লগারিদম (Logarithm) : সরল, লেখচিত্র, ডোমেন, রেঞ্জঃ SSC Higher Math BD-Chapter 9.2 (7) Part 2

লগারিদম (Logarithm) : সরল, লেখচিত্র, ডোমেন, রেঞ্জ

এই অনুশীলনীর পূর্বের এবং পরের সকল অংশের লিঙ্ক নিন্মভাগে দেওয়া হয়েছে। এই অংশে শুধুমাত্র ৭ নং প্রশ্নের সমাধান দেওয়া হলো। 

৭.

ক) যদি

log_ka    log_kb    log_kc

------  =-------   =--------

b-c        c-a        a-b

হয়, তবে দেখাও যে, a^ab^bc^c = 1

সমাধানঃ

ধরি,

log_ka    log_kb    log_kc

------  =-------  =--------=m

b-c        c-a        a-b

অতএব,

log_ka = m(b-c)

বা,  alog_ka = am(b-c) [উভয়পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে]

বা, log_ka^a = m(ab-ac)…………..(i)

আবার,

log_kb = m(c-a)

বা, blog_kb = bm(c-a) [উভয়পক্ষকে b দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kb^b = m(bc-ab)………..(ii)

এবং

log_kc = m(a-b)

বা, c log_kc = cm(a-b) [উভয়পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kc^c = m(ac-bc)………..(iii)

এখন, (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

log_ka^a +  log_kb^b  + log_kc^c = m(ab-ac+bc-ab+ac-bc)

বা, log_ka^a +  log_kb^b  + log_kc^c = m ✕ 0

বা, log_ka^a +  log_kb^b  + log_kc^c = 0

বা, log_ka^ab^bc^c = log_k1

বা,  a^ab^bc^c = 1 (দেখানো হলো)

খ) যদি

log_ka    log_kb    log_kc

------   =-------  =--------

y-z        z-x         x-y

হয়, তবে দেখাও যে,

(১) a^y+z b^z+x c^x+y = 1

(২) a^y2+yz+z2.b^z2+zx+x2.c^x2+xy+y2 = 1

সমাধানঃ (১)

ধরি,

log_ka    log_kb    log_kc

------  =-------  =--------=m

y-z        z-x         x-y

তাহলে,

log_ka = (y-z)m

বা, (y+z)log_ka = (y+z)(y-z)m [উভয়পক্ষকে y+z দ্বারা গুণ করে]

বা, log_ka^y+z = (y²-z²)m…………..(i)

আবার,

log_kb = (z-x)m

বা, (z+x) log_kb = (z+x)(z-x)m [উভয়পক্ষকে z+x দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kb^z+x = (z²-x²)m………..(ii)

এবং

log_kc = (x-y)m

বা, (x+y) log_kc = (x+y)(x-y)m [উভয়পক্ষকে x+y দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kc^x+y =(x²-y²)m……….(iii)

এখন, (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

log_ka^y+z + log_kb^z+x + log_kc^x+y = (y²-z²+ z²-x²+ x²-y²)m

বা, log_ka^y+z b^z+x c^x+y = 0✕m

বা, log_ka^y+z b^z+x c^x+y = 0

বা, log_ka^y+z b^z+x c^x+y = log_k1

বা, a^y+z b^z+x c^x+y = 1 (দেখানো হলো)

সমাধানঃ (২)

ধরি,

log_ka    log_kb    log_kc

------  =------- =--------=m

y-z        z-x         x-y

তাহলে,

log_ka = (y-z)m

বা, (y²+yz+z²)log_ka = (y²+yz+z²)(y-z)m [উভয়পক্ষকেy²+yz+z² দ্বারা গুণ করে]

বা, log_ka^y2+yz+z2 = (y³-z³)m…………..(i)

আবার,

log_kb = (z-x)m

বা, (z²+zx+x²) log_kb = (z²+zx+x²)(z-x)m [উভয়পক্ষকেz²+zx+x² দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kb^z2+zx+x2 = (z³-x³)m………..(ii)

এবং

log_kc = (x-y)m

বা, (x²+xy+y²) log_kc = (x²+xy+y²)(x-y)m [উভয়পক্ষকেx²+xy+y² দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kc^x2+xy+y2 =(x²-y²)m……….(iii)

এখন, (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

log_ka^y2+yz+z2 + log_kb^z2+zx+x2 + log_kc^x2+xy+y2 = (y³-z³+ z³-x³+ x³-y³)m

বা, log_ka^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = 0✕m

বা, log_ka^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = 0

বা, log_ka^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = log_k1

বা, a^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = 1 (দেখানো হলো)

গ) যদি

log_k(1+x)

------------ = 2 হয়,

log_kx

তবে দেখাও যে,

       1+√5

x = ---------

           2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

log_k(1+x)

------------ = 2

log_kx

বা, log_k(1+x) = 2 log_kx

বা, log_k(1+x) = log_kx²

বা, 1+x = x²

বা, x²-x-1=0

বা, 4x²-4x-4 = 0 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

বা, (2x)²-2.2x.1+1²-5 = 0

বা, (2x-1)² = 5

বা, 2x-1 = √5

বা, 2x = 1+√5

            1+√5

বা, x = ---------

               2

            [দেখানো হলো]

ঘ) দেখাও যে,

         x-√(x²-1)

log_k-------------- = 2log_k{x-√(x²-1)}

         x+√(x²-1)

সমাধানঃ

এখানে,

x-√(x²-1)

------------

x+√(x²-1)

           {x-√(x²-1)}²

=--------------------------

    {x+√(x²-1)} {x-√(x²-1)}

[লব ও হরকে x-√(x²-1) দ্বারা গুণ করে]

    {x-√(x²-1)}²

=------------------

    x²-{√(x²-1)}²

    {x-√(x²-1)}²

=----------------

     x²-(x²-1)

    {x-√(x²-1)}²

=----------------

      x²-x²+1

={x-√(x²-1)}²

তাহলে, বামপক্ষ

= log_k {x-√(x²-1)}²

=2 log_k {x-√(x²-1)}

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

ঙ) যদি a^3-xb^5x = a^5+xb^3x হয়, তবে দেখাও যে, xlog_k(^b/_a) = log_ka

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

a^3-xb^5x = a^5+xb^3x

বা, b^5x/b^3x = a^5+x/a^3-x

বা, b^5x-3x  = a^5+x-3+x

বা, b^2x = a^2+2x

বা, b^2x = a².a^2x

বা, b^2x/a^2x = a²

বা, (^b/_a)^2x = a²

বা, log_k(^b/_a)^2x = log_ka² [উভয়পক্ষে log_k নিয়ে]

বা, 2x log_k(^b/_a) = 2 log_ka

বা, x log_k(^b/_a) = log_ka (দেখানো হলো)

চ) যদি xy^a-1 = p, xy^b-1 = q, xy^c-1 = r হয়, তবে দেখাও যে, (b-c)log_kp + (c-a)log_kq +(a-b)log_kr = 0

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=(b-c)log_kp + (c-a)log_kq +(a-b)log_kr

= log_kp^b-c + log_kq^c-a + log_kr^a-b

= log_k(xy^a-1)^b-c + log_k(xy^b-1)^c-a + log_k(xy^c-1)^a-b

= log_kx^b-c+ log_ky^ab-ac-b+c+ log_kx^c-a+ log_ky^bc-ab-c+a+ log_kx^a-b+ log_ky^ac-bc-a+b

= log_k(x^b-c.x^c-a.x^a-b)+ log_k(y^ab-ac-b+c.y^bc-ab-c+a.y^ac-bc-a+b)

= log_k(x^b-c+c-a+a-b)+ log_k(y^{ab-ac-b+c+bc-ab-c+a+ac-bc-a+b})

= log_kx⁰+ log_ky⁰

= log_k1+ log_k1

= 0 + 0

= 0

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

ছ) যদি

ab log_k(ab)   bc log_k(bc)    ca log_k(ca)

------------    =-------------   =-------------

    a+b               b+c                c+a

হয়, তবে দেখাও যে, a^a =b^b = c^c

সমাধানঃ

ধরি,

ab log_k(ab)   bc log_k(bc)    ca log_k(ca)

------------   =-------------  =------------- =p

    a+b               b+c               c+a

তাহলে,

ab log_k(ab) = p(a+b)

বা, ab(log_ka+ log_kb)=p(a+b)

বা, log_ka+ log_kb = p(¹/_b+¹/_a)…….(i) 

অনুরুপভাবে পাই,

log_kb+ log_kc = p(¹/_c+¹/_b)…….(ii) 

এবং,

log_kc+ log_ka = p(¹/_a+¹/_c)…….(iii) 

এখন (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

2(log_ka+ log_kb+ log_kc) = 2p(¹/_a+¹/_b+¹/_c)

বা, log_ka+ log_kb+ log_kc = p(¹/_a+¹/_b+¹/_c)…….(iv)

আবার, (iv)-(i) করে পাই,

log_kc = p(¹/_c)

বা, c log_kc = p

বা, log_kc^c = p

একইভাবে পাই,

log_ka^a = p

এবং

log_kb^b = p

সুতরাং,

log_ka^a=log_kb^b= log_kb^b

বা, a^a = b^b = c^c (দেখানো হলো)

জ) যদি

x(y+z-x)    y(z+x-y)    z(x+y-z)

---------    =----------   = -----------

  log_kx         log_ky          log_kz

হয়, তবে দেখাও যে, x^yy^x = y^zz^y = z^xx^z

সমাধানঃ

ধরি,

x(y+z-x)    y(z+x-y)    z(x+y-z)

---------    =---------    = --------- =m

    log_kx         log_ky        log_kz

তাহলে,

x(y+z-x) = m log_kx

আবার,

y(z+x-y) = m log_ky

এবং,

z(x+y-z) = m log_kz

এখন,

y m log_kx + x m log_ky = y. x(y+z-x)+x. y(z+x-y)

বা, m log_kx^y + m log_ky^x = xy²+xyz-x²y+xyz+x²y-xy²

বা, m log_kx^y + m log_ky^x = 2xyz

বা, m (log_kx^y + log_ky^x) = 2xyz

বা, m log_kx^y.y^x = 2xyz…….(i)

আবার,

z m log_ky+ y m log_kz = zy(z+x-y)+ yz(x+y-z)

বা, m log_ky^z + m log_kz^y = z²y+xyz-zy²+xyz+y²z-z²y

বা, m (log_ky^z + log_kz^y) = 2xyz

বা, m. log_ky^z z^y = 2xyz ………(ii)

এবং,

x m log_kz + zm log_kx = xz(x+y-z) + zx(y+z-x)

বা, m log_kz^x + m log_kx^z = x²z+xyz-xz²+xyz+z²x-x²z

বা, m(log_kz^x + log_kx^z) = 2xyz

বা, m.log_kz^x x^z = 2xyz…….(iii)

তাহলে (i), (ii), (iii) হতে পাই,

m log_kx^y.y^x =  m. log_ky^z z^y = m.log_kz^x x^z

বা, log_kx^y.y^x =  log_ky^z z^y = log_kz^x x^z

বা, x^y.y^x = y^z z^y = z^x x^z [দেখানো হলো]

এই অনুশীলনীর বাকী অংশসমূহের লিঙ্ক নিন্মরুপঃ

লগারিদম (Logarithm)-(1-6) Part 1

লগারিদম (Logarithm)-(.8.) Part 3

লগারিদম (Logarithm)-(.9-16.) Part 4