JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৬.১ সরল সহ-সমীকরণ (অপনয়ন পদ্ধতি) (13-26) Part 2
সরল সহ-সমীকরণ (অপনয়ন পদ্ধতি)
এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ
(খ) অপনয়ন পদ্ধতিতে
সমাধান কর (১৩-২৬):
১৩.
x-y=4
x+y=6
সমাধানঃ
x-y=4………(i)
x+y=6………..(ii)
বা, x=10/2
বা, x=5
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
5-y=4
বা, -y=4-5
বা, -y=-1
বা, y=1
∴ (x,y)=(5,1)
১৪.
2x+3y=7
6x-7y=5
সমাধানঃ
2x+3y=7………..(i)
6x-7y=5…………(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,
6x+9y=21………..(iii)
6x-7y=5…………(iv)
বা, y=16/16
বা, y=1
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2x+3.1=7
বা, 2x+3=7
বা, 2x=7-3
বা, 2x=4
বা, x=4/2
বা, x=2
∴ (x,y)=(2,1)
১৫.
4x+3y=15
5x+4y=19
সমাধানঃ
4x+3y=15………..(i)
5x+4y=19…………(ii)
(i) নং কে 4 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,
16x+12y=60
15x+12y=57
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
4.3+3y=15
বা, 12+3y=15
বা, 3y=15-12
বা, 3y=3
বা, y=3/3
বা, y=1
∴ (x,y)=(3,1)
১৬.
3x-2y=5
2x+3y=12
সমাধানঃ
3x-2y=5……………..(i)
2x+3y=12……………..(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
9x-6y=15
4x+6y=24
বা, x=39/13
বা, x=3
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
3.3-2y=5
বা, 9-2y=5
বা, -2y=5-9
বা, -2y=-4
বা, 2y=4
বা, y=4/2
বা, y=2
∴ (x,y)=(3,2)
১৭.
4x-3y=-1
3x-2y=0
সমাধানঃ
4x-3y=-1…………..(i)
3x-2y=0……………….(ii)
(i) নং কে 2 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,
8x-6y=-2
9x-6y=0
বা, x=2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
4.2-3y=-1
বা, 8-3y=-1
বা, -3y=-1-8
বা, -3y=-9
বা, 3y=9
বা, y=9/3
বা, y=3
∴ (x,y)=(2,3)
১৮.
3x-5y=-9
5x-3y=1
সমাধানঃ
3x-5y=-9……….(i)
5x-3y=1………..(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,
9x-15y=-27
25x-15y=5
বা, 16x=32
বা, x=32/16
বা, x=2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
3.2-5y=-9
বা, 6-5y=-9
বা, -5y=-9-6
বা, -5y=-15
বা, 5y=15
বা, y=15/5
বা, y=3
∴ (x,y)=(2,3)
|
১৯.
|
x -
2
|
+
|
y -
2
|
=
|
3
|
|
|
x -
2
|
-
|
y -
2
|
=
|
1
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
||
|
|
x -
2
|
+
|
y -
2
|
=
|
3
|
|
বা,
|
x+y -------
2
|
=
|
3
|
||
|
বা, |
x+y=6………….(i) |
||||
|
|
x -
2
|
-
|
y -
2
|
=
|
1
|
|
বা,
|
x-y --------
2
|
=
|
1
|
||
|
বা, |
x-y=2………....(ii) |
||||
|
(i)+(ii) করে পাই, |
|||||
|
2x=8 |
|||||
|
বা, x=8/2 |
|||||
|
বা, x=4 |
|||||
|
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, |
|||||
|
4+y=6 |
|||||
|
বা, y=6-4 |
|||||
|
বা, y=2 |
|||||
|
∴ (x,y)=(4,2) |
|||||
২০.
x+ay=b
ax-by=c
সমাধানঃ
x+ay=b………..(i)
ax-by=c………..(ii)
(i) নং কে a দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,
ax+a2y=ab
ax-by=c
বা, y(a2+b)=ab-c
ab-c
|
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, |
ab-c
x(a2+b)+a(ab-c)
বা, x(a2+b)+a(ab-c)=b(a2+b)
বা, x(a2+b)=
b(a2+b)- a(ab-c)
বা, x(a2+b)=
ba2+b2-a2b+ac
বা, x(a2+b)=
b2+ac
b2+ac
|
∴ (x,y)=
|
(
|
b2+ac ---------,
a2+b
|
ab-c ----------
a2+b
|
) |
|
২১.
|
x -
2
|
+
|
y -
3
|
=
|
3
|
|
|
|
|
x
|
-
|
y -
3
|
=
|
3
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
||
|
|
x -
2
|
+
|
y -
3
|
=
|
3
|
…..(i)
|
|
|
|
x
|
-
|
y -
3
|
=
|
3
|
…….(ii)
|
|
|
(i)+(ii) করে পাই, |
|||||||
|
|
x -
2
|
+
|
x
|
=
|
6
|
|
|
|
বা,
|
x+2x ---------
2
|
=
|
6
|
|
|
||
|
বা, |
x+2x=12 |
||||||
|
|
3x=12 |
||||||
|
|
x=12/3 |
||||||
|
|
x=4 |
||||||
|
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই |
|||||||
|
|
4 -
2
|
+
|
y -
3
|
=
|
3
|
|
|
|
বা,
|
12+2y ----------
6
|
=
|
3
|
|
|
||
|
বা, |
12+2y=18 |
||||||
|
বা, |
2y=18-12 |
||||||
|
বা, |
2y=6 |
||||||
|
বা, |
y=6/3 |
||||||
|
বা, |
y=3 |
||||||
|
∴ (x,y)=(4,3) | |||||||
|
২২.
|
x -
3
|
+
|
2 -
y
|
=
|
1
|
|
|
|
|
x -
4
|
-
|
3 -
y
|
=
|
3
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
||
|
|
x -
3
|
+
|
2 -
y
|
=
|
1
|
…..(i)
|
|
|
|
x -
4
|
-
|
3 -
y
|
=
|
3
|
……(ii)
|
|
|
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই, |
|||||||
|
|
x
|
+
|
6 -
y
|
=
|
3
|
|
|
|
|
x -
2
|
-
|
6 -
y
|
=
|
6
|
|
|
|
----------------------------------------------
|
|||||||
|
|
x
|
+
|
x -
2
|
=
|
9
|
[+ করে]
|
|
|
বা,
|
2x+x ---------
2
|
=
|
9
|
|
|
||
|
বা, |
2x+x=18 |
||||||
|
বা, |
3x=8 |
||||||
|
বা, |
x=6 |
||||||
|
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই |
|||||||
|
|
6 -
3
|
+
|
2 -
y
|
=
|
1
|
|
|
|
বা,
|
2
|
+
|
2 -
y
|
=
|
1
|
|
|
|
বা,
|
2 -
y
|
=
|
1
|
-
|
2
|
|
|
|
বা,
|
2 -
y
|
=
|
-1
|
|
|
|
|
|
বা, |
-y=2 |
||||||
|
বা, |
y=-2 |
||||||
|
∴ (x,y)=(6,-2) | |||||||
|
২৩.
|
x -
a
|
+
|
y -
b
|
=
|
2 -
a
|
+
|
1 -
b
|
|
|
|
|
x -
b
|
-
|
y -
a
|
=
|
2 -
b
|
-
|
1 -
a
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x -
a
|
+
|
y -
b
|
=
|
2 -
a
|
+
|
1 -
b
|
….(i)
|
|
|
|
x -
b
|
-
|
y -
a
|
=
|
2 -
b
|
-
|
1 -
a
|
…..(ii)
|
|
|
(i) নং কে b দ্বারা ও (ii) নং কে a দ্বারা গুণ করে পাই,
|
|||||||||
|
|
bx ---
a
|
+
|
y
|
=
|
2b ---
a
|
+
|
1
|
||
|
|
ax ---
b
|
-
|
y
|
=
|
2a ---
b
|
-
|
1
|
||
|
----------------------------------------------
|
|||||||||
|
|
bx ---
a
|
+
|
ax ---
b
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
=
|
2b ---
a
|
+
|
2a ---
b
|
||
|
|
|
|
|
|
[+ করে] |
||||
|
বা,
|
b2x+a2x -------------
ab
|
=
|
2b2+2a2 -------------
ab
|
||||||
|
বা, |
b2x+a2x=2b2+2a2 |
||||||||
|
বা, |
x(b2+a2)=2(b2+a2) |
||||||||
|
বা, |
x=2 |
||||||||
|
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই |
|||||||||
|
|
2 -
a
|
+
|
y -
b
|
=
|
2 -
a
|
+
|
1 -
b
|
|
|
|
বা,
|
y -
b
|
=
|
2 -
a
|
+
|
1 -
b
|
-
|
2 -
a
|
|
|
|
বা,
|
y -
b
|
=
|
1 -
b
|
|
|
|
|
|
|
|
বা, |
y |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∴ (x,y)=(2,1) | |||||||||
|
২৪.
|
a -
x
|
+
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
+
|
b -
3
|
|
|
|
|
a -
x
|
-
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
-
|
b -
3
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a -
x
|
+
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
+
|
b -
3
|
…..(i) |
|
|
|
a -
x
|
-
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
-
|
b -
3
|
……(ii) |
|
|
------------------------------------------------
|
|||||||||
|
|
a -
x
|
+
|
a -
x
|
=
|
a -
2
|
+
|
a -
2
|
[+ করে] |
|
|
বা,
|
a+a --------
x
|
=
|
a+a --------
2
|
|
|
||||
|
বা, |
x = 2 |
||||||||
|
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই |
|||||||||
|
বা,
|
a -
2
|
+
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
+
|
b -
3
|
|
|
|
বা,
|
b -
y
|
=
|
b -
3
|
|
|
|
|
|
|
|
বা, |
y |
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
∴ (x,y)=(2,3) | |||||||||
|
২৫.
|
x -
6
|
+
|
2 -
y
|
=
|
2
|
|
|
|
|
x -
4
|
-
|
1 -
y
|
=
|
1
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
||
|
|
x -
6
|
+
|
2 -
y
|
=
|
2
|
…..(i)
|
|
|
|
x -
4
|
-
|
1 -
y
|
=
|
1
|
……(ii)
|
|
|
(i) নং কে 1 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
|
|||||||
|
|
x -
6
|
+
|
2 -
y
|
=
|
2
|
|
|
|
|
x -
2
|
-
|
2 -
y
|
=
|
2
|
|
|
|
---------------------------------------
|
|||||||
|
|
x -
6
|
+
|
x -
2
|
=
|
4
|
[+ করে]
|
|
|
বা,
|
x+3x ---------
6
|
=
|
4
|
|
|
||
|
বা, |
4x
= 24 |
||||||
|
বা, |
x = 24/4 |
||||||
|
বা, |
x = 6 |
||||||
|
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই |
|||||||
|
|
x -
6
|
+
|
2 -
y
|
=
|
2
|
|
|
|
বা,
|
6 -
6
|
+
|
2 -
y
|
=
|
2
|
|
|
|
বা,
|
1
|
+
|
2 -
y
|
=
|
2
|
|
|
|
বা,
|
2 -
y
|
=
|
2
|
-
|
1
|
|
|
|
বা,
|
2 -
y
|
=
|
1
|
|
|
|
|
|
বা, |
y |
= |
2 |
|
|
|
|
২৬.
x+y=a-b
ax-by=a2+b2
সমাধানঃ
x+y=a-b………….(i)
ax-by=a2+b2………(ii)
(i) নং কে b দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,
bx+by=ab-b2
ax-by=a2+b2
বা, x(a+b)=ab+a2
বা, x(a+b)=a(b+a)
বা, x = a
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
a+y=a-b
বা, y=a-b-a
বা, y=-b
∴ (x,y)=(a,-b)
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।