মূলদ ও অমূলদ সূচকঃ প্রমাণ, সরল, মান নির্ণয় ও সমাধানঃ SSC Higher Math BD-Chapter 9.1 (1-6) Part 1

মূলদ ও অমূলদ সূচকঃ প্রমাণ, সরল, মান নির্ণয় ও সমাধান

১. প্রমাণ কর যে, (a^m/n)^p = a^mp/n যেখানে m, p ∈ Z এবং n ∈ N

সমাধানঃ

ধরি, x = ^m/_n

তাহলে,

বামপক্ষ

=(a^m/n)^p

= (a^x)^p

=a^xp

ডানপক্ষ

= a^mp/n

= a^(m/n).p

=a^xp

অতএব, (a^m/n)^p = a^mp/n [প্রমাণিত]

২. প্রমাণ কর যে, (a^1/m)^1/n = a^1/mn যেখানে m, n ∈ Z, m ≠ 0, n ≠ 0

সমাধানঃ

ধরি,

(a^1/m)^1/n = x

বা, a^1/m = xⁿ  [n√a^m = x হলে a^m = xⁿ]

বা, a = (xⁿ)^m

বা, a =x^mn

বা, x = a^1/mn

অতএব, (a^1/m)^1/n = a^1/mn  [প্রমাণিত]

৩. প্রমাণ কর যে, (ab)^m/n = (a)^m/n . (b)^m/n যেখানে m ∈ Z, n ∈ N

সমাধানঃ

ধরি,

(ab)^1/n = x, a^1/n = y, b^1/n = z

অতএব, xⁿ = ab, yⁿ = a, zⁿ = b

এখন,

xⁿ = ab

বা, xⁿ = yⁿzⁿ [মান বসিয়ে]

বা, xⁿ = (yz)ⁿ

বা, x = yz

অর্থাৎ, (ab)^1/n = a^1/n.b^1/n

বা, (ab^1/n)^m = (a^1/n.b^1/n)^m

বা, (ab)^m/n = (a)^m/n . (b)^m/n [প্রমাণিত]

৪. দেখাও যে,

ক) (a^1/3 – b^1/3)(a^2/3+a^1/3b^1/3+b^2/3) = a-b

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=(a^1/3 – b^1/3)(a^2/3+a^1/3b^1/3+b^2/3)

=(a^1/3 – b^1/3){(a^1/3)²+a^1/3b^1/3+(b^1/3)²}

=(a^1/3)³ – (b^1/3)³  [যেহেতু, (x-y)(x²+xy+y²)=x³-y³]

=a^3/3 – b^3/3

= a¹ – b¹

= a-b

=ডানপক্ষ [দেখানো হলো]

        a³+a^-3+1

খ) -------------- = a^3/2+a^-3/2-1

     a^3/2+a^-3/2+1

সমাধানঃ

বামপক্ষ

     a³+a^-3+1

= --------------

     a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2)²+(a^-3/2)²+1

= ---------------------

         a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2+a^-3/2)² - 2.a^3/2.a^-3/2 +1

= ---------------------------------

           a^3/2+a^-3/2+1

            [যেহেতু, x²+y²=(x+y)²-2xy]

     (a^3/2+a^-3/2)² - 2.a⁰ +1

= -------------------------

           a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2+a^-3/2)² - 2 +1

= -----------------------

           a^3/2+a^-3/2+1

           [যেহেতু, a⁰=1]

     (a^3/2+a^-3/2)² – 1²

= --------------------

       a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2+a^-3/2 – 1) (a^3/2+a^-3/2 + 1)

= ------------------------------------

            a^3/2+a^-3/2+1

            [যেহেতু, a²-b²=(a+b)(a-b)]

= (a^3/2+a^-3/2 – 1)

= ডানপক্ষ [দেখানো হলো]

৫. সরল করঃ

ক) চিত্রায়ীত প্রশ্ন নিন্মরুপঃ

সমাধানঃ

ধরি,

 a+b

------ = x

   b

 a-b

------ = y

  a

   a

------- = m

 a-b

   b

------- = n

  a-b

তাহলে প্রদত্ত রাশি

 x^m.y^m

--------

 xⁿ.yⁿ

    (xy)^m

=-------

    (xy)ⁿ

= (xy)^m-n……..(i)

এখন,

m-n

      a        b

= ----- - -------

    a-b     a-b

   a-b

=------

   a-b

= 1

(i) নং এ m-n এর মান বসিয়ে পাই,

প্রদত্ত রাশি

=xy

  (a+b)   (a-b)

=------.------- [মান বসিয়ে]

     b        a

    a²-b²

=-------

     ab

      a^3/2+ab       √a

খ) ---------- - -------

      ab – b³       √a – b

সমাধানঃ

  a^3/2+ab       √a

---------- - -------

 ab – b³       √a – b

    a^3/2+ab       √a

= ---------- - -------

   b(a – b²)     √a – b

    a^3/2+ab            √a

= ------------- - -------

   b{(√a)² – b²)}   √a – b

        a(√a+b)             √a

= ----------------- - -------

   b(√a – b)(√a+b)    √a – b

       a               √a

= ---------- - -------

   b(√a – b)    √a – b

       a-b√a

= --------------

      b(√a – b)  

      √a(√a-b)

= --------------

      b(√a – b)

       √a

= --------

        b

গ) চিত্রায়ীত প্রশ্ন নিন্মরুপঃ

সমাধানঃ

এখানে সকল ঘাতের গুণফল

     1       a²-b²         a

= ----✕-------✕-------

     a        a-b         a+b

      (a²-b²)a

= --------------

     a(a-b)(a+b)

   (a-b)(a+b)a

= --------------

   a(a-b)(a+b)

= 1

তাহলে প্রদত্ত রাশি

= x¹

= x

              1

ঘ) -----------------

      1+a^-mbⁿ+a^-mc^p

                 1

     +----------------

        1+b^-nc^p+b^-na^m

                 1

     +----------------

        1+c^-pa^m+c^-pbⁿ

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণের ১ম রাশি

              1

= -----------------

   1+a^-mbⁿ+a^-mc^p

              a^m

= -----------------------

    a^m(1+a^-mbⁿ+a^-mc^p)

[লব ও হরকে a^m দ্বারা গুণ করে]

              a^m

= ---------------------------

    a^m+a^-m+m bⁿ+a^-m+mc^p

              a^m

= ------------------

      a^m+a⁰ bⁿ+a⁰c^p

            a^m

= ---------------

      a^m+ bⁿ+c^p

[যেহেতু, a⁰=1]

অনুরূপভাবে, ২য় অংশ

            bⁿ

= ---------------

      a^m+ bⁿ+c^p

এবং ৩য় অংশ

            c^p

= ---------------

      a^m+ bⁿ+c^p

তাহলে, প্রদত্ত রাশি

            a^m               bⁿ

= --------------+-----------

      a^m+ bⁿ+c^p    a^m+ bⁿ+c^p

                             c^p

                     +------------

                        a^m+ bⁿ+c^p

     a^m+ bⁿ+c^p

= -------------

     a^m+ bⁿ+c^p

= 1

ঙ) চিত্রায়ীত প্রশ্ন নিন্মরুপঃ

সমাধানঃ

 ^bc√(x^b/c/x^c/b) + ^ca√(x^c/a/x^a/c) + ^ab√(x^a/b/x^b/a)

=x^{(b/c-c/b)✕1/bc}✕ x ^{(c/a-a/c)✕1/ca} ✕ x ^{(a/b-b/a)✕1/ab}

= x^{(b/c-c/b)✕1/bc+(c/a-a/c)✕1/ca+(a/b-b/a)✕1/ab}

এখন,

(^b/_c-^c/_b)✕¹/_bc+(^c/_a-^a/_c)✕¹/_ca+(^a/_b-^b/_a)✕¹/_ab

     b²-c²      1       c²-a²        1        a²-b²        1

= -------✕---- + -------✕-----+--------✕------

       bc       bc      ca            ca         ab          ab

    b²-c²         c²-a²    a²-b²     

= -------- + ------ +--------

    b²c²        c²a²        a²b²

   a²(b²-c²)+ b²(c²-a²)+c²(a²-b²)     

= ---------------------------------

                   a²b²c²     

   a²b²-a²c²+ b²c²-a²b²+a²c²-b²c²     

= ------------------------------------

                   a²b²c²     

        0

= ---------

     a²b²c²     

=0

সুতরাং প্রদত্ত রাশি

=x⁰

=1 Ans.      

    (a²-b^-2)^a(a-b^-1)^b-a

চ)-----------------------

     (b²-a^-2)^b(b+a^-1)^a-b

সমাধানঃ

    (a²-b^-2)^a(a-b^-1)^b-a

  -----------------------

    (b²-a^-2)^b(b+a^-1)^a-b

    (a²-¹/_b2)^a(a-¹/_b)^b-a

= -----------------------

     (b²-¹/_a2)^b(b+¹/_a)^a-b

    {(a+¹/_b)(a-¹/_b)}^a(a-¹/_b)^b-a

= -----------------------------

    {(b+¹/_a)(b-¹/_a)}^b(b+¹/_a)^a-b

    (a+¹/_b)^a(a-¹/_b)^a(a-¹/_b)^b-a

= -----------------------------

     (b+¹/_a)^b(b-¹/_a)^b(b+¹/_a)^a-b

    (a+¹/_b)^a(a-¹/_b)^b-a+a

= ----------------------

     (b-¹/_a)^b(b+¹/_a)^a-b+b

     (a+¹/_b)^a(a-¹/_b)^b

= ------------------

     (b-¹/_a)^b(b+¹/_a)^a

={(a+¹/_b)/(b+¹/_a)}^a{(a-¹/_b)/(b-1/a)}^b

      ab+1     ab+1           ab-1     ab-1

= (------ / --------)^a ✕ (------ / ------)^b

        b           a                   b         a 

       ab+1       a                     ab-1      a

= (------ ✕ --------)^a ✕ (------ ✕ -------)^b

        b          ab+1                b         ab-1 

= (a/b)^a ✕ (a/b)^b

= (a/b)^a+b

৬. দেখাও যে,

ক) যদি x = a^q+rb^p, y=a^r+pb^q, z = a^p+qb^r হয়, তবে x^q-r.y^r-p.z^p-q = 1.

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x = a^q+rb^p, y=a^r+pb^q, z = a^p+qb^r

বামপক্ষ

= x^q-r.y^r-p.z^p-q

= (a^q+rb^p)^q-r. (a^r+pb^q)^r-p. (a^p+qb^r)^p-q [মান বসিয়ে]

= a^q2-r2.b^pq-pr . a^r2-p2.b^qr-pq .a^p2-q2.b^rp-qr

= a^{q2-r2+r2-p2+p2-q2}.b^{pq-pr+qr-pq+rp-qr}

= a⁰b⁰

=1.1

=1

=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

খ) যদি a^p=b, b^q=c এবং c^r=a হয়, তবে pqr=1.

সমাধানঃ

c^r=a

বা, (b^q)^r=a [যেহেতু b^q=c]

বা, b^qr=a

বা, (a^p)^qr=a [যেহেতু a^q=b]

বা, a^pqr=a

বা, a^pqr=a¹

বা, pqr=1 [দেখানো হলো]

গ) যদি a^x=p, a^y=q এবং a²=(p^yq^x)^z হয়, তবে xyz=1.

সমাধানঃ

এখানে,

(p^yq^x)^z=a²

বা, {(a^x)^y.(a^y)^x}^z=a² [মান বসিয়ে]

বা, (a^xy.a^xy)^z=a²

বা, (a^xy+xy)^z=a²

বা, (a^2xy)^z=a²

বা, a^2xyz=a²

বা, 2xyz=2

বা, xyz=1 [দেখানো হলো]

এই অনুশীলনীর বাকী বা ২য় অংশঃ

মূলদ ও অমূলদ সূচকঃ প্রমাণ, সরল, মান নির্ণয় ও সমাধানঃ SSC Higher Math BD-Chapter 9.1 (7-9) Part 2