দ্বিঘাত সহসমীকরণের ব্যবহার: SSC Higher Math BD-Chapter 5.5

দ্বিঘাত সহসমীকরণের ব্যবহার

১. দুইটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 481 বর্গমিটার। ঐ দুইটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 240 বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্র দুইটির প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ কত?

সমাধানঃ

ধরি, বৃহত্তর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য= x বর্গ মিটার

এবং ক্ষুদ্রতর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য= y বর্গ মিটার।

∴x>y

প্রশ্নমতে,

x²+y²=481……(i)

xy=240………(ii)

এখন,

x²+y²=481

বা,  (x+y)²-2xy=481

বা,  (x+y)²-2.240=481

বা,  (x+y)²-480=481

বা,  (x+y)²=481+480

বা,  (x+y)²=961

বা,  (x+y)²=(31)²

বা,  x+y=31……(iii)

আবার,

x²+y²=481

বা,  (x-y)²+2xy=481

বা,  (x-y)²+2.240=481

বা,  (x-y)²+480=481

বা,  (x-y)²=481-480

বা,  (x-y)²=1

বা,  x-y=1……(iv)

(iii)+(iv) করে পাই,

2x=32

বা,  x=³²/₂

বা,  x=16

(iii)-(iv) করে পাই,

2y=30

বা,  y=³⁰/₂

বা,  y=15

∴ বৃহত্তর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 16 বর্গ মিটার

এবং ক্ষুদ্রতর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 15 বর্গ মিটার।

২. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 250। সংখ্যা দুইটির গুণফল 117, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, দুইটি ধনাত্মক বড় সংখ্যা a ও ছোট সংখ্যা b

প্রশমতে,

a²+b²=250………………(i)

ab=117…………………(ii)

এখন,

a²+b²=250

বা,  (a+b)²-2ab=250

বা,  (a+b)²-2.117=250  [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]

বা,  (a+b)²-234=250

বা,  (a+b)²=250+234

বা,  (a+b)²=484

বা,  (a+b)²=(22)²

বা,  a+b=22…………(iii)

[দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল ঋণাত্মক হয় না]

আবার,

a²+b²=250

বা,  (a-b)²+2ab=250

বা,  (a-b)²=250-2ab

বা,  (a-b)²=250-2.117 [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]

বা,  (a-b)²=250-234

বা,  (a-b)²=16

বা,  (a-b)²=4²

বা,  a-b=4……..(iv)  [a>b]

এখন, (i)+(ii) করে পাই,

2a=26

বা,  a=²⁶/₂

বা,  a=13

আবার, (i)-(ii) করে পাই,

2b=18

বা,  b=¹⁸/₂

বা,  b=9

∴ সংখ্যাদ্বয়ঃ 13 ও 9

৩. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মিটার। ইহার বাহুদ্বয়ের যোগফল ও বিয়োগফলের সমান দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট বাহুদ্বয় দ্বারা অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 28 বর্গমিটার হলে, প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

১ম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার

এখন, আয়তক্ষেত্রের বাহুদ্বয়ের যোগফল=(x+y) মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রের বাহুদ্বয়ের বিয়োগফল=(x-y) মিটার

কর্ণের দৈর্ঘ্য=√(x²+y²) মিটার

১ম শর্তানুসারে,

√(x²+y²)=10

বা,  x²+y²=100……….(i) [বর্গ করে]

২য় শর্তানুসারে,

(x+y)(x-y)=28

বা,  x²-y²=28………….(ii)

এখন, (i)+(ii) করে পাই,

2x²=128

বা,  x²=¹²⁸/₂

বা,  x²=64

বা,  x²=8²

বা,  x=8  [দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না]

আবার, (i)–(ii) করে পাই,

2y²=100-28

বা,  2y²=72

বা,  y²=⁷²/₂

বা,  y²=36

বা,  y²=6²

বা,  y=6   [প্রস্থ ঋণাত্মক হয় না]

∴ ১ম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 8 মিটার এবং প্রস্থ 6 মিটার

৪. দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 181 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 90, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, বড় সংখ্যাটি x. এবং ছোট সংখ্যাটি y.

∴ x>y তবে সংখ্যা দুইটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে।

প্রশ্নানুসারে,

x²+y²=181………(i)

এবং xy=90…………..(ii)

এখন,

x²+y²=181

বা,  (x+y)²-2xy=181

বা,  (x+y)²-2.90=181

বা,  (x+y)²-180=181

বা,  (x+y)²=181+180

বা,  (x+y)²=361

বা,  x+y=√361

বা,  x+y=±19……….(iii)

আবার,

x²+y²=181

বা,  (x-y)²+2xy=181

বা,  (x-y)²+2.90=181

বা,  (x-y)²+180=181

বা,  (x-y)²=181-180

বা,  (x-y)²=1

বা,  x-y=1……….(iv)

[যেহেতু x>y সেহেতু x-y>0; অর্থাৎ x-y=1, x-y≠-1]

এখন, (iii) ও (iv) নং কে গুণ করে পাই,

(x+y)(x-y)= ±19✕1

বা,  x²-y²=±19

কিন্তু, x>y বলে x²-y² ঋণাত্মক গ্রহণযোগ্য নয়।

তাহলে, x²-y²=19

অতএব, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর 19

৫. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 24 বর্গমিটার। অপর একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ অপেক্ষা যথাক্রমে4 মিটার এবং 1 মিটার বেশি এবং ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার। প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার

∴ দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=(x+4) মিটার

এবং প্রস্থ =(y+1) মিটার

প্রশ্নানুসারে,

xy=24…………(i)

এবং, (x+4)(y+1)=50…………(ii)

(ii) নং থেকে পাই,

xy+4y+x+4=50

বা,  24+4y+x+4=50 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

বা,  x+4y+28=50

বা,  x+4y=50-28

বা,  x+4y=22

বা,  x=22-4y……..(iii)

x=22-4y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

(22-4y)y=24

বা,  22y-4y²=24

বা,  -4y²+22y-24=0

বা,  4y²-22y+24=0

বা,  2y²-11y+12=0 [2 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  2y²-8y-3y+12=0

বা,  2y(y-4)-3(y-4)=0

বা,  (2y-3)(y-4)=0

বা,  2y-3=0     অথবা, y-4=0

বা,  2y=3        বা,  y=4

বা,  y=³/₂     

এখন, (iii) নং হতে

x=22-4y

  =22-4.(³/₂)  [y=³/₂ ধরে]

  =22-6

  =16

আবার,

x=22-4y

  =22-4.4

  =22-16 [y=4 ধরে]

  =6

∴ প্রথম আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 6 মিটার ও প্রস্থ 4মিটার অথবা দৈর্ঘ্য মিটার 16 ও প্রস্থ ³/₂ মিটার।

৬. একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 23 মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 600 বর্গমিটার হলে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=x মিটার এবং প্রস্থ=y মিটার

প্রশ্ন মতে,

xy=600……….(i)

2y=x+23…………(ii)

(ii) নং হতে পাই,

x=2y-23………..(iii)

x=2y-23 (i) নং এ বসিয়ে পাই,

(2y-23)y=600

বা,  2y²-23y=600

বা,  2y²-23y-600=0

বা,  2y²-48y+25y-600=0

বা,  2y(y-24)+25(y-24)=0

বা,  (2y+25)(y-24)=0

বা,  2y+25=0         অথবা, y-24=0

বা,  2y=-25            বা,  y=24

[দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]

y=24 (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x=2.24-23

  =48-23

  =25

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 25 মিটার এবং প্রস্থ 25 মিটার

৭. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অপেক্ষা 8 মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার

∴x>y

আমরা জানি,

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য=√(x²+y²)

তাহলে, আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি=2√(x²+y²) মিটার

আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা=2(x+y) মিটার

প্রশ্নমতে,

xy=48…………(i)

2(x+y)=2√(x²+y²)+8…….(ii)

এখন,

2(x+y)=2√(x²+y²)+8

বা,  (x+y)= √(x²+y²)+4   [2 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  x+y-4=√(x²+y²)

বা,  (x+y-4)²=x²+y²  [বর্গ করে]

বা,  x²+y²+(-4)²+2xy+2y(-4)+2(-4)x=x²+y²

বা,  x²+y²+16+2xy-8y-8x-x²-y²=0

বা,  16+2xy-8x-8y=0

বা,  16+2.48-8x-8y=0 [xy=48]

বা,  16+96-8x-8y=0

বা,  112-8x-8y=0

বা,  8(x+y)=112

বা,  x+y=¹¹²/₈

বা,  x+y=14

বা,  x=14-y…………(iii)

x=14-y (i) নং এ বসিয়ে পাই,

(14-y)y=48

বা,  14y-y²=48

বা,  -y²+14y-48=0

বা,  y²-14y+48=0

বা,  y²-8y-6y+48=0

বা,  y(y-8)-6(y-8)=0

বা,  (y-6)(y-8)=0

বা,  y-6=0       অথবা, y-8=0

বা,  y=6          বা,  y=8

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

y=6 হলে x=14-6=8

y=8 হলে x=14-8=6

এখন, যেহেতু x>y সেহেতু x=6 গ্রহনযোগ্য নয়।

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 8 মিটার ও প্রস্থ 6 মিটার

৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে এর অঙ্কদ্বয়ের গুণফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল 2 হয়। সংখ্যাটির সাথে 27 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক=x

এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক=y

∴ সংখ্যাটি 10y+x

অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময়ে সৃষ্ট সংখ্যা=10x+y

প্রশ্নমতে,

10y+x

---------- = 2 …..(i)

   xy

(10y+x)+27=10x+y……(ii)

(ii) নং হতে পাই,

10y+x+27-10x-y=0

বা,  9y-9x+27=0

বা,  9(y-x+3)=0

বা,  y-x+3=0

বা,  y=x-3………(iii)

(i) নং এ y=x-3 বসিয়ে পাই,

10(x-3)+x

-------------- = 2

   x(x-3)

বা,  10(x-3)+x=2x(x-3)

বা,  10x-30+x=2x²-6x

বা,  10x-30+x-2x²+6x=0

বা,  -2x²+17x-30=0

বা,  2x²-17x+30=0

বা,  2x²-12x-5x+30=0

বা,  2x(x-6)-5(x-6)=0

বা,  (2x-5)(x-6)=0

বা,  2x-5=0     অথবা, x-6=0

বা,  2x=5        বা,  x=6

বা,  x=⁵/₂

সংখ্যার স্থানীয় অঙ্ক ভগ্নাংশ হতে পারে না।

∴ x=6

(iii). নং সমীকরণে. x এর মান. বসিয়ে পাই,

y=6-3=3

∴ সংখ্যাটি=10y+x=10✕3+6=30+6=36   

৯. একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা 56 মিটার এবং কর্ণ 20 মিটার। ঐ বাগানের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধানঃ

ধরি, বাগানের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = xy বর্গ মিটার

এবং বাগানের পরিসীমা = 2(x+y) মিটার

প্রশ্নমতে,

2(x+y)=56

বা,  x+y=⁵⁶/₂

বা,  x+y=28…….(i)

আমরা জানি, আয়তাকার বাগানের,

(কর্ণের দৈর্ঘ্য)²=(দৈর্ঘ্য)²+(প্রস্থ)²

বা,  20²=x²+y²

বা,  x²+y²=400…….(ii)

এখন, x²+y²=400

বা,  (x+y)²-2xy=400

বা,  (28)²-2xy=400

বা,  784-2xy=400

বা,  -2xy=400-784

বা,  -2xy=-384

বা,  2xy=384

বা,  xy=³⁸⁴/₂

বা,  xy=192……..(iii)

∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল 192 বর্গ মিটার

ধরি, বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

প্রশ্নমতে,

a²=192

বা,  a²=64.3

বা,  a=√(64.3)

বা,  a=8√3

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 8√3 মিটার

১০. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার এবং এর অর্ধপরিসীমা একটি কর্ণ অপেক্ষা 10 মিটার বেশি। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার

∴ x>y

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=xy বর্গ মিটার

অর্ধ পরিসীমা

    2x+2y

= --------- মিটার

        2

=x+y মিটার

কর্ণ=√(x²+y²)

প্রশ্নমতে,

xy=300…….(i)

x+y=√(x²+y²)+10…..(ii)

এখন,

x+y=√(x²+y²)+10

বা,  x+y-10=√(x²+y²)

বা,  x²+y²+2xy+100-20x-20y=x²+y² [বর্গ করে]

বা,  x²+y²+2xy+100-20x-20y-x²-y²=0

বা,  2xy+100-20x-20y=0

বা,  2.300+100-20x-20y=0

বা,  600+100-20x-20y=0

বা,  700-20x-20y=0

বা,  -20x-20y=-700

বা,  20x+20y=700

বা,  20(x+y)=700

বা,  x+y=⁷⁰⁰/₂₀

বা,  x+y=35……….(iii)

আবার,

(x-y)²

=(x+y)²-4xy

=35²-4✕300

=1225-1200

=25

=5²

∴ x-y=5………..(iv) [x>y, ∴ x-y>0]

এখন, (iii)+(iv) করে পাই,

2x=40

বা,  x=⁴⁰/₂

বা,  x=20

আবার, (iii)-(iv) করে পাই,

2y=30

বা,  2y=30

বা,  y=³⁰/₂

বা,  y=15

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং প্রস্থ 15 মিটার

১১. দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহু x ও y দ্বারা আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 49। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বোচ্চ কত হতে পারে?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

১ম বর্গের বাহু x ও ২য় বর্গের বাহু y

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=x ও প্রস্থ=y

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=xy

প্রশ্নমতে,

xy=49

এখন, 49=1✕49=7✕7

অর্থাৎ, x ও y স্বাভাবিক সংখ্যা হলে,

যদি x=1 হয় তবে y=49 হবে

বা, যদি x=7 হয় তবে y=7 হবে

বা, যদি x=49 হয় তবে y=1 হবে

এখন,

বর্গ দুইটির ক্ষেত্রফলের সর্বোচ্চ সমষ্টি=x²+y²

এখন,

x²+y²=(x+y)²-2xy

বা,  x²+y²=(1+49)²-2.49

          =(50)²-98

          =2500-98

          =2402

∴অর্থাৎ, x ও y স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বোচ্চ 2402 হবে।

উল্লেখ্যঃ পাঠ্যবইয়ে উত্তর 98 দেওয়া আছে-সেক্ষেত্রে মান সর্বোচ্চ না হয়ে সর্বনিন্ম হবে।

তখন,

x²+y²=(x+y)²-2xy

বা,  x²+y²=(7+7)²-2.49 [x=y হলেই কেবলমাত্র x+y সর্বনিন্ম হয়]

          =(14)²-98

          =196-98

          =98

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সর্বনিন্ম 98 হবে।

ধন্যবাদ, আমাদের সাথে থাকুন। যেকোনো বিষয়ে কমেন্ট করুন আর আমাদের পরামর্শ দিন।