অসমতার ব্যবহার, অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ ও সম্ভাব্য মান নির্ণয়: SSC Higher Math BD-Chapter 6.2
অসমতার ব্যবহার, অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ ও সম্ভাব্য মান নির্ণয়
১-৫ পর্যন্ত সমস্যাগুলো অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর এবং x এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।
১. এক বালক x কিমি বেগে 3 ঘন্টা হাঁটল এবং ঘন্তায় (x+2) কিমি বেগে ½ ঘন্টা দৌড়াল এবং তাঁর অতিক্রান্ত পথ 29 কিমি এর কম।
সমাধানঃ
x কিমি বেগে 3 ঘন্টায় যায় 3x কিমি
আবার, (x+2) কিমি বেগে ঘন্টায় যায় ½(x+2) কিমি
প্রশ্নমতে,
3x+ ½(x+2) < 29
বা, 3x+x/2+2/2
< 29
বা, 3x+x/2+1
< 29
বা, 3x+x/2+1-1 < 29-1 [উভয়পক্ষে -1 যোগ করে]
বা, 3x+x/2 < 28
6x+x
বা, 7x/2 <
28
বা, 7x < 56 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
বা, x < 8 [উভয়পক্ষকে 1/7 দ্বারা গুণ করে]
আবার, x < 0 [বেগের মান কখনো ঋণাত্মক হবে না]
অর্থাৎ, 0 < x < 8
সুতরাং অসমতা, 3x+ ½(x+2) < 29 যেখানে, 0 < x < 8
২. একটি বোর্ডিং এ রোজ 4x কেজি চাল এবং (x-3) কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে 40 কেজির বেশি লাগে না।
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
4x+(x-3) ≤ 40
বা, 4x+x-3 ≤ 40
বা, 5x-3 ≤ 40
বা, 5x-3+3 ≤ 40+3 [উভয়পক্ষে 3 যোগ করে]
বা, 5x ≤ 43
বা, 5x/5
≤ 43/5 [উভয়পক্ষকে
1/5 দ্বারা গুণ করে]
বা, x ≤ 43/5
আবার, ডালের পরিমাণ (x-3) কেজি।
অর্থাৎ ডালের পরিমাণ 0 কেজির বেশি হবে।
∴ x-3 > 0
বা, x-3+3 > 0+3 [উভয়পক্ষে 3 যোগ করে]
বা, x > 3
∴ x এর সম্ভাব্য মান, x>3 এবং x ≤ 43/5
অর্থাৎ
3 < x ≤ 43/5
সুতরাং,
অসমতা 4x+(x-3) ≤ 40 এবং x এর সম্ভাব্য মান 3
< x ≤ 43/5
৩. সোহরাব সাহেব 70 টাকা কেজি দরে x কেজি আম কিনলেন। তিনি বিক্রেতাকে 500 টাকার একখানা নোট দিলেন। বিক্রেতা 20 টাকার x খানা নোটসহ বাকি টাকা ফেরত দিলেন।
সমাধানঃ
1 কেজি আমের মূল্য 70 টাকা
তাহলে, x কেজি আমের মূল্য 70x টাকা।
অর্থাৎ সোহরাব সাহেব আম কিনলেন 70x টাকার
এবং বিক্রেতাকে তিনি 500 টাকা দিলেন; বিক্রেতা তাকে কিছু টাকা ফেরত দিল।
তাহলে, ফেরত দেয়া টাকার পরিমাণ হবে 500-70x টাকা।
বিক্রেতা তাকে ফেরত দেয়া টাকা 20 টাকার x খানা নোটের মাধ্যমে 20x টাকা ও বাকী টাকা অন্যান্য নোটের মাধ্যমে ফেরত দিল।
শর্তমতে,
500-70x > 20x
বা, 500-70x-20x > 20x-20x [উভয়পক্ষের সাথে -20x যোগ করে]
বা, 500-90x > 0
বা, 500-90x-500 > 0-500 [উভয়পক্ষে -500 যোগ করে]
বা, -90x > -500
বা, 90x < 500 [উভয়পক্ষে -1 দ্বারা গুণ করে]
[ঋণাত্মক মান দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্নের দিক পরিবর্তিত হয়েছে]
বা, 90x/90 <
500/90 [উভয়পক্ষকে 1/90
দ্বারা গুণ করে]
বা, x < 5.56
যেহেতু নোট সংখ্যা ভগ্নাংশ হতে পারে না, সেহেতু x এর মান 6 হতে ছোট যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হতে পারে।
∴ x < 6 এবং x পূর্ণসংখ্যা।
আবার, আমের পরিমাণ 0 কেজির বেশি হবে।
∴ x > 0
অসমতাঃ 500-70x > 20x বা 500 > 70x+20x এবং এর সম্ভাব্য মান 0<x<6
৪. একটি গাড়ি 4 ঘন্টায় যায় x কিমি এবং 5 ঘন্টায় যায় (x+120) কিমি। গাড়িটির গড় গতিবেগ ঘন্টায় 100 কিমি এর বেশি নয়।
সমাধানঃ
মোট সময়=(4+5) ঘন্টা = 9 ঘন্টা
9 ঘন্টায় অতিক্রান্ত দূরত্ব (x+x+12) কিমি
x+x+120
প্রশ্নমতে,
x+x+120
বা, x+x+120 ≤ 900 [উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2x+120 ≤ 900
বা, 2x+120-120 ≤ 900-120 [উভয়পক্ষকে -120 যোগ করে]
বা, 2x ≤ 780
বা, x ≤ 390 [ উভয়পক্ষকে ½ দ্বারা গুণ করে]
আবার,
x > 0 [বেগের মান ঋণাত্মক হতে পারে না]
∴নির্ণেয় অসমতাঃ
x+x+120
এবং x এর সম্ভাব্য মান 0
< x ≤
390
৫. এক টুকরা কাগজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ সেমি। তা থেকে x সেমি দীর্ঘ এবং 5 সেমি প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তাকার কাগজ কেটে নেওয়া হলো।
সমাধানঃ
কেটে নেওয়া আয়তাকার কাগজের ক্ষেত্রফল =x✕5=5x বর্গ সেমি
প্রশ্নমতে,
5x < 40
বা, x < 8 [উভয়পক্ষকে 1/5 দ্বারা গুণ করে]
এখন, কাগজের টুকরাটির প্রস্থ 5 সেমি, তাই x এর মান 5 সেমি থেকে বেশি।
∴x এর সম্ভাব্য মান, 5<x<8
সুতরাং নির্ণেয় অসমতা, 5x < 40 এবং x এর সম্ভাব্য মান, 5<x<8
৬. পুত্রের বয়স মাতার বয়সের এক-তৃতীয়াংশ। পিতা মাতার চেয়ে 6 বছরের বড়। তিনজনের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধব 90 বছর। পিতার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
মনে করি, পিতার বয়স=x বছর
∴মাতার বয়স = (x-6) বছর
∴পুত্রের বয়স = 1/3(x-6) বছর
প্রশ্নমতে,
x+(x-6)+1/3(x-6)
≤ 90
বা, x+x-6+x/3-6/3
≤ 90
বা, 2x-6+x/3-2
≤ 90
বা, 2x-8+x/3 ≤ 90
বা, 6x-24+x ≤ 270 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 7x-24 ≤ 270
বা, 7x-24+24 ≤ 270+24 [উভয়পক্ষে 24 যোগ করে]
বা, 7x ≤ 294
বা, x ≤ 42 [উভয়পক্ষকে 1/7 দ্বারা গুণ করে]
∴পিতার বয়সের অসমতা, x ≤ 42
৭. জেনি 14 বছর বয়সে জুনিয়র বৃত্তি পরীক্ষা দিয়েছিল। 17 বছর বয়সে সে এস.এস.সি পরীক্ষা দিবে। তার বর্তমান বয়স অসমতায় প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
মনে করি, জেনির বর্তমান বয়স x বছর।
যেহেতু 14 বছর বয়সে সে জুনিয়র বৃত্তি পরীক্ষা দিয়েছিল তাই তার বর্তমান বয়স 14 বছরের চেয়ে বেশি।
অর্থাৎ, x > 14
আবার, যেহেতু 17 বছর বয়সে সে এস.এস.সি পরীক্ষা দিবে তাই তার বর্তমান বয়স 17 বছরের চেয়ে কম।
অর্থাৎ, x < 17
∴জেনির বয়স অসমতায় প্রকাশ করলে পাই, 14 < x < 17
৮. একখানি জেট প্লেনের গতি প্রতি সেকেন্ডে সর্বাধিক 300 মিটার। প্লেনটি 15 কিমি যাওয়ার প্রয়োজনীয় সময় অসমতায় প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
সেকেন্ডে
300 মি. বেগে চললে 15 কিমি বা 15000 মিটার যেতে সময় লাগবে = 15000/300 সেকেন্ড=50 সেকেন্ড।
কাজেই নির্ণেয় নূন্যতম সময় 50 সেকেন্ড।
সুতরাং, নির্ণেয় সময় t সেকেন্ড হলে অসমতাটি হবে, t ≥ 50
৯. ঢাকা থেকে সিঙ্গাপুর বিমান পথে দূরত্ব 29000 কিমি। জেট বিমানের সর্বোচ্চ গতিবেগ ঘন্টায় 900 কিমি। কিন্তু ঢাকা থেকে সিঙ্গাপুর যাবার পথে প্রতিকূল দিকে ঘন্টায় 100 কিমি বেগে বায়ু প্রবাহের সম্মুখীন হতে হয়। ঢাকা থেকে সিঙ্গাপুর বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় একটি অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
বিমানটি 29000 কিমি যেতে সময় লেগেছিল t ঘন্টা।
তাহলে, বিমানটির বেগ ছিল 29000/t কি.মি/ঘন্টা
আবার,
বিমানের বেগ ≤ 900
কি.মি./ঘন্টা
এবং বায়ুর বেগ = 100 কি.মি./ঘন্টা
তাহলে, বিমানটির বায়ুর প্রতিকূলে
চলার বেগ ≤
(900-100) কি.মি./ঘন্টা
শর্তানুসারে,
29000/t ≤
(900-100)
বা, 29000/t
≤ 800
বা, 1/t
≤ 800/2900 [উভয়পক্ষকে
1/29000 দ্বারা গুণ করে]
বা, 1/t
≤ 8/29
বা, t
≥ 29/8
[অসমতার
উভয়দিকের রাশিকে বিপরীতকরণ করলে অসমতার দিক পরিবর্তিত হয়]
5
∴ঢাকা থেকে সিঙ্গাপুর বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় এর অসমতাঃ
5
১০. পূর্ববর্তী প্রশ্নের সূত্র ধরে, সিঙ্গাপুর থেকে ঢাকা ফেরার পথে উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় একটি অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
বিমানটি 29000 কিমি যেতে সময় লেগেছিল t ঘন্টা।
তাহলে, বিমানটির বেগ ছিল 29000/t কি.মি/ঘন্টা
আবার,
বিমানের বেগ ≤ 900
কি.মি./ঘন্টা
এবং বায়ুর বেগ = 100 কি.মি./ঘন্টা
তাহলে, বিমানটির বায়ুর অনুকূলে
চলার বেগ ≤
(900+100) কি.মি./ঘন্টা
শর্তানুসারে,
29000/t ≤
(900+100)
বা, 29000/t
≤ 1000
বা, 1/t
≤ 1000/2900 [উভয়পক্ষকে
1/29000 দ্বারা গুণ করে]
বা, 1/t
≤ 10/29
বা, t
≥ 29/10
[অসমতার
উভয়দিকের রাশিকে বিপরীতকরণ করলে অসমতার দিক পরিবর্তিত হয়]
9
∴সিঙ্গাপুর থেকে ঢাকা বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় এর অসমতাঃ
9
১১. কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার 5 গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং 15 এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতায় প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
মনে করি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
5x < 2x+15
বা, 5x-2x < 2x+15-2x [উভয়পক্ষের সাথে -2x যোগ করে]
বা, 3x < 15
বা, x < 5 [উভয়পক্ষকে 1/3
দ্বারা গুণ করে]
আবার x যেহেতু ধণাত্মক সংখ্যা সেহেতু, x > 0
তাহলে সংখ্যাটির মানের অসমতাঃ 0 < x < 5
This article is published by School Math BD.