JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.১ চতুর্ভুজ (14-19) Part 2
চতুর্ভুজ
এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ
JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.১ চতুর্ভুজ (1-13) Part 1
১৪. দেওয়া
আছে, ABCD সামন্তরিকের AM ও CN, DB এর উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে, ANCM একটি সামন্তরিক।
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, ABCD সামন্তরিকের AM ও CN, DB এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, ANCM একটি সামন্তরিক।
প্রমাণঃ
△ADB এর
ক্ষেত্রফল= ½.BD.AM [AM=উচ্চতা; BD=ভূমি]
△BDC এর
ক্ষেত্রফল= ½.BD.CN [CN=উচ্চতা; BD=ভূমি]
এখন, △ADB
এর ক্ষেত্রফল=△BDC
এর ক্ষেত্রফল
[ সামন্তরিকের কর্ণ সামন্তরিককে সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে]
∴ ½.BD.AM=½.BD.CN
বা, AM=CN
এখন, AM ও
CN একই রেখা BD এর উপর লম্ব।
∴ AM।।CN
অর্থাৎ, AMCN এর বিপরীত
দুইটি বাহু সমান ও সমান্তরাল।
∴ AMCN
একটি সামন্তরিক (প্রমাণিত)
১৫. চিত্রে,
AB=CD এবং AB।।CD
ক. AB
ভুমিবিশিষ্ট দুইটি ত্রিভুজের নাম লেখ।
সমাধানঃ
AB ভুমিবিশিষ্ট দুইটি
ত্রিভুজের নামঃ
ABD ও ABC
খ. প্রমাণ
কর যে, AD ও BC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
দেওয়া আছে,
চিত্রে, AB=CD এবং AB।।CD। প্রমাণ করতে হবে যে, AD ও BC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
প্রমাণঃ
△ABD ও
△BDC
এর মধ্যে
AB=DC [শর্তানুসারে]
BD সাধারণ বাহু
∠CDB=∠ABD [AB।।DC
ও BD ছেদক বলে]
∴ △ABD≅△BDC
তাহলে,
AD=BC এবং ∠ADB=∠DBC
এখন, ∠ADB=∠DBC
ও BD তাদের ছেদক
∴ AD।।BC
সুতরাং, AD ও BC পরস্পর
সমান ও সমান্তরাল (প্রমাণিত)
গ. দেখাও
যে, OA=OC এবং OB=OD.
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
দেওয়া আছে,
চিত্রে, AB=CD এবং AB।।CD। দেখাতে হবে যে, OA=OC এবং OB=OD
প্রমাণঃ
△AOB ও
△DOC এ
AB=DC [শর্তানুসারে]
∠AOB=∠DOC
[বিপ্রতীপ কোণ]
∠DCO=∠OAB
[AB।।DC
ও
AC ছেদক বলে]
∴ △AOB ≅
△DOC
তাহলে, OA=OC এবং OB=OD (প্রমাণিত)।
১৬.
ABCD একটি সামন্তরিক। AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
ক) ∠BAD=700 হলে
∠ABC এর মান
নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি
সামন্তরিক। AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। ∠BAD=700 । ∠ABC
এর মান নির্ণয় করতে
হবে।
অঙ্কনঃ
AB কে M পর্যন্ত বর্ধিত
করি।
প্রমাণঃ
ABCD সামন্তরিক এর
AD।।BC [সামন্তরিক বলে]
∴ ∠BAD=∠MBC=700
কিন্তু,
∠ABC+∠MBC=1800
বা, ∠ABC+700=1800
বা, ∠ABC=1800-700
বা, ∠ABC=1100
খ)
AC=BD হলে, প্রমাণ কর যে, ABCD একটি আয়ত।
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি
সামন্তরিক। AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। AC=BD হলে, প্রমাণ করতে
হবে যে, ABCD একটি আয়ত।
প্রমাণঃ
△ABD
ও △ABC এর
মধ্যে
AC=BD [শর্তানুসারে]
AB সাধারণ বাহু
AD=BC [সামন্তরিকের
বিপরীত বাহু সামন]
∴ △ABD ≅ △ABC
তাহলে, ∠DAB=∠ABC
অনুরুপভাবে আমরা পাই,
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA
এখন চতুর্ভুজের চারটি
কোন সমান হবে যদি প্রত্যেক কোনের মান 900 হয়।
∴ ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=900
∴ ABCD
একটি আয়ত (প্রমাণিত)
গ) AB=AD হলে, প্রমাণ কর যে, AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত
করে।
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি
সামন্তরিক। AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। AB=AD
হলে, প্রমাণ করতে
হবে যে, AC ও BD
পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
প্রমাণঃ
△ABD এ
AD=AB
∴ ∠ADB=∠ABD …..(i)
△AOD ও
△AOB এ
AD=AB [শর্তানুসারে]
AO সাধারণ বাহু
∠ADO=∠ABO [(i) নং
হতে]
∴ △AOD ≅
△AOB
তাহলে,
OB=OD এবং ∠AOB=∠AOD
এখন, ∠AOB ও ∠AOD পরস্পর
সম্পূরক কোণ
∴ ∠AOB=∠AOD=900
একইভাবে তুলনা করে
পাই, AO=OC এবং O বিন্দুতে উৎপন্ন প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
∴ AC ও BD
পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে (প্রমাণিত)
১৭. ABCD
চতুর্ভুজে AC ও BD কর্ণদ্বয় অসমান এবং যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ক) চিত্রসহ
ঘুড়ির সংজ্ঞা দাও।
সমাধানঃ
ঘুড়ি হচ্ছে এমন একটি
চতুর্ভুজ যার দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু পরস্পর সমান।
চিত্রে ABCD একটি
ঘুড়ি। যেখানে সন্নিহিত বাহু AB=AD ও BC=DC.
খ) প্রমাণ
কর যে, AB=CD এবং AD=BC
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
ABCD চতুর্ভুজে
AC ও BD কর্ণদ্বয় অসমান এবং যেকোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে
হবে যে, AB=CD এবং AD=BC.
প্রমাণঃ
ABCD চতুর্ভুজে যেকোনো
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ ।
তাহলে, ∠DAB+∠ABC=1800
∴ AD।।BC
একইভাবে, AB।।DC
এখন,
△ABD ও
△BDC এ
∠ADB=∠DBC [AD।।BC;
BD তাদের ছেদক]
∠BDC=∠ABD
[AB।।DC;
BD তাদের ছেদক]
BD সাধারণ
বাহু।
∴ △ABD ≅
△BDC
তাহলে,
AD=BC ও AB=CD (প্রমাণিত)
গ) B ও
D বিন্দু হতে AC এর উপর BP এবং DQ লম্ব আঁকা হলে, প্রমাণ কর যে, BPDQ একটি সামন্তরিক।
সমাধানঃ
বিশেষ
নির্বচনঃ
ABCD চতুর্ভুজে B
ও D বিন্দু হতে AC এর উপর BP এবং DQ লম্ব আঁকি। প্রমাণ করতে হবে যে, BPDQ একটি সামন্তরিক।
প্রমাণঃ
△ADQ ও
△BPC এ
AD=BC [খ হতে]
∠DAQ=∠BCP
[AD।।BC;
AC তাদের ছেদক]
∠AQD=∠BPC=900
[অঙ্কনানুসারে]
∴ △ADQ ≅
△BPC
তাহলে,
DQ=BP
এখন, DQ ও BP
একই রেখা AC এর উপর লম্ব।
∴ DQ।।BP
এখন DQ=BP,
DQ।।BP
∴ BPDQ
একটি সামন্তরিক (প্রমাণিত)
১৮. একটি
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 10 সেমি, 8 সেমি, এবং 5 সেমি।
ঘনবস্তুর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর
দৈর্ঘ্য a=10 সেমি
‘’ প্রস্থ b=8 সেমি
‘’ উচ্চতা c=5 সেমি
আমরা জানি,
আয়তাকার সমগ্র পৃষ্টের
ক্ষেত্রফল
= 2(ab+bc+ca) বর্গ
একক
=2(10✕8+8✕5+5✕10) বর্গ সেমি
=2(80+40+50) বর্গ
সেমি
=2✕170 বর্গ সেমি
=340 বর্গ সেমি
১৯. একটি
ঘনকাকৃতি বাক্সের ধার 6.5 সেমি হলে, বাক্সটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ঘনকাকৃতি বাক্সের
ধার a= 6.5 সেমি
∴ বাক্সটির
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
=2(a✕a+a✕a+a✕a) [ঘনকের
দৈর্ঘ্য=প্রস্থ=উচ্চতা]
=2(a2+a2+a2)
=2✕3a2
=6a2
=6✕(6.5)2
=253.5 বর্গ সেমি।
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।