অসীম ধারা : SSC Higher Math BD-Chapter 7 (12-15) Part 2
অসীম ধারাঃ n তম পদ, পদের যোগফল, অসীমতক সমষ্টি, গুণোত্তর ধারা
এই অনুশীলনীর পূর্বের অংশঃ
অসীম ধারা : SSC Higher Math BD-Chapter 7 (1-11) Part 1
১২. নিন্মোক্ত ধারাসমূহের প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল নির্ণয় করঃ
ক) 7+77+777+….
সমাধানঃ
7+77+777+….+n তম পদ
=7(1+11+111+….+ n তম পদ)
=7/9.(9+99+999+….+n
তম পদ)
=7/9.{(10-1)+(100-1)+(1000-1)+….+n
তম পদ}
=7/9.{(10+100+1000+….+n
তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=7/9.{(10+102+103+….+n
তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=7/9.{10(1+10+102+….+n
তম পদ)-n}
7
10n-1
=70/81(10n-1)-7n/9
খ) 5+55+555+….
সমাধানঃ
5+55+555+….+n তম পদ
=5(1+11+111+….+ n তম পদ)
=5/9.(9+99+999+….+n
তম পদ)
=5/9.{(10-1)+(100-1)+(1000-1)+….+n
তম পদ}
=5/9.{(10+100+1000+….+n
তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=5/9.{(10+102+103+….+n
তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=5/9.{10(1+10+102+….+n
তম পদ)-n}
5 10n-1
=50/81(10n-1)-5n/9
১৩. x-এর উপর কী
শর্ত আরোপ করলে
1
1 1
অসীম ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত ধারাটি,
1
1 1
এখানে,
প্রথম পদ,
1
এবং সাধারণ অনুপাত,
r=
1 1
1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি | r | < 1 হয়,
অর্থাৎ,
1
বা, |x+1| > 1
তাহলে,
x+1 > 1 [অঋণাত্মক হলে]
বা, x > 0
এবং,
-(x+1) > 1 [ঋণাত্মক হলে]
বা, x+1 < -1
বা, x < -2
∴ নির্ণেয় শর্তঃ x < -2 অথবা x > 0
∴ অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
1
1
1 x+1
= 1/x
১৪. প্রদত্ত পোনঃপুনিক দশমিকগুলোকে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ
|
ক)
|
.. 0.27
|
খ)
|
.
. 2.305
|
গ)
|
. . 0.0123
|
ঘ)
|
. . 3.0403
|
|
সমাধানঃ |
|
|
ক) |
|
|
.. 0.27
|
=.2727272727……………
|
|
|
যা একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা |
ধারাটির ১ম পদ a=.27
এবং সাধারন অনুপাত r=.0027/.27 =
0.1 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.27
.27
27
3
|
সমাধানঃ |
|
|
খ) |
|
|
.
. 2.305
|
=2.305
305 305……………
|
|
|
=2+.305+.000305+.000000305+…… |
এখানে, .305+.000305+.000000305+……একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা
ধারাটির ১ম পদ a=.305
এবং সাধারন অনুপাত r=.000305/.305 =
.001 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.305
.305
305
|
∴
|
.
. 2.305
|
=
|
2
+
|
305 -----
999
|
|
|
|
=
|
305 2------
999 |
|
|
সমাধানঃ |
|
|
গ) |
|
|
. . 0.0123
|
=.0123
0123 0123……………
|
|
|
=.0123+.0000123+.0000000123+…… |
|
|
যা একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা |
ধারাটির ১ম পদ a=.0123
এবং সাধারন অনুপাত r=.0000123/.0123 =
.001 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.0123
.0123
123
41
|
সমাধানঃ |
|
|
ঘ) |
|
|
. . 3.0403
|
=3.0403403403……………
|
|
|
=3+.0403+.0000403+.0000000403+…… |
এখানে, .0403+.0000403+.0000000403+……একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা
ধারাটির ১ম পদ a=.0403
এবং সাধারন অনুপাত r=.0000403/.0403 =
.001 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.0403
.0403
403
|
∴
|
. . 3.0403
|
=
|
3
+
|
403 -----
9990
|
|
|
|
=
|
403 2-------
9990
|
|
১৫. a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা।
ক) ধারাটির সপ্তম পদ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ a=a
সাধারন অনুপাত r= ab/a=b
∴ ধারাটির সপ্তম পদ = ar7-1=a.b6=ab6
খ) a=1 এবং b=½ হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি থাকে তবে তা নির্ণয় কর।
সামাধানঃ
a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা
এখন, a=1 এবং b=½ হলে ধারাটি হয়
1+1.(½)+1(½)2+….
বা, 1+1/2+1/4+……
যার ১ম পদ a=1
সাধারণ অনুপাত r= ½ ÷ 1 = ½ < 1
ধারাটির সমষ্টি
∴ S∞
a
1
1
= 2
গ) a এর স্থলে 3, ab এর স্থলে 33 এবং ab2 এর স্থলে 333 বসালে যে ধারা পাওয়া যায় তার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা
এখন, a=3, ab=33 এবং ab2=333 হলে ধারাটি হয়
3+33+333+……..
তাহলে,
ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি
=3+33+333+….+n তম পদ
=3(1+11+111+….+ n তম পদ)
=3/9.(9+99+999+….+n
তম পদ)
=3/9.{(10-1)+(100-1)
+(1000-1)+….+n তম পদ}
=3/9.{(10+100+1000+….+n
তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=3/9.{(10+102+103+….+n
তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=3/9.{10(1+10+102+….+n
তম পদ)-n}
3 10n-1
=30/81(10n-1)-3n/9
=10/27(10n-1)-n/3
এই অনুশীলনীর পরবর্তী অংশঃ