 (-x/2)2 +………..
=(2k)5+5c1
(2k)4 (-x/2)1 + 5c2
(2k)3 (-x/2)2 +………..
=(2k)5+5c1
24 k4 (-x/2)1 + 5c2
23 k3 (-x/2)2 +………..
অতএব, বিস্তৃতিতে k3
এর সহগ = 5c2 23 (-x/2)2
প্রশ্নমতে,
5c2 23 (-x/2)2
= 720
বা, (5.4/1.2).8.(x2/4) = 720
বা, 20x2 =
720
বা, x2 = 720/20
বা, x2 = 36
বা, x = ±6
খ) (x2+k/x)6
এর বিস্তৃতিতে x3 এর সহগ.160 হলে k এর মান. নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে পাই,
(x2+k/x)6
=(x2)6+6c1
(x2)5 (k/x)1 +6c2
(x2)4 (k/x)2 +6c3
(x2)3 (k/x)3 +……
=x12+6c1
x10 (k/x) +6c2 x8
(k/x)2 +6c3 x6
(k/x)3 +…..
=x12+6c1
x9 k +6c2 x6 k2 +6c3
x3 k3 +…..
অতএব, বিস্তৃতিতে x3
এর সহগ = 6c3 k3
প্রশ্নমতে,
6c3 k3 = 160
বা, (6.5.4/1.2.3)
k3 = 160
বা, 20 k3 =
160
বা, k3 = 160/20
বা, k3 = 8
বা, k = 2
এই অনুশীলনীর বাকী অংশের লিঙ্কঃ
দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) - SSC Higher Math BD - Chapter 10.2 (16.-19.) Part 3