দুই চলক বিশিষ্ট. দ্বিঘাত সমীকরণ. জোট সমাধান: SSC Higher Math BD-Chapter 5.4

Admin

27 June

দুই চলক বিশিষ্ট. দ্বিঘাত সমীকরণ. জোট সমাধান

সমাধান করঃ

১. (2x+3)(y-1)=14, (x-3)(y-2)=1

সমাধানঃ

(2x+3)(y-1)=14……(i)

(x-3)(y-2)=1……(ii)

(i) নং হতে,

(2x+3)(y-1)=14

বা, y-1=---------

2x+3

বা, y=---------+1

2x+3

14+2x+3

বা, y=------------

2x+3

2x+17

বা, y=------------…..(iii)

2x+3

2x+17

বা, y-2=------------ -2

2x+3

2x+17-4x-6

বা, y-2=-------------------

2x+3

11-2x

বা, y-2=-------------…..(iv)

2x+3

y-2 এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

11-2x

(x-3)(------------)=-1

2x+3

বা, (x-3)(11-2x)=-2x-3

বা, 11x-33-2x²+6x=-2x-3

বা, 11x-33-2x²+6x+2x+3=0

বা, -2x²+19x-30=0

বা, 2x²-19x+30=0

বা, 2x²-15x-4x+30=0

বা, x(2x-15)-2(2x-15)=0

বা, (x-2)(2x-15)=0

বা, 2x-15=0 অথবা, x-2=0

বা, 2x=15 বা, x=2

বা, x=¹⁵/₂

এখন, x=¹⁵/₂ (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

2(¹⁵/₂)+17

y=----------------

2(¹⁵/₂)+3

15+17

=-----------

15+3

=------

x=2 (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

2.2+17

y=--------------

2.2+3

4+17

=-----------

4+3

=------

∴ (x,y)=(¹⁵/₂,¹⁶/₉), (2,3)

২. (x-2)(y-1)=3, (x+2)(2y-5)=15

সমাধানঃ

(x-2)(y-1)=3……(i)

(x+2)(2y-5)=15…..(ii)

(i) হতে,

(x-2)(y-1)=3

বা, x-2=--------

y-1

বা, x=--------+2…..(iii)

y-1

বা, x+2=--------+2+2

y-1

বা, x+2=--------+4

y-1

3+4y-4

বা, x+2=------------

y-1

4y-1

বা, x+2=-----------

y-1

এখন, x+2 এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

(x+2)(2y-5)=15

4y-1

------✕(2y-5)=15

y-1

বা, (4y-1)(2y-5)=15(y-1)

বা, 8y²-2y-20y+5=15y-15

বা, 8y²-2y-20y+5-15y+15=0

বা, 8y²-37y+20=0

বা, 8y²-5y-32y+20=0

বা, y(8y-5)-4(8y-5)=0

বা, (y-4)(8y-5)=0

বা, (8y-5)=0 অথবা, y-4=0

বা, 8y=5 বা, y=4

বা, y=⁵/₈

y=⁵/₈সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

x=--------+2

⁵/₈-1

=---------+2

5-8

------

=---------+2

-3

------

3✕8

=---------+2

-3

=-8+2

=-6

y=4সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,

x=--------+2

4-1

=----+2

=1+2

∴ (x,y)=(3,4), (-6,⁵/₈)

৩. x²=7x+6y, y²=7y+6x

সমাধানঃ

x²=7x+6y……(i)

y²=7y+6x…..(ii)

এখন, (i) থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

x²-y²=7(x-y)-6(x-y)

বা, x²-y²=x-y

বা, (x-y)(x+y)-(x-y)=0

বা, (x-y)(x+y-1)=0

বা, x+y-1=0 অথবা, x-y=0

বা, x=1-y..(iii) বা, x=y…..(iv)

এখন,

x=1-y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

(1-y)²=7(1-y)+6y

বা, 1²+y²-2.1.y=7-7y+6y

বা, 1+y²-2y=7-y

বা, 1+y²-2y-7+y=0

বা, y²-y-6=0

বা, y²-3y+2y-6=0

বা, y(y-3)+2(y-3)=0

বা, (y-3)(y+2)=0

বা, y-3=0 অথবা, y+2=0

বা, y=3 বা, y=-2

(iii) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,

y=3 এর জন্য x=1-3=-2

y=-2 এর জন্য x=1-(-2)=1+2=3

আবার, x=y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

y²=7y+6y

বা, y²=13y

বা, y²-13y=0

বা, y(y-13)=0

বা, y-13=0 অথবা, y=0

বা, y=13

(iv) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,

y=13 এর জন্য x=13

y=0 এর জন্য x=0

∴ (x,y)=(0,0), (13,13), (3,-2), (-2,3)

৪. x²=3x+2y, y²=3y+2x

সমাধানঃ

x²=3x+2y…….(i)

y²=3y+2x…….(ii)

(i)-(ii) করে পাই,

x²-y²=x-y

বা, (x-y)(x+y)=x-y

বা, (x-y)(x+y)-(x-y)=0

বা, (x-y)(x+y-1)=0

বা, x+y-1=0 অথবা, x-y=0

বা, x=1-y বা, x=y

এখন, x=1-y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

(1-y)²=3(1-y)+2y

বা, 1+y²-2y=3-3y+2y

বা, 1+y²-2y=3-y

বা, 1+y²-2y-3+y=0

বা, y²-y-2=0

বা, y²-2y+y-2=0

বা, y(y-2)+1(y-2)=0

বা, (y+1)(y-2)=0

বা, y+1=0 অথবা, y-2=0

বা, y=-1 বা, y=2

এখন, x=1-y বলে

y=-1 এর জন্য x=1-(-1)=1+1=2

y=2 এর জন্য x=1-2=-1

আবার, x=y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

y²=3y+2y

বা, y²=5y

বা, y²-5y=0

বা, y(y-5)=0

বা, y-5=0 অথবা, y=0

বা, y=5

এখন, x=y বলে

y=5 এর জন্য x=5

y=0 এর জন্য x=0

∴ (x,y)=(0,0), (5,5), (2,-1), (-1,2)

৫. x+(⁴/_y)=1, y+(⁴/_x)=25

সমাধানঃ

x+⁴/_y=1…….(i)

y+⁴/_x=25…….(ii)

(i) হতে পাই,

xy+4=y…..(iii) [y দ্বারা গুণ করে]

(ii) হতে পাই,

xy+4=25x…..(iv) [x দ্বারা গুণ করে]

(iii)-(iv) করে পাই,

0=y-25x

বা, y=25x

y এর মান (ii). নং এ বসিয়ে পাই,

25x+⁴/_x=25

বা, 25x²+4=25x [x দ্বারা গুণ করে]

বা, 25x²-25x+4=0

বা, 25x²-20x-5x+4=0

বা, 5x(5x-4)-1(5x-4)=0

বা, (5x-1)(5x-4)=0

বা, 5x-1=0 অথবা, 5x-4=0

বা, 5x=1 বা, 5x=4

বা, x=¹/₅ বা, x=⁴/₅

এখন, y=25x বলে,

x=¹/₅ এর জন্য y=25✕¹/₅=5

x=⁴/₅ এর জন্য y=25✕⁴/₅=20

∴ (x,y)=(¹/₅,5), (⁴/₅, 20)

৬. y+3=⁴/_x, x-4=⁵/_3y

সমাধানঃ

y+3=⁴/_x……(i)

x-4=⁵/_3y……(ii)

(i) নং হতে,

y=⁴/_x-3

(ii) নং হতে,

x-4=⁵/_3y

বা, 3xy-12y=5…(iii)

(iii) নং এ y=⁴/_x-3 বসিয়ে

3x(⁴/_x-3)-12(⁴/_x-3)=5

বা, 12-9x-⁴⁸/_x+36=5

বা, 12x-9x²-48+36x=5x [x দ্বারা গুণ করে]

বা, 12x-9x²-48+36x-5x=0

বা, -9x²+43x-48=0

বা, 9x²-43x+48=0

বা, 9x²-27x-16x+48=0

বা, 9x(x-3)-16(x-3)=0

বা, (9x-16)(x-3)=0

বা, 9x-16=0 অথবা, x-3=0

বা, 9x=16 বা, x=3

বা, x=¹⁶/₉

এখন,

x এর মানের জন্য y=⁴/_x-3 এর মান নির্ণয় করিঃ

x=¹⁶/₉ এর জন্য

y=------- - 3

¹⁶/₉

4✕9

= -------- - 3

=⁹/₄-3

9-12

=--------

=-³/₄

এবং x=3 এর জন্য

y=----- - 3

4-9

=-------

=-⁵/₃

∴ (x,y)=(¹⁶/₉,-³/₄), (3,-⁵/₃)

৭. xy-x²=1, y²-xy=2

সমাধানঃ

xy-x²=1…..(i)

y²-xy=2……(ii)

(i) নং হতে পাই, x(y-x)=1……(iii)

(ii) নং হতে পাই, y(y-x)=2……(iv)

(iii) ÷ (iv) করে পাই,

x(y-x)

--------- = ½

y(y-x)

বা, y(y-x)=2x(y-x)

বা, 2x(y-x)-y(y-x)=0

বা, (y-x)(2x-y)=0

বা, (2x-y)=0 অথবা, y-x=0

বা, 2x=y বা, y=x

বা, y=2x

এখন y=2x, (i). নং এ বসিয়ে পাই,

x.2x-x²=1

বা, 2x²-x²=1

বা, x²=1

বা, x=±1

তাহলে, y=2x=2.(±1)=±2

আবার, y=x, (i). নং এ বসিয়ে পাই,

x.x-x²=1

বা, x²-x²=1

বা, 0=1 [অসম্ভব]

∴ (x,y)=( ±1, ±2)

৮. x²-xy=14, y²+xy=60

সমাধানঃ

x²-xy=14…….(i)

y²+xy=60……(ii)

(i) নং হতে পাই,

-xy=14-x²

বা, xy=x²-14

x²-14

বা, y=--------

বা, y= x-¹⁴/_x…….(iii)

(ii) নং এ y= x-¹⁴/_x বসিয়ে পাই,

(x-¹⁴/_x)²+x(x-¹⁴/_x)=60

বা, x²+(¹⁴/_x)²-2.x.¹⁴/_x+x²-14=60

বা, x²+¹⁹⁶/_x²-28-x²-14-60=0

বা, 2x²+¹⁹⁶/_x²-102=0

বা, 2x⁴+196-102x²[x² দ্বারা গুণ করে]

বা, 2x⁴-102x²+196

বা, 2(x⁴-51x²+98)=0

বা, x⁴-51x²+98=0

বা, x⁴-49x²-2x²+98=0

বা, x²(x²-49)-2(x²-49)=0

বা, (x²-2)(x²-49)=0

বা, (x²-49=0 অথবা, x²-2=0

বা, x²=49 বা, x²=2

বা, x=±7 বা, x=±√2

x এর বিভিন্ন মানের জন্য y= x-¹⁴/_x নির্ণয় করিঃ

x=7 এর জন্য y=7-¹⁴/₇=7-2=5

x=-7 এর জন্য y=-7-¹⁴/_-7=-7+2=-5

x=√2 এর জন্য

y=√2 -¹⁴/_√₂

বা, √2y=2-14 [√2 দ্বরা গুণ করে]

বা, √2y=-12

বা, y=-¹²/_√₂

-12.√2

=-------------

√2.√2

-12.√2

=-------------

=-6√2

x=-√2 এর জন্য

y=-√2-¹⁴/_-_√₂

বা, -√2y=2-14 [-√2 দ্বারা গুণ করে]

বা, -√2y=-12

বা, √2y=12

বা, √2.√2y=12.√2 [√2 দ্বারা ঘুন করে]

বা, 2y=12.√2

বা, y=6√2 [2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ (x,y)=(7,5), (-7,-5), (√2,-6√2), (-√2,6√2)

৯. x²+y²=25, xy=12

সমাধানঃ

x²+y²=25…….(i)

xy=12……(ii)

(ii) নং হতে পাই,

y=¹²/_x…..(iii)

y এর মান (i). নং এ বসিয়ে পাই,

x²+(¹²/_x)²=25

বা, x²+¹⁴⁴/_x²=25

x⁴+144

বা, -------------=25

x²

বা, x⁴+144=25x²

বা, x⁴-25x²+144=0

বা, x⁴-16x²-9x²+144

বা, x²(x²-16)-9(x²-16)=0

বা, (x²-9)(x²-16)

বা, x²-9=0 অথবা, x²-16=0

বা, x²=9 বা, x²=16

বা, x=±3 বা, x=±4

এখন, x=3,-3,4,-3 বসিয়ে y=¹²/_x নির্ণয় করিঃ

x=3 হলে y=¹²/₃=4

x=-3 হলে y=¹²/_-3=-4

x=4 হলে y=¹²/₄=3

x=-4 হলে y=¹²/_-4=-3

∴ (x,y)=(3,4), (-3,-4), (4,3), (-4,-3)

১০.

x+y x-y 10

-----+------+----,

x-y x+y 3

x²-y²=3

সমাধানঃ

x+y x-y 10

-----+------+----…..(i)

x-y x+y 3

x²-y²=3……(ii)

(i) নং হতে পাই,

(x+y)²+(x-y)² 10

-----------------=----

(x-y)(x+y) 3

2(x²+y²) 10

বা, -------------=----

x²-y² 3

বা, 3.2.(x²+y²)=10(x²-y²)

বা, 3.2.(x²+y²)=10.3 [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, x²+y²=5……(iii) [6 দ্বারা ভাগ করে]

(ii)+(iii) করে পাই,

2x²=8

বা, x²=4

বা, x=±2

(ii)-(iii) করে পাই,

-2y²=-2

বা, 2y²=2

বা, y²=1

বা, y=±1

∴ (x,y)=( ±2, ±1)

১১. x²+xy+y²=3, x²-xy+y²=7

সমাধানঃ

x²+xy+y²=3……(i)

x²-xy+y²=7…….(ii)

(i)-(ii) করে পাই,

2xy=-4

বা, xy=-2

বা, y=-²/_x…….(iii)

(i) নং এ y=-²/_x বসিয়ে পাই,

x²+x(-²/_x)+(-²/_x)²=3

বা, x²-2+⁴/_x²=3

বা, x⁴-2x²+4=3x² [x² দ্বারা গুণ করে]

বা, x⁴-2x²-3x²+4=0

বা, x⁴-5x²+4=0

বা, x⁴-4x²-x²+4=0

বা, x²(x²-4)-1(x²-4)=0

বা, (x²-1)(x²-4)=0

বা, x²-1=0 অথবা, x²-4=0

বা, x²=1 বা, x²=4

বা, x=±1 বা, x=±2

x এর বিভিন্ন মানের জন্য y=-²/_xনির্ণয় করিঃ

x=1 হলে y=-²/₁=-1

x=-1 হলে y=-²/_-1=1

x=2 হলে y=-²/₂=-1

x=-2 হলে y=-²/_-2=1

∴ (x,y)=(1,-1), (-1,1), (2,1), (-2,1)

১২. 2x²+3xy+y²=20, 5x²+4y²=41

সমাধানঃ

2x²+3xy+y²=20……(i)

5x²+4y²=41……(ii)

(i) নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

2x²+3xy+y²

----------------= ²⁰/₄₁

5x²+4y²

বা, 82x²+123xy+41y²=100x²+80y²

বা, 82x²+123xy+41y²-100x²-80y²=0

বা, -18x²+123xy-39y²=0

বা, 18x²-123xy+39y²=0

বা, 6x²-41xy+13y²=0

বা, 6x²-39xy-2xy+13y²=0

বা, 3x(2x-13y)-y(2x-13y)=0

বা, (2x-13y)(3x-y)=0

বা, 2x-13y=0 অথবা, 3x-y=0

বা, 2x=13y বা, y=3x……..(iv)

বা, y=^2x/₁₃……(iii)

এখন, y=^2x/₁₃ সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

5x²+4(^2x/₁₃)²=41

বা, 5x²+4.(4x²/₁₆₉)=41

বা, 845x²+16x²=6929 [169 দ্বারা গুণ করে]

বা, 861x²=6929

বা, 21x²=169 [41 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x²=¹⁶⁹/₂₁

বা, x=±√(¹⁶⁹/₂₁)=±¹³/_√21=±^13√21/₂₁=±¹³/_√21

(iii) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

যখন, x=¹³/_√21

তখন,

2.-------

√21

-------

2.13

=-----------

√21.13

=-------

√21

যখন, x=-¹³/_√21

তখন,

-13

2.-------

√21

-------

-2.13

=-----------

√21.13

-2

=-------

√21

আবার, (ii) নং এ y=3x বসিয়ে পাই,

5x²+4(3x)²=41

বা, 5x²+4.9x²=41

বা, 5x²+36x²=41

বা, 41x²=41

বা, x²=⁴¹/₄₁

বা, x²=1

বা, x=±1

(iv) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

যখন x=1 তখন y=3.1=3

যখন x=-1 তখন y=3(-1)=-3

∴ (x,y)=(¹³/_√21,²/_√21), (-¹³/_√21,-²/_√21), (1,3), (-1,-3)

-:The End:-Stay with us.