দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion)-SSC Higher Math BD-Chapter 10.1
প্যাসকেলের ত্রিভুজ বা দ্বিপদী বিস্তৃতি, ঘাতের উর্ধবক্রম
১. প্যাসকেলের ত্রিভুজ বা দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে (1+y)5 এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর। উক্ত বিস্তৃতির সাহায্যে ক) (1-y)5 এবং খ) (1+2x)5 এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করেঃ
(1+y)5 =
1+5y+10y2+10y3+5y4+y5 (Ans.)
দ্বিপদী বিস্তৃতি বা উপপাদ্য
ব্যবহার করেঃ
(1+y)5
=(50)y0+(51)y1+(52)y2+(53)y3+(54)y4+(55)y5
=1.1+(5/1)y+(5.4/1.2)y2+(5.4.3/1.2.3)y3+(5.4.3.2/1.2.3.4)y4+1.y5
=1+5y+10y2+10y3+5y4+y5
(Ans.)
এখন, (1+y)5 এর
বিস্তৃতি ব্যবহার করে,
(i) (1-y)5
= {1+(-y)}5
= 1+5(-y)+10(-y)2+10(-y)3+5(-y)4+(-y)5
= 1-5y+10y2-10y3+5y4-y5
(Ans.)
(ii) (1+2x)5
= 1+5.(2x)+10.(2x)2+10.(2x)3+5.(2x)4+(2x)5
= 1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5
(Ans.)
[Note: (50) ফরমেটে অঙ্কদ্বয়
লম্বভাবে উপরে নিচে হবে, সাইটে প্রকাশর জন্য একটু বাঁকা করে লেখা হলেও তা উপরে নিচে
লম্ব ভাবে লিখতে হবে এবং 5/1 ফরমেটও উপরে নিচে লম্বভাবে
ভগ্নাংশ আকারে হবে, সাইটে প্রকাশের জন্য বাঁকা করে লেখা হলেও তা উপরে নিচে লম্ব ভাবে
ভগ্নাংশ আকারে লিখতে হবে]
২. x এর ঘাতের উর্ধবক্রম
অনুসারে ক) (1+4x)6 এবং খ) (1-3x)7 এর প্রথম চার পদ পর্যন্ত
বিস্তৃত কর।
সমাধানঃ
প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার
করেঃ
ক)
(1+4x)6
= 1+6(4x)+15(4x)2+20(4x)3+…….
=1+6.4x+15.16x2+20.64x3+….
=1+24x+240x2+1280x3+….
(Ans.)
খ)
(1-3x)7
=1+7(-3x)+21(-3x)2+35(-3x)3+…….
=1+7(-3x)+21(9x2)+35(-27x3)+……
=1-21x+189x2-945x3+……..(Ans.)
৩. (1+x2)8
এর বিস্তৃতির প্রথম 4 টি পদ নির্ণয় কর। উক্ত ফলাফল ব্যবহার করে (1.01)8
এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে পাই,
1+x2)8
==(80)(x2)0+(81)
(x2)1+(82) (x2)2+(83)
(x2)3+…………..
=1.1+(8/1)x2+(8.7/1.2)x4+(8.7.6/1.2.3)x6+……….
=1+8x2+28x4+56x6+……………(Ans.)
এখন,
(1.01)8
=(1+.01)8
={1+(0.1)2}8
বা {1+(-0.1)2}8
অর্থাৎ, প্রাপ্ত ফলাফলে
x এর পরিবর্তে 0.1 বা -0.1 বসিয়ে পাই,
(1+.01)8
= 1+8(0.1)2+28(0.1)4+56(0.1)6+……………
=1+0.08+0.0028+0.000056…..
=1.082856 (ছয় দশমিক স্থান
পর্যন্ত) (Ans)
৪. x এর ঘাতের উর্ধবক্রম
অনুসারে নিন্মোক্ত দ্বিপদীসমূহের প্রথম তিনটি পদ নির্ণয় কর।
ক) (1-2x)5
খ) (1+3x)9
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার
করে পাই,
ক)
(1-2x)5
=(50)(-2x)0+(51)(-2x)1+(52)(-2x)2+…………..
=1.1+(5/1)(-2x)+(5.4/1.2)(4x2)+………….
=1+5(-2x)+10(4x2)+……….
=1-10x+40x2-…………(Ans.)
খ)
(1+3x)9
=(90)(3x)0+(91)(3x)1+(92)(3x)2+…………..
=1.1+(9/1)(3x)+(9.8/1.2)(9x2)+……..
=1+27x+324x2+…………….(Ans.)
৫. নিন্মোক্ত বিস্তৃতিসমূহের প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর। [দ্বিপদী
বিস্তৃতি বা প্যাসক্যাল ত্রিভুজ এর যেকোনো একটি ব্যবহার করে]
ক) (1-2x2)7 খ) (1+2/x)4 গ) (1-1/2x)7
সমাধানঃ
প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার
করেঃ
ক)
(1-2x2)7
=1+7(-2x2)+21(-2x2)2+35(-2x2)3+……..
=1+7.(-2x2)+21(4x4)+35(-8x6)+………
=1-14x2+84x4-280x6+……….(Ans.)
খ)
(1+2/x)4
=1+4(2/x)+6(2/x)2+4(2/x)3+…..
=1+8/x+24/x2+32/x3+…….(Ans.)
গ)
(1-1/2x)7
=1+7(-1/2x)+21(-1/2x)2+35(-1/2x)3+……..
=1+7(-1/2x)+21(-1/4x2)+35(-1/8x3)+……..
=1-7/2x+21/4x2-35/8x3+……….(Ans.)
[বিঃদ্রঃ দ্বিপদী উপপাদ্য
ব্যবহার করেও এর সমাধান করা যায়]
৬. x3
পর্যন্ত ক) (1-x)6 এবং খ) (1+2x)6 বিস্তৃত কর।
সমাধানঃ
প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার
করেঃ
(1-x)6
=1+6.(-x)+15(-x)2+20(-x)3+…….
=1-6x+15x2-20x3+……..(Ans.)
(1+2x)6
=1+6.2x+15.(2x)2+20.(2x)3+………
=1+12x+15.4x2+20.8x3+……….
=1+12x+60x2+160x3+………(Ans.)
[বিঃদ্রঃ দ্বিপদী উপপাদ্য
ব্যবহার করেও এর সমাধান করা যায়]