মূলদ ও অমূলদ সূচকঃ প্রমাণ, সরল, মান নির্ণয় ও সমাধানঃ SSC Higher Math BD-Chapter 9.1 (7-9) Part 2
মূলদ ও অমূলদ সূচকঃ প্রমাণ, সরল, মান নির্ণয় ও সমাধান
এই অনুশীলনীর ১ম অংশঃ
মূলদ ও অমূলদ সূচকঃ প্রমাণ, সরল, মান নির্ণয় ও সমাধানঃ SSC Higher Math BD-Chapter 9.1 (1-6) Part 1
৭.
ক) যদি x.3√a + y.3√b + z.3√c = 0 এবং a2 = bc হয়, তবে দেখাও যে, ax3+by3+cz3 = 3axyz
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x.3√a + y.3√b + z.3√c = 0 এবং a2 = bc
এখন,
x.3√a + y.3√b + z.3√c = 0
বা, x.3√a = - (y.3√b + z.3√c) ……..(i)
বা, (x.3√a)3 = {- (y.3√b + z.3√c)}3
[উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, x3.( 3√a)3 = -y3(3√b)3 –z3(3√c)3 -3y.3√b.z. 3√c(y. 3√b+3√c)
[যেহেতু, (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)]
বা, x3a = -y3b –z3c -3yz.3√(bc)(-x3√a) [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
বা, ax3 = -by3 -cz3 +3xyz. 3√(abc)
বা, ax3+by3+cz3
= 3xyz. 3√(abc)
বা, ax3+by3+cz3
= 3xyz. 3√(a.a2) [যেহেতু a2 = bc]
বা, ax3+by3+cz3
= 3xyz. 3√(a3)
বা, ax3+by3+cz3
= 3xyz. a
বা, ax3+by3+cz3
= 3axyz [দেখানো হলো]
খ) যদি x =
(a+b)1/3 + (a-b)1/3 এবং a2 – b2 = c3
হয়, তবে দেখাও যে, x3 -
3cx -2a = 0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x = (a+b)1/3
+ (a-b)1/3 এবং a2 – b2 = c3
এখন,
x = (a+b)1/3
+ (a-b)1/3
বা, x3
={(a+b)1/3}3 + {(a-b)1/3}3+3. (a+b)1/3
.(a-b)1/3 {(a+b)1/3 + (a-b)1/3} [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
[যেহেতু, (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)]
বা, x3 =
a+b+a-b+3(a2-b2)1/3.x [যেহেতু, x = (a+b)1/3 + (a-b)1/3]
বা, x3 =
2a+3.(c3)1/3.x [যেহেতু, a2-b2=c3]
বা, x3 =
2a+3cx
বা, x3-3vx-2a
= 0 [দেখানো হলো]
গ) যদি a = 21/3
+ 2-1/3 হয়, তবে দেখাও যে, 2a3-6a = 5
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
a = 21/3 + 2-1/3
বা, a3 = (21/3)3
+ (2-1/3)3+3. 21/3. 2-1/3(21/3
+ 2-1/3) [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
[যেহেতু, (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)]
বা, a3 = 21+2-1+3.21/3-1/3.a [যেহেতু, a = 21/3 + 2-1/3]
বা, a3 = 2 +
½ +3.20.a
বা, a3 = 2 +
½ +3.1.a
বা, a3 =
2+ ½ +3a
বা, 2a3 = 4
+ 1 +6a [2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2a3 = 5
+6a
বা, 2a3 -6a
=5 [দেখানো হলো]
ঘ) যদি a2
+ 2 = 32/3 + 3-2/3 এবং a ≥
0 হয়, তবে দেখাও
যে, 3a3 + 9a = 8
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
a2 + 2 = 32/3
+ 3-2/3
বা, a2 = (31/3)2
+ (3-1/3)2 -2
বা, a2 = (31/3)2
+ (3-1/3)2 -2. 31/3. 3-1/3 [যেহেতু,31/3.
3-1/3 =31/3-1/3=30=1]
বা, a2 = (31/3
-3-1/3)2
বা, a =31/3
-3-1/3 [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে এবং a ≥ 0 বলে
ধণাত্মক মান নিয়ে]
বা, a3 = (31/3)3
-(3-1/3)3 -3. 31/3.3-1/3(31/3
-3-1/3)
[যেহেতু, (x-y)3=x3-y3-3xy(x-y)]
বা, a3
= 3 -3-1-3.31/3-1/3.a
[যেহেতু, a =31/3 -3-1/3]
বা, a3 = 3 –
1/3 -3.30.a
বা, a3 = 3 –
1/3 -3.1.a
বা, a3 = 3 –
1/3 -3a
বা, 3a3 = 9
– 1 – 9a [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3a2 = 8
-9a
বা, 3a2 +9a
= 8 [দেখানো হলো]
ঙ) যদি a2
= b3 হয়, তবে দেখাও যে, (a/b)3/2 + (b/a)2/3 = a1/2
+ b-1/3
সমাধানঃ
এখানে,
a2=b3
বা, a=b3/2
আবার,
a2=b3
বা, b3=a2
বা, b=a2/3
এখন,
বামপক্ষ
=(a/b)3/2 +
(b/a)2/3
a3/2 b2/3
a3/2 b2/3
[যেহেতু, a=b3/2;
b=a2/3]
= a3/2 – 1 +
b2/3 – 1
= a1/2 + b-1/3
= ডানপক্ষ [দেখানো হলো]
চ) যদি b = 1 +
32/3 + 31/3 হয়, তবে দেখাও যে, b3-3b2
-6b -4 = 0
সমাধানঃ
এখানে,
b = 1 + 32/3
+ 31/3
বা, b - 1 = 32/3
+ 31/3 ………(i)
বা, (b-1)3
=(32/3 + 31/3)3 [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, b3-3b2+3b-1
= (32/3)3 + (31/3)3+3. 32/3.
31/3(32/3 + 31/3) [সূত্রমতে]
বা, b3-3b2+3b-1=32+3+3.32/3+1/3.(b-1)
[(i) হতে মান বসিয়ে]
বা, b3-3b2+3b-1=32+3+3.31.(b-1)
বা, b3-3b2+3b-1=9+3+9.(b-1)
বা, b3-3b2+3b-1=12+9b-9
বা, b3-3b2+3b-1=3+9b
বা, b3-3b2+3b-1-3-9b=0
বা, b3-3b2-6b-4=0
(দেখানো হলো)
ছ) যদি a+b+c=0
হয়, তবে দেখাও যে,
1 1 1
সমাধানঃ
এখানে, ১ম রাশি
1
1
1
xc
xc
২য় রাশি
1
1
[যেহেতু, a+b+c=0]
1
৩য় রাশি
1
1
1
xb
xb
[যেহেতু, a+b+c=0]
xb
xb
xb.xc
xb+c
এখন, ১ম, ২য় ও ৩য় রাশির যোগ
করে পাই,
xc
1
xb+c
xc+1+xb+c
= 1
অতএব,
1 1 1
(দেখানো হলো)
৮.
ক) যদি ax
= b, by = c এবং cz = 1 হয়, তবে xyz= কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cz = 1
বা, (by)z
= 1 [c এর মান বসিয়ে]
বা, byz = 1
বা, (ax)yz
= 1 [b এর মান বসিয়ে]
বা, axyz = a0
বা, xyz = 0
খ) যদি xa
= yb = zc এবং xyz = 1 হয়, তবে ab+bc+ca = কত?
সমাধানঃ
ধরি, xa = yb
= zc = k
তাহলে, x = k1/a;
y = k1/b; z = k1/c
এখন,
xyz=1
বা, k1/a.k1/b.z1/c
= 1
বা, k1/a+1/b+1/c
= 1
বা, k1/a+1/b+1/c
= k0
বা, 1/a+1/b+1/c
= 0
ab+bc+ca
বা, ab+bc+ca = 0*abc
বা, ab+bc+ca = 0
গ) যদি 9x=(27)y
হয়, তাহলে x/y এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
9x=(27)y
বা, (32)x=(33)y
বা, 32x=33y
বা, 2x=3y
বা, x/y=3/2
৯. সমাধান করঃ
ক) 32x+2
+ 27x+1 = 36
সমাধানঃ
32x+2 + 27x+1
= 36
বা, 32x+2 +
(33)x+1 = 36
বা, 32x.32
+ 33x.33 = 4.9
বা, 32x +
3.33x = 4 [9 দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
বা, (3x)2+3.(3x)3=4
বা, a2+3a3=4 [3x=a ধরে]
বা, 3a3+a2-4=0
বা, 3a3+4a2-3a2-4=0
বা, 3a3-3a2+4a2-4=0
বা, 3a2(a-1)+4(a2-1)=0
বা, 3a2(a-1)+4(a-1)(a+1)=0
বা, (a-1)(3a2+4a+4)=0
বা, a-1 = 0
বা, a = 1
বা, 3x = 1
বা, 3x = 30
বা, x=0
অথবা,
3a2+4a+4=0
বা, 3a2+6a+2a+4=0
বা, 3a(a+2)+2(a+2)=0
বা, (a+2)(3a+2)=0
বা, a+2=0
বা, a= -2
বা, 3x= -2
……..(i)
অথবা,
3a+2=0
বা, 3a = -2
বা, a =-2/3
বা, 3x=-2/3…….(ii)
(i) ও (ii) এ x এর কোন বাস্তব
সম্মত মান পাওয়া যায় না।
অতএব, x=0
খ)
5x+3y=8
5x-1+3y-1=2
সমাধানঃ
5x+3y=8……………(i)
5x-1+3y-1=2…………(ii)
(ii) হইতে পাই,
5x/5 +3y-1
= 2
বা, 5x + 5.3y-1
= 10 [5 দ্বারা গুণ করে]…………..(iii)
(iii) – (ii) করে পাই,
5.3y-1 – 3y
= 2
বা, 5.3y-1.3
– 3y.3 = 6 [3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 5.3y-1+1
– 3.3y = 6
বা, 5.3y –
3.3y = 6
বা, 2. 3y =
6
বা, 3y = 3
বা, 3y = 31
বা, y = 1
(i) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
5x+31=8
বা, 5x =8-3
বা, 5x =
5
বা, 5x = 51
বা, x=1
অতএব, (x,y)=(1,1)
গ)
43y-2
= 16x+y
3x+2y
= 92x+1
সমাধানঃ
43y-2 = 16x+y
বা, 43y-2 =
(42)x+y
বা, 43y-2 =
42x+2y
বা, 3y-2 = 2x+2y
বা, 3y-2-2x-2y = 0
বা, y-2-2x = 0
বা, 2x – y + 2 = 0
বা, 4x-2y + 4 = 0
…….(i)
আবার,
3x+2y = 92x+1
বা, 3x+2y =
(32)2x+1
বা, 3x+2y =
34x+2
বা, x+2y = 4x+2
বা, x+2y-4x-2 = 0
বা, -3x+2y – 2 =0
বা, 3x-2y+2 = 0 …….(ii)
(i) – (ii) করে পাই,
x + 2 = 0
বা, x = -2
x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
4.(-2)-2y+4=0
বা, -8 -2y +4 = 0
বা, -2y -4 = 0
বা, -2y = 4
বা, y = -2
অতএব, (x,y) = (-2, -2)
ঘ)
22x+1.23y+1
= 8
2x+2.2y+2
= 16
সমাধানঃ
22x+1.23y+1
= 8
বা, 22x+1+3y+1 =
23
বা, 2x+1+3y+1 = 3
বা, 2x+3y+2-3 = 0
বা, 2x+3y-1 = 0 ……….(i)
আবার,
2x+2.2y+2
= 16
বা, 2x+2+y+2
= 24
বা, x+2+y+2 = 4
বা, x+y+4 = 4
বা, x+y = 0
বা, 2x+2y = 0………….(ii)
(i) – (ii) করে পাই,
y-1=0
বা, y = 1
এখন, y=1 (i) নং এ বসিয়ে
পাই,
2x+3.1-1 = 0
বা, 2x+3-1=0
বা, 2x+2=0
বা, 2x = -2
বা, x = -1
অতএব, (x,y) = (-1,1)
****আমাদের সাথে থাকার জন্য অনেক অনেক ধন্যবাদ****