ত্রিভুজ ও বৃত্ত অঙ্কনঃ SSC Higher Math BD-Chapter 4 (1-12) Part 1
ত্রিভুজ ও বৃত্ত অঙ্কনঃ সম্পূরক কোণ, ব্যাসার্ধ, ত্রিভুজ ও বৃত্ত অঙ্কন।
১. ∠x = 600 হলে ∠x এর সম্পূরক কোণের অর্ধেকের মান কত?
ক) 300 খ) 600 গ) 1200 ঘ) 1800
উত্তরঃ খ
[ব্যাখ্যাঃ 600 এর সম্পূরক কোণ = 1200 – 600 = 1200; 1200 এর অর্ধেক = 600]
২. 3.5 সেমি, 4.5 সেমি এবং 5.5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে কেন্দ্রত্রয় দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা কত সেমি?
ক) 54 খ) 40.5 গ) 27 ঘ) 13
উত্তরঃ গ
[ব্যাখ্যাঃ
পরিসীমা=3.5+4.5+4.5+5.5+5.5+3.5=27 সেমি]
নিচের চিত্র হতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. ∠ADC এর মান কত?
ক) 300 খ) 450 গ) 600 ঘ) 750
উত্তরঃ খ
[ব্যাখ্যাঃ
AC2+AE2
=62+62
=36+36
=72
CE2
=(6√2)2
=36✕2
=72
AC2+AE2=CE2
যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্ত পূরণ করে।
∴ ∠CAE=900
তাহলে, ∠CAD=900
∴ ∠ACD+∠ADC=900
AC=AD বলে, ∠ACD=∠ADC
তাহলে, ∠ADC
= 900/2=450]
৪. △ADC ও △AEC এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ক) 2 : 1 খ) 1 : 1 গ) 1 : 2 ঘ) 1 : √2
উত্তরঃ খ
[ব্যাখ্যাঃ △ADC ও △AEC উভয়ই সমকোণী;
△ADC এর ক্ষেত্রফল=½✕AC✕AD=½✕6✕6=18
△AEC এর ক্ষেত্রফল=½✕AC✕AE=½✕6✕6=18
অনুপাত = 18 : 18 = 1 : 1 ]
৫. ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও তাদের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর দেওয়া আছে, ত্রিভুজতি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠A ও ∠B এবং কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রশ্মি AM এর A বিন্দুতে ∠A=∠MAD আঁকি।
(b) AD এর থেকে AE=d অংশ কেটে নিই।
(c) E বিন্দুতে ∠DEB=½(∠A+∠B) আঁকি যার EB রেখা AM কে B বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) B বিন্দুতে ∠EBC=∠DEB আঁকি যার BC রেখা AD কে C বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, △ABC-ই নির্ণের ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
△ABC-এ
∠CAB=∠A
∠ABC=∠ABE+∠EBC
=(∠CEB-∠CAB)+ ∠CEB
=2∠CEB-∠CAB
=2*½(∠A+∠B)- ∠A
=∠A+∠B-∠A
=∠B
এবং
AC-BC
=AE+EC-BC
=d+EC-BC
=d+BC-BC [∠EBC=∠DEB বলে EC=BC]
=d যা দুই বাহুর অন্তর।
তাহলে, △ABC-ই নির্ণের ত্রিভুজ।
৬. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন কোনদ্বয়ের অন্তর ও অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয়ের অন্তর ∠x ও অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা BM থেকে BC=a অংশ কেটে নিই।
(b) BC এর C বিন্দুতে ∠BCD=½∠x আঁকি।
(c) CD এর C বিন্দুতে CP
লম্ব আঁকি।
(d) B কে কেন্দ্র করে s এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা CP কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। B,Q যোগ করি।
(e) CP এর C বিন্দুতে ∠BQC এর সমান করে ∠QCA
আঁকি।
(f) CA রেখা BQ কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
চিত্রানুসারে,
BC=a=ভূমি।
AB+AC=AB+AQ [∠ACQ=∠AQC, অতএব, AC=AQ]
=BQ
=s
=ভূমি ভিন্ন অপর দুই বাহুর সমষ্টি।
∠ACB-∠ABC
=∠ACK+∠KCB-∠KBC
=(900-∠ACQ)+∠KCB-∠KBC [∠KCQ=900]
=(900-∠AQC)+∠KCB-∠KBC [∠ACQ=∠AQC]
={900-(900-∠AKC)}+∠KCB-∠KBC [∠KCQ=900 বলে ∠AQC=900-∠AKC]
=∠AKC+∠KCB-∠KBC
=∠KBC+∠KCB+∠KCB-∠KBC
=2∠KCB
=2✕½∠x
=∠x যা ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয়ের অন্তর।
তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
৭. ভূমি, শিরঃকোণ ও অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি ত্রিভুজের ভূমি a, শিরকোণ ∠x; অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি (1800-∠x) দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা BD এর উপর একটি বিন্দু A লই।
(b) A বিন্দুতে ∠BAE=∠x আঁকি।
(c) B কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি যা AE কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) B, C; B, C’ যোগ করি। তাহলে, △ABC বা △ABC’ –ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
△ABC-এ
BC=a=ভূমি।
∠BAC=∠x=শিরকোণ
তাহলে, ∠ABC+∠BCA=1800-∠x [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 1800 বলে]
আবার,
△ABC’-এ
BC’=a=ভূমি।
∠BAC’=∠x=শিরকোণ
তাহলে, ∠ABC’+∠BC’A=1800-∠x
∴ △ABC বা △ABC’ –ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
৮. ভূমি, শিরঃকোণ ও অপর কোণদ্বয়ের অন্তর দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, শিরকোণ ∠x এবং অপর কোণদ্বয়ের অন্তর ∠y দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা CX থেকে CB=a অংশ কেটে নিই।
(b) C বিন্দুতে CB এর উপর CY লম্ব আঁকি।
(c) C বিন্দুতে ∠YCD=½∠x আঁকি এবং ∠DCF=½∠y আঁকি।
(d) B বিন্দুতে ∠CBE=½∠y আঁকি।
(e) BE রেখা CA কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
(f) B বিন্দুতে ∠EBA=∠FEB আঁকি।
(g) BA রেখা CF কে A বিন্দুতে ছেদ করে; তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
∠CAB
=1800-(∠AEB+∠EBA)
=1800-(∠AEB+∠AEB) [অঙ্কনানুসারে, ∠AEB=∠EBA]
=1800-2∠AEB
=1800-2(∠ACB+∠CBE)
=1800-2{900-(½∠x+½∠y)+½∠y}
=1800-2(900-½∠x-½∠y+½∠y)
=1800-2(900-½∠x)
=1800-1800+∠x
=∠x যা শিরকোণ।
CB=a যা ভূমি।
∠ABC-∠ACB
=∠ABE+∠EBC-∠ACB
=∠AEB+∠EBC-∠ACB [অঙ্কনানুসারে, ∠AEB=∠EBA]
=∠ACB+∠EBC+∠ECB-∠ACB
=2∠EBC
=2.½.∠y
=∠y যা কোণদ্বয়ের অন্তর।
তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
৯. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি s দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BD=s অংশ কেটে নিই।
(b) D বিন্দুতে ∠BDG=450 আঁকি।
(c) B বিন্দুতে a এর সমান করে বৃত্তচাপ আঁকি যা DG কে A ও A’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) B,A; B,A’ যোগ করি।
(e) A ও A” বিন্দুতে ∠DAC=450 এবং ∠DA’C’=450 আঁকি।
(f) AC ও A’C’ রেখা BD কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, △ABC বা △A’BC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
△ABC-এ
AB=a যা অতিভুজ।
BC+AC
=BC+DC [∠CDA=∠DAC=450 বলে AC=DC]
=BD
=s যা দুই বাহুর সমষ্টি।
আবার,
∠CDA=∠DAC=450 বলে ∠DCA=900
∴ ACB=900 অর্থাৎ △ABC সমকোণী ত্রিভুজ।
তাহলে △ABC নির্ণেয় ত্রিভুজ।
একইভাবে, △A’BC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১০. ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ, উচ্চতা ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ ∠x, এর উচ্চতা h ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রশ্মি BD এর B বিন্দুতে ∠DBG=∠x আঁকি।
(b) BD এর B বিন্দুতে BF
লম্ব আঁকি।
(c) BF থেকে BE=h কেটে নিই।
(d) E বিন্দুতে BF এর উপর EA লম্ব আঁকি যা BG কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(e) A বিন্দু কে কেন্দ্র করে AP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি যা BD কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(f) A,C এবং A,C’ যোগ করি। তাহলে, △ABC বা △ABC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
AE।।BD; A হলো △ABC বা △ABC’ এর শীর্ষবিন্দু।
অতএব, BE=h যা △ABC বা △ABC’ এর উচ্চতা।
BA+AC’=BA+AP=BP=s যা দুই বাহুর সমষ্টি [AP=AC]
BA+AC=BA+AP=BP=s যা দুই বাহুর সমষ্টি [APP=AC’]
ABC=ABC’=x যা ভূমি সংলগ্ন কোণ।
∴ △ABC বা △ABC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১১. ক) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা EF এর E বিন্দুতে ∠FEN=450 আঁকি।
(b) NE কে B পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন EB=d হয়।
(c) B কেন্দ্র করে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা EF কে C বিন্দুতে ছেদ করে। B, C যোগ করি।
(d) C বিন্দুতে ∠ECA=450 আঁকি।
(e) CA রেখা BN কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
দুই বাহুর অন্তর
=AB-AC
=AE+EB-AC
=AE+EB-AE [∠AEC=∠ECA=450 বলে AE=AC]
=EB
=d
△AEC-এ
∠AEC=∠ECA=450
বা, ∠AEC+∠ECA=450+450=900
তাহলে, অপর কোণ ∠EAC=900
[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 1800]
অর্থাৎ, ∠BAC=900
তাহলে, ABC সমকোণী. ত্রিভুজ. আর এর অতিভুজ BC=a.
∴ △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
খ) একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় দেয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা l, m, n দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) l, m, n এর প্রত্যকটি মধমা কে সমান তিন ভাগে ভাগ করি।
সমান তিন ভাগে করার পদ্ধতিঃ
(i)
যেকোনো কোণ ∠clf আঁকি।
(ii)
যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে lf থেকে lx কেটে নিই।
(iii)
একই ব্যাসার্ধ নিয়ে xy ও yz কেটে নিই।
(iv)
z,c যোগ করি।
(v)
yc।।yb।।ya আঁকি যা lc কে a ও b বিন্দুতে ছেদ করে।
(vi)
তাহলে, l মধ্যমা la, ab, bc তে সমান তিন ভাগে বা l/3 এ বিভক্ত হলো।
(vii)
একইভাবে m, n কে সমান তিন ভাগে ভাগ করি।
(b) যেকোনো রেখা AM থেকে AP=l অংশ কেটে নিই।
(c) AP থেকে AX=(l/3) এবং XG=(l/3) কেটে নিই।
(d) X কে কেন্দ্র করে (n/3) এবং G কে কেন্দ্র করে (m/3) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি যারা পরস্পর R বিন্দুতে ছেদ করে।
(e) A, R যোগ করে N পর্যন্ত বর্ধিত করি।
(f) RN থেকে RB=AR কেটে নিই।
(g) BP যোগ করে O পর্যন্ত বর্ধিত করি।
(h) PO থেকে PC=BP কেটে নিই।
(i) A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
চিত্র হতে পাই,
AP=l (অঙ্কনানুসারে)
BP=PC (অঙ্কনানুসারে)
তাহলে, AP এর একটি মধ্যমা।
এখন G ভরকেন্দ্র হলে,
GR=m/3 (অঙ্কনানুসারে)
যেহেতু G ভরকেন্দ্র GR=m/3 (অঙ্কনানুসারে) সেহেতু GC=2m/3 হবে [মধ্যমাত্রয় তাদের ছেদবিন্দুতে বা ভরকেন্দ্রে পরস্পরকে 1
: 2 অনুপাতে বিভক্ত করে]
তাহলে, RC মধ্যমা আঁকলে তা m এর সমান হবে।
অর্থাৎ RC=m
একইভাবে B,G দিয়ে অঙ্কিত মধ্যমা=n হবে।
তাহলে,
△ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১২. এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা একটি নির্দিষ্ট সরলরেখাকে এর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে এবং অপর একটি বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্ত ও PQ একটি সরলরেখা দেওয়া আছে। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা PQ এর একটি বিন্দু A ও প্রদত্ত বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে PQ এর উপর OD লম্ব আঁকি।
(b) DO কে বর্ধিত করি যা বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
(c) E, A যোগ করি; EA প্রদত্ত বৃত্তের পরিধিকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) A বন্দুতে AM লম্ব আঁকি।
(e) OB কে বর্ধিত করি যা AM কে O’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(f) O’ কে কেন্দ্র করে O’A এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত আঁকি। তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমাণঃ
আমরা যেহেতু O’A এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করেছি সেহেতু ABC বৃত্তটি PQ এর A বিন্দু স্পর্শ করে যায়। এখন AO’=O’B হলে বৃত্তটি B বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।
এখন,
△OEB-এ
OE=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠OEB=∠EBO…….(i)
আবার,
∠EBO=∠O’BA ……(ii) [বিপ্রতীপ কোণ]
(i) ও (ii) হতে পাই,
∠OEB=∠O’BA…….(iii)
আবার,
PQ এর উপর DE ও AM লম্ব বলে DE।।AM এবং EA তাদের ছেদক বলে
∠OEB=∠O’AB……(iv)
(iii) ও (iv) হতে পাই
∠O’BA=∠O’AB
বা, O’B=O’A
অর্থাৎ বৃত্তটি B বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।
তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।
এই অনুশীলনীর বাকী অংশের লিঙ্কঃ
ত্রিভুজ ও বৃত্ত অঙ্কনঃ SSC Higher Math BD-Chapter 4 (13-18) Part 2