রেডিয়ানে প্রকাশ, ডিগ্রিতে প্রকাশ, ষাটমূলক ও বৃত্তীয় পদ্ধতি, ব্যাসার্ধ, পরিধি, কোণের বৃত্তীয় মান, কোণ ও দূরত্ব: SSC Higher Math BD-Chapter 8.1
রেডিয়ানে প্রকাশ, ডিগ্রিতে প্রকাশ, ষাটমূলক ও বৃত্তীয় পদ্ধতি, ব্যাসার্ধ, পরিধি, কোণের বৃত্তীয় মান, কোণ ও দূরত্ব
ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে
নিন্মের সমস্যাগুলোর সমাধান নির্ণয় কর। সমস্ত ক্ষেত্রে π এর আসন্ন মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত ব্যবহার কর (π=3.1416).
১. ক) রেডিয়ানে প্রকাশ করঃ
(i) 75030’ (ii) 55054’53’’ (iii) 33022’11’’
সমাধানঃ
(i) 75030’
=750+30’
=750+(30/60)0
[10=60’]
=750+(½)0
=(75+½)0
=(151/2)0
151 πc
151✕3.1416
=1.3177 রেডিয়ান (প্রায়)
(ii) 55054’53’’
=550+54’+53’’
=550+54’+(53/60)’
=550+(54+53/60)’
=550+(3293/60)’
=550+(3293/60✕60)0
=(55+3293/3600)0
=(201293/3600)0
201293✕ πc
=0.310637345✕3.1416 রেডিয়ান
=0.9759 রেডিয়ান (প্রায়)
(iii) 33022’11’’
=330+22’+11’’
=330+22’+(11/60)’
=330+(22+11/60)’
=330+(1331/60)’
=330+(1331/60✕60)0
=330+(1331/3600)0
=(33+1331/3600)0
=(120131/3600)0
120131 πc
120131π
=0.5824 রেডিয়ান (প্রায়)
খ) ডিগ্রিতে প্রকাশ করঃ
(i) 8π/13 রেডিয়ান (ii) 1.3177 রেডিয়ান (iii) 0.9759 রেডিয়ান
সমাধানঃ
(i) 8π/13 রেডিয়ান
=8π/13✕180/π ডিগ্রি
1440
=110.76923 ডিগ্রি
= 110046’9.23’’ [ক্যালকুলেটর ব্যবহার
করে]
(ii) 1.3177 রেডিয়ান
=1.3177✕180/π ডিগ্রি
237.18
=75.49847 ডিগ্রি
=75029’54.5’’ ডিগ্রি [ক্যালকুলেটর
ব্যবহার করে]
(iii) 0.9759 রেডিয়ান
=0.9759✕180/π ডিগ্রি
175.662
=55.91495 ডিগ্রি
=55054’53.35’’ ডিগ্রি
২. একটি
কোণকে ষাটমূলক. ও বৃত্তীয়. পদ্ধতিতে যথাক্রমে D0 ও Rc দ্বারা
প্রকাশ করা হলে, প্রমাণ কর যে,
D/180=R/π
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ষাটমূলকে কোনো কোণের পরিমাণ D0
এবং বৃত্তীয় পদ্ধতিতে তার মান Rc
ডিগ্রি ও রেডিয়ান কোণের সম্পপর্ক অনুসারে,
πc
Dπc
প্রশ্নমতে,
Dπ
∴ D/180=R/π (প্রমাণিত)
৩. একটি চাকার ব্যাসার্ধ 2 মিটার 3 সেমি হলে, চাকার
পরিধির আসন্ন মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ, r = 2 মিটার 3 সেমি = 2.03
মিটার
জানা আছে,
চাকার পরিধি = 2πr মিটার
= 2✕3.1416✕2.03 মিটার (প্রায়)
= 12.7549 মিটার (প্রায়)
৪. একটি
গাড়ির চাকার ব্যাস 0.84 মিটার এবং চাকতি প্রতি সেকেণ্ডে 6 বার ঘুরে। গাড়িটির গতিবেগ
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
চাকাটির ব্যাস = 0.84 মিটার
∴চাকাটির ব্যাসার্ধ r = 0.84/2 মিটার =0.42
মিটার
∴চাকাটির পরিধি = 2πr
=
2✕3.1416✕0.42 মিটার
=
2.6389 মিটার
∴চাকাটি একবার ঘুরে 2.6389 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে।
আবার, প্রতি সেকেন্ডে চাকাটি 6 বার ঘুরে।
সুতরাং, 1 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব 2.6389✕6 মিটার
∴ 1 ঘন্টায় অতিক্রান্ত দূরত্ব 2.6389✕6✕60 মিটার
=
57001.1904 মিটার
57001.1904
=
57.0012 কিমি
∴গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 57 কিমি (প্রায়)
৫. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:5:3 হলে ক্ষুদ্রতম
ও বৃহত্তম কোণের বৃত্তীয় মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 5 : 3
মনে করি, কোণ তিনটি যথাক্রমে 2xc,
5xc, 3xc
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি πc
∴ 2x+5x+3x=π
বা, 10x = π
∴ x = π/10
∴ কোণ তিনটি যথাক্রমে
2πc 5πc 3πc
অর্থাৎ
πc πc 3πc
∴ বৃহত্তম কোণ πc/2
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ πc/5
৬. একটি
ত্রভুজের কোণগুলো সমান্তর শ্রেণিভুক্ত এবং বৃহত্তম কোনটি ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ।
কোণগুলোর রেডিয়ান পরিমাপ কত?
সমাধানঃ
মনে করি, ক্ষুদ্রতম কোণ = Ac
বৃহত্তম কোণ = 2Ac
কোণগুলো সমান্তর শ্রেণীভুক্ত হলে অন্য কোনটি
Ac+2Ac
= 3/2Ac
আমরা জানি, ত্রিভুজের ত্রি-কোণের সমষ্টি দুই
সমকোণ বা πc
∴ A+2A+3/2A = π
বা, 3A+3/2A =
π
বা, 9A/2 = π
∴ A=2π/9
2A=2✕2π/9 = 4π/9
এবং 3/2A = 3/2✕2π/9 = π/3
৭. পৃথিবীর
ব্যাসার্ধ 6440 কিমি। ঢাকা ও চট্রগ্রাম পৃথিবীর কেন্দ্রে 50 কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও চত্রগ্রামের দূরত্ব কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 6440 কিমি
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ,
θ = 50
= 5 ✕ π/180 রেডিয়ান
= π/36 রেডিয়ান
∴ ঢাকা ও চট্রগ্রামের দূরত্ব,
s = rθ
= 6440✕π/36 কিমি
64000✕3.1416
= 561.9973 কিমি
= 562 কিমি (প্রায়)
৮. পৃথিবীর
ব্যাসার্ধ 6440 কিমি। টেকনাফ ও তেতুলিয়া পৃথিবীর কেন্দ্রে 1006’3’’ কোণ উৎপন্ন করে। টেকনাফ ও তেতুলিয়ার দূরত্ব কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 6440 কিমি
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ,
θ = 1006’3’’
=100+6’+(3/60)’
=100 + (363/60)’
=100 + (363/60✕60)0
=100 + (363/3600)0
=100 + (121/1200)0
=(12121/1200)0
12121 π
12121π
∴ ঢাকা ও চট্রগ্রামের দূরত্ব,
s = rθ
12121π
64000✕12121✕3.1416
= 1135.3 কিমি (প্রায়)
৯. শাহেদ
একটি সাইকেল চড়ে বৃত্তাকার পথে 11 সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি চাপটি
300 কোণ উৎপন্ন করে এবং বৃত্তের ব্যাস 201 মিটার হয়, তবে শাহেদের গতিবেগ
কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস, D=2r=201 মিটার
∴ ব্যাসার্ধ, r = 201/2 মিটার = 100.5 মিটার
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 300 =30 ✕ π/180 রেডিয়ান= π/6 রেডিয়ান
আমরা জানি,
চাপের দৈর্ঘ্য,
s = rθ
= 100.5✕π/6 মিটার
100.5✕3.1416
= 52.6218 মিটার
অর্থাৎ 11 সেকেন্ডে অতিক্রম করে 52.6218 মিটার
∴ 1 সেকেন্ডে অতিক্রম করে 52.6218/11 মিটার
=
4.7838 মিটার
=4.78
মিটার (প্রায়)
∴ শাহেদের গতি বেগ = 4.78 মিটার (প্রায়)
১০. পৃথিবীর
ব্যাসার্ধ 6,440 কিলোমিটার। পৃথিবীর, উপরের যে দুইটি স্থান, কেন্দ্রে 32’’ কোণ উৎপন্ন করে; তাদের দূরত্ব কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = 6440 কিমি
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ,
θ = 32’’
=(32/60✕60)0
32✕π
32✕3.1416
∴ দুই স্থানের দূরত্ব,
s = rθ
2✕3.1416
= 0.9991 কিমি
= 1 কিমি (প্রায়)
১১. সকাল
9 : 30 টায় ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার অন্তর্গত কোণকে রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
[সংকেতঃ এক ঘর কেন্দ্রে 3600/60=60 কোণ উৎপন্ন করে। 9 : 30 টায় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও
মিনিটের কাটার মধ্যে ব্যবধান (15+2½ বা 17½ ঘর]
সমাধানঃ
60 মিনিটে ঘড়ির মিনিটের কাঁটা 60টি ঘর অতিক্রম
করে এবং 60 মিনিটে ঘন্টার কাঁটা 5টি ঘর অতিক্রম করে।
সুতরাং ঘন্টার কাঁটা প্রতি মিনিটে 5/60
বা 1/12 ঘর অতিক্রম করে।
আবার. ঘড়ির ডায়াল. এর 60টি ঘর. কেন্দ্রে 3600
কোণ. (4 সমকোণ.) ধারণ করে।
∴ একটি ঘর কেন্দ্রে 3600/60=60
কোণ ধারণ করে।
9.30 মিনিটের সময় মিনিটের কাঁটা 6 এর দাগে
অবস্থান করে এবং ঘন্টার কাঁটা 9 টার দাগ থেকে 30 মিনিটে 30/12
বা 2.5 ঘর আগে সরে যায়।
সুতরাং 9.30 মিনিটে দুইটি কাটার মধ্যে ব্যবধান
(6 এর দাগ থেকে 9 এর দাগ পর্যন্ত) 15 ঘর+ 2.5 ঘর =17.5 ঘর।
যেহেতু 1 ঘর কেন্দ্রে 60 কোণ ধারণ
করে
সেহেতু 17.5 ঘর কেন্দ্রে 17.5✕60 = 1050 কোণ ধারণ করে।
এখন, 1050=105✕(π/180) রেডিয়ান
= 1.833 রেডিয়ান (প্রায়)
১২. এক
ব্যক্তি বৃত্তাকার পথে ঘন্টায় 6. কিমি বেগে দৌড়ে 36. সেকেন্ডে যে বৃত্ত.চাপ অতিক্রম
করে. তা কেন্দ্রে 600 কোণ. উৎপন্ন করে। বৃত্তের. ব্যাস. নির্নয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r মিটার
আমরা জানি, 1 ঘন্টা = 3600 সেকেন্ড
আবার 6 কিমি = 6✕1000 মিটার = 6000 মিটার
∴ লোকটি 3600 সেকেন্ডে অতিক্রম করে 6000 মিটার
∴ লোকটি 1 সেকেন্ডে অতিক্রম করে 6000/3600
মিটার= 60/36 মিটার
∴ লোকটি 36 সেকেন্ডে অতিক্রম করে 60/36✕36 মিটার = 60 মিটার
এখন 36 সেকেন্ডে উৎপন্ন বৃত্ত চাপটি AB. হলে
AB চাপের দৈর্ঘ্য, s = 60 মিটার
দেওয়া আছে,
কেন্দ্রে উৎপন্ন কণ,
θ = 600
= 60 ✕ (π/180) রেডিয়ান
=(π/3) রেডিয়ান
আমরা জানি,
s = rθ
বা, r = s/θ
= 60 ÷ (π/3)
60✕3
= 57.29564553 মিটার
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
=
2✕ 57.29564553 মিটার
=
114.59 মিটার (প্রায়)
১৩. 750
কি.মি. দূরে. একটি বিন্দুতে. কোনো পাহাড়. 8’ কোণ. উৎপন্ন করে। পাহাড়টির. উচ্চতা. নির্ণয়
কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি, r ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্রে
s চাপ θ কোণ উৎপন্ন করলে
s = rθ
এখানে,
θ
=8’
=(8/60)0
=(8/60)✕(π/180) রেডিয়ান
=(π/1350) রেডিয়ান
এবং r = 750 কিমি
∴ পাহাড়ের উচ্চতা, s
=
rθ
= 750✕(π/1350) কিমি
= 1.745 কিমি (প্রায়)
= 1745 মিটার (প্রায়)