ফাংশন : SSC Higher Math BD-Chapter 1.2 (11-17) Part 2

ফাংশনঃ অন্বয় ও ফাংশন, অন্বয়ের ডোমেন, অন্বয়ের সদস্য, অন্বয়ের রেঞ্জ, ডোমেন, রেঞ্জ, বিপরীত অন্বয়, অন্বয়ের লেখচিত্র, মান নির্ণয়।

এই অনুশীলনীর পূর্বের অংশঃ

ফাংশন : SSC Higher Math-Chapter 1.2 (1-10) Part 1

১১. ক) f : R à R একটি ফাংশন যা f(x)=ax+b; a,b ∈ R দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক-এক এবং সার্বিক।

খ) f : [0,1]à[0,1]ফাংশনটি f(x)=√(1-x²) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক-এক এবং সার্বিক।

সমাধানঃ

(ক) দেওয়া আছে, f(x)=ax+b

ধরি, x₁, x₂ ∈ ডোম f

এখন, f(x₁)=f(x₂) এর জন্য f এক-এক ফাংশন হবে যদি এবং কেবল যদি x₁=x₂ হয়।

এখন, f(x₁)=ax₁+b এবং f(x₂)=ax₂+b

∴ f(x₁)=f(x₂)

বা, ax₁+b= ax₂+b

বা, ax₁=ax₂

বা, x₁=x₂

অতএব, প্রদত্ত ফাংশন এক-এক ফাংশন।

এখন ধরি, y=f(x)=ax+b

বা, y=ax+b

বা, ax=y-b

            y-b

বা, x=------------

              a

এখন, f(x)=ax+b

       y-b             y-b

∴ f(--------)=a.---------+b

         a                 a

            =y-b+b

            =y

            =f(x)

অতএব, ফাংশটি অনটু বা সার্বিক।

(খ) দেওয়া আছে, f(x)= √(1-x²)

তাহলে, f(a)= √(1-a²) এবং f(b)=√(1-b²)

যদি f(a)=f(b) হয়, তবে

√(1-a²)= √(1-b²)

বা, 1-a²=1-b²

বা, -a²=-b²

বা, a²=b²

বা, a=b

অতএব, ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

আবার ধরি, y=f(x)=√(1-x²)

বা, y²=1-x²

বা, x²=1-y²

বা, x=√(1-y²)

এখন, f(x)=√(1-x²)

f(√{1-y²})=√[1-{√(1-y²)}²]

          =√{1-(1-y²)}

          =√(1-1+y²)

          =√y²

          =y

          =f(x)

∴ ফাংশনটি সার্বিক বা অনটু।  

১২. ক) যদি f : RàR এবং g : RàR ফাংশনদ্বয় f(x)=x³+5 এবং g(x)=(x-5)^1/3 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে দেখাও যে, g=f^-1।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=x³+5 এবং g(x)=(x-5)^1/3

ধরি, y=f(x)=x³+5

বা, y=x³+5   এবং y=f(x)

বা, x³=y-5      বা, x=f^-1(y)…….(i)

বা, x=(y-5)^1/3……(ii)

(i) ও (ii) হতে,

f^-1(y)=(y-5)^1/3

বা, f^-1(x)=(x-5)^1/3

বা, f^-1(x)=g(x) [দেওয়া তথ্য হতে]

বা, g=f^-1 (দেখানো হলো)

খ) যদি f : RàR ফাংশনটি f(x)=5x-4 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে y=f^-1(x) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f : RàR ফাংশনটি f(x)=5x-4

ধরি, a=f(x)=5x-4

বা, a=5x-4   অথবা, a=f(x)

বা, 5x=a+4      বা, x=f^-1(a)…..(i)

           a+4

বা, x=---------- …..(ii)

             5

(i) ও (ii) হতে পাই,

              a+4

f^-1(a)= -------------

                5

                  x+4

বা, f^-1(x)=-------------

                    5

                    x+4

∴ y=f^-1(x)=---------

                      5

১৩. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।

ক) S={(x,y) : 2x-y+5=0}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

2x-y+5=0

বা, y=2x+5 থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	-1
y	5	7	3

∴ L={(0,5),(1,7),(-1,3),(2,9),(-2,1)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

খ) S={(x,y) : x+y=1}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x+y=1

বা, y=1-x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	-2
y	1	0	3

∴ L={(0,1),(1,0),(-2,3)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

গ) S={(x,y) : 3x+y=4}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

3x+y=4

বা, y=4-3x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	2
y	4	1	-2

∴ L={(0,4),(1,1),(2,-2)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

ঘ) S={(x,y) : x=-2}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x=-2 তে y যুক্ত কোনো প্পদ নেই। y এর মান যাই হোক না কেন x এর মান সর্বদাই -2. S অন্বয়ের লেখচিত্র হলো y অক্ষের সমান্তরাল রেখা যা মূলবিন্দু হতে 2 একক বামে অবস্থিত।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল রেখার ওপর অসংখ্য বিন্দু আছে। সুতরাং এটি একটি ফাংশন নয়।

১৪. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।

ক) S={(x,y) : x²+y²=25}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x²+y²=25

বা, (x-0)²+(y-0)²=5²

∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 5. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 5 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে। নিচে তা দেখানো হলো।

লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,5) ও (0,-5) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।

খ) S={(x,y) : x²+y=9}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x²+y²=9

বা, (x-0)²+(y-0)²=3²

∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 3. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 3 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে। নিচে তা দেখানো হলো।

লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,3) ও (0,-3) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।

১৫. দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

ক) F(x+1) এবং F(½)  এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

F(x+1)=2(x+1)-1

            =2x+2-1

            =2x+1

F(½)=2.(½)-1

            =1-1

            =0  

খ) F(x) ফাংশনটি এক.এক. কিনা তা যাচাই কর, যখন x,y∈R।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

∴ F(a)=2a-1 এবং F(b)=2b-1

এখন, F(a)=F(b) এর জন্য

2a-1=2b-1

বা, 2a=2b

বা, a=b

সুতরাং ফাংশনটি এক-এক।

গ) F(x)=y হলে x এর তিনটি পূর্ণ সাংখ্যিক মানের জন্য y এর মান নির্ণয় কর এবং y=2x-1 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

F(x)=y

বা, F(x)=2x-1=y  [y=2x-1]

বা, 2x=y+1

বা, x=½(y+1)

এখন, y=1 হলে, ½(1+1)= ½✕2=1     

y=3 হলে, ½(3+1)= ½✕4=2    

y=5 হলে, ½(5+1)= ½✕6=3

∴ x এর তিনটি মান 1,2,3

এখানে, ক্রমজোড় তিনটি (1,1), (2,3), (3,5)

এবং এই তিনটি বিন্দু দ্বারা অঙ্কিত লেখচিত্র নিন্মরূপঃ

১৬. f : RàR এবং g : RàR ফাংশন দুইটি যথাক্রমে f(x)=3x+3 এবং g(x)=(x-3)/3 দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক) g^-1(-3) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

           x-3

g(x)=-------------

              3

ধরি, y=g(x)

            x-3

বা, y=-------------

               3

বা, 3y=x-3

বা, x=3y+3……..(i)

আবার, y=g(x)

বা, x=g^-1(y)…….(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

g^-1(y)=3y+3

বা, g^-1(-3)=3.(-3)+3

            =-9+3

            =-6

খ) f(x) সার্বিক ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f : RàR এবং f(x)=3x+3

ধরি, y=f(x)

বা, y=3x+3

বা, 3x=y-3

             y-3

বা, x=-------------

               3

এখন, f(x)=3x+3

         y-3                y-3

∴ f (----------)=3.-----------+3

           3                   3

                        =y-3+3

                        =y

                        =f(x)

∴ ফাংশনটি সার্বিক।

গ) দেখাও যে, g=f^-1।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=3x+3

ধরি, y=f(x)

বা, y=3x+3

বা, 3x=y-3

           y-3

বা, x=--------- ….(i)

            3

এখন,

y=f(x)

বা, x=f^-1(y)……(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

            y-3

f^-1(y)=------------

              3

                  x-3

বা, f^-1(x)=----------....(iii)

                    3

আবার, দেওয়া আছে,

           x-3

g(x)=-------------……(iv)

              3

(iii) ও (iv) হতে পাই,

f^-1(x)=g(x)

বা, g=f^-1 (দেখানো হলো)

১৭. দেওয়া আছে, f(x)= √(x-4)

ক) f(x) এর ডোমেন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)= √(x-4)

x এর মান ডোমেন হলে f(x) এর মান হবে রেঞ্জ।

f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি এবং কেবল যদি

 x-4≥0 হয়

বা, x≥4 হয়।

সুতরাং ডোম f={x∈R : x≥4}

খ) f(x) এক-এক ফাংশন কিনা নির্ধারণ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=√(x-4)

∴ f(a)= √(a-4)  এবং f(b)= √(b-4)

এখন, f(a)=f(b) এর জন্য ফাংশনটি এক-এক হবে যদি এবং কেবল যদি a=b হয়।

এখন, f(a)=f(b) হলে,

√(a-4)= √(b-4)

বা, a-4=b-4 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, a=b

∴ ফাংশনটি এক-এক।

গ) f^-1(x) ফাংশন কিনা তা লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=√(x-4)

ধরি, y=f(x)

বা, x=f^-1(y)…….(i)

এবং y=f(x)=√(x-4)

বা, y=√(x-4)

বা, y²=x-4

বা, x-4=y²

বা, x=y²+4……(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

f^-1(y)=y²+4

বা, f^-1(x)=x²+4

x এর কয়েকটি মানের জন্য f^-1(x) এর মান নির্ণয় করি।

x	-1	0	1
f-1(x)	5	4	5

L={(-1,5),(0,4),(1,5)}

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর f^-1(x) এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন। 

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।