JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯ পিথাগোরাসের উপপাদ্য (1-11) Part 1

Admin

28 May

পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর মাধমে প্রমাণ

১. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC এর উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে, AB²+BC²+CA²=4AD²

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC এর উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে, AB²+BC²+CA²=4AD²

প্রমাণঃ

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ

অর্থাৎ, AB=BC=CA……(i)

AD, BC এর উপর লম্ব

তাহলে, BD=DC, বা, BD=DC= ½BC [সমবাহু ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

শর্তমতে, △ABD ও △ADC দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ।

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে △ABD হতে পাই,

AB²=AD²+BD²

বা, AB²-BD²=AD²

বা, AB²- (½BC)²=AD²

বা, AB²- ¼BC²=AD²

বা, BC²- ¼BC²=AD² [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

4BC²-BC²

বা, ------------- = AD²

বা, 4BC²-BC²=4AD²

বা, 3BC²=4AD²

বা, AB²+BC²+CA²=4AD²[(i) নং হতে মান বসিয়ে]

∴ AB²+BC²+CA²=4AD² (প্রমাণিত)

২. ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AB²+CD²=BC²+AD²

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের দুইটি কর্ণ AC ও BD পরস্পর লম্বভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে।প্রমাণ করতে হবে যে, AB²+CD²=BC²+AD².

প্রমাণঃ

AC ও BD পরস্পর লম্বভাবে O বিন্দুতে ছেদ

অতএব, ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90⁰

তাহলে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে △AOB হতে পাই,

AB²=AO²+BO²………….(i)

একইভাবে পাই,

CD²=DO²+CO²………….(ii)

AD²= AO²+DO²…………(iii)

BC²= BO²+CO²…………(iv)

(i)+(ii) করে,

AB²+CD²=AO²+BO²+DO²+CO²

=(AO²+DO²)+(BO²+CO²)

=AD²+BC² [(iii) ও (iv) হতে মান বসিয়ে]

∴ AB²+CD²=BC²+AD²(প্রমাণিত)

৩. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ এবং CD এর মধ্যমা। প্রমাণ কর যে, BC²=CD²+3AD²

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABC ত্রিভুজের ∠A=এক সমকোণ এবং CD এর মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, BC²=CD²+3AD²

প্রমাণঃ

∠A=এক সমকোণ

△ ABC-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BC²=AC²+AB²………(i)

একইভাবে, △ADC-এ

CD²=AD²+AC²

বা, AC²=CD²-AD²………(ii)

যেহেতু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশ মধ্যমা।

সেহেতু AD=BD, বা, AD=½AB, বা, AB=2AD……(iii)

এখন, (iii) ও (ii) হতে মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

BC²=CD²-AD²+(2AD)²

বা, BC² =CD²-AD²+4AD²

বা, BC² =CD²+3AD² (প্রমাণিত)

৪. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ কর যে, 5BC²=4(BP²+CQ²)

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, 5BC²=4(BP²+CQ²)

প্রমাণঃ

△ABC এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BC²=AB²+AC²……..(i)

△ABP-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BP²=AB²+AP²

বা, BP²=AB²+ (½AC)² [BP মধ্যমা বলে]

বা, BP²=AB²+ ¼AC²

বা, 4BP²=4AB²+AC² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(ii)

△ ACQ-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

CQ²=AC²+AQ²

বা, CQ²=AC²+ (½AB)² [CQ মধ্যমা বলে]

বা, CQ²=AC²+ ¼AB²

বা, 4CQ²=4AC²+AB² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(iii)

(ii)+(iii) করে পাই,

4BP²+4CQ²=4AB²+AC²+4AC²+AB²

বা, 4(BP²+CQ²)=5AB²+5AC²

বা, 4(BP²+CQ²)=5(AB²+AC)²

বা, 4(BP²+CQ²)=5BC² [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, 5BC²=4(BP²+CQ²) [প্রমাণিত]

৫. প্রমাণ কর যে, কোনো বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD একটি বর্গের একটি কর্ণ AC. প্রমাণ করতে হবে যে AC এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ABCD বর্গক্ষেত্ররের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ।

প্রমাণঃ

AC এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AC²

এবং ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²=AB²=BC²=CD²=AD²[বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এর দৈর্ঘ্য a ধরে]

এখন, ∠ADC=90⁰[বর্গের প্রত্যেক কোণ সমকোণ]

তাহলে, △ADC-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AD²+DC²

বা, AC²=a²+a²

বা, AC²=2a²

বা, AC এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=প্রদত্ত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (প্রমাণিত)

৬. চিত্রে OB=4 সেমি হলে BD এবং AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, BD=x

∴ DO=4-x

চিত্রে, △CBD ও △ADO-এ

∠CBD=∠AOD=90⁰

∠BDC=∠ADO [বিপ্রতীপ কোণ]

∴∠BCD=∠DAO

তাহলে, △CBD ও △ADO সদৃশ।

অতএব,

BC BD

----- = ------

AO DO

বা, BC.DO=AO.BD

বা, 5.(4-x)=3.x

বা, 20-5x=3x

বা, 20=3x+5x

বা, 8x=20

বা, x= 20/8

বা, x= 5/2

বা, BD=2.5 cm

∴ DO=4-2.5=1.5 cm

△CBD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

CD²=CB²+BD²

বা, CD² =5²+(2.5)²

বা, CD² =25+6.25

বা, CD²=31.25

বা, CD=5.590

△ADO -এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AD²=AO²+DO²

বা, AD²=3²+(1.5)²

বা, AD²=9+2.25

বা, AD²=11.25

বা, AD=3.35

∴ CD+AD=5.590+3.354=8.944

বা, AC=8.944 cm

∴ BD=2.5 cm

AC=8.944 cm

৭. প্রমাণ কর যে, কোনো বর্গক্ষেত্র এর কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। এর একটি কর্ণ AC. প্রমাণ করতে হবে যে, AB²=½AC²

প্রমাণঃ

△ABC-এ ∠B=এক সমকোণ [বর্গক্ষেত্রের সকল কোণ সমকোণ]

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AB²+BC²

বা, AC²=AB²+AB² [বর্গের সকল বাহু সমান]

বা, AC²=2AB²

বা, AB²= ½AC²[প্রমাণিত]

৮. ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC²+AD²=BD²+AC^2.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, BC²+AD²=BD²+AC^2.

প্রমাণঃ

△ABC -এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BC²=AB²+AC²

△ADB -এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AB²+AD²=BD²

বা, AD²=BD²-AB²

তাহলে,

BC²+AD²= AB²+AC²+ BD²-AB²

বা, BC²+AD²=BD²+AC² [প্রমাণিত]

৯. ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, DE²=CE²+BD².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, DE²=CE²+BD².

প্রমাণঃ

এখানে, AD=BD এবং AE=CE [D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু]

△ADE-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

DE²=AE²+AD²

বা, DE²=CE²+BD²[প্রমাণিত]

১০. △ABC এ BC এর উপর লম্ব AD এবং AB>AC. প্রমাণ কর যে, AB²-AC²=BD²-CD².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △ABC এ BC এর উপর লম্ব AD এবং AB>AC. প্রমাণ করতে হবে যে, AB²-AC²=BD²-CD².

প্রমাণঃ

△ABC এ BC এর উপর লম্ব AD

∴△ABD ও △ADC উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

△ABD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AB²=BD²+AD²…….(i)

△ADC-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AD²+DC²……(ii)

(i)-(ii) করে পাই,

AB²-AC²= BD²+AD²-(AD²+DC²)

বা, AB²-AC²= BD²+AD²-AD²-DC²

বা, AB²-AC²= BD²-DC²[প্রমাণিত]

১১. △ABC এ BC এর উপর AD লম্ব এবং AD এর উপর P যেকোনো বিন্দু ও AB>AC. প্রমাণ কর যে, PB²-PC²=AB²-AC².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △ABC এ BC এর উপর AD লম্ব এবং AD এর উপর P যেকোনো বিন্দু ও AB>AC. প্রমাণ করতে হবে যে, PB²-PC²=AB²-AC².

প্রমাণঃ

যেহেতু AD⊥BC সেহেতু △ABD, △ACD, △BPD, △CPD প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।

△ABD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AB²=BD²+AD²

△ACD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AD²+CD²

∴ AB²-AC²= BD²+AD²- AD²-CD²=BD²-CD²……(i)

△BPD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

PB²=PD²+BD²

△PCD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

PC²=PD²+CD²

PB²-PC²= PD²+BD²- PD²-CD²=BD²-CD²……(ii)

(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,

PB²-PC²=AB²-AC²[প্রমাণিত]

এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ

JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৯ পিথাগোরাসের উপপাদ্য (12-23) Part 2

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।