JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৬.১ সরল সহ-সমীকরণ (প্রতিস্থাপন পদ্ধতি) (1-12) Part 1
সরল সহ-সমীকরণ (প্রতিস্থাপন পদ্ধতি):
(ক) প্রতিস্থাপন
পদ্ধতিতে সমাধান কর (১-১২):
১.
x+y=4
x-y=2
সমাধানঃ
x+y=4………(i)
x-y=2………..(ii)
(ii) হতে পাই,
x=2+y…….(iii)
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2+y+y=4
বা, 2+2y=4
বা, 2(1+y)=4
বা, 1+y=4/2
বা, 1+y=2
বা, y=2-1
বা, y=1
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=2+1
বা, x=3
∴ (x,y)=(3,1)
২.
2x+y=5
x-y=1
সমাধানঃ
2x+y=5…….(i)
x-y=1…….(ii)
(ii) হতে পাই,
x=1+y…….(iii)
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2(1+y)+y=5
বা, 2+2y+y=5
বা, 2+3y=5
বা, 3y=5-2
বা, 3y=3
বা, y=3/3
বা, y=1
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=1+1
বা, x=2
∴ (x,y)=(2,1)
৩.
3x+2y=10
x-y=0
সমাধানঃ
3x+2y=10……(i)
x-y=0……….(ii)
(ii) হতে পাই,
x=y…….(iii)
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
3y+2y=10
বা, 5y=10
বা, y=10/5
বা, y=2
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=2
∴ (x,y)=(2,2)
|
৪.
|
x -
a
|
+
|
y -
b
|
=
|
1 -
a
|
+
|
1 -
b
|
|
|
|
|
x -
a
|
-
|
y -
b
|
=
|
1 -
a
|
-
|
1 -
b
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x -
a
|
+
|
y -
b
|
=
|
1 -
a
|
+
|
1 -
b
|
…..(i)
|
|
|
|
x -
a
|
-
|
y -
b
|
=
|
1 -
a
|
-
|
1 -
b
|
…..(ii)
|
|
|
(ii) হতে পাই, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x -
a
|
=
|
y -
b
|
+
|
1 -
a
|
-
|
1 -
b
|
…..(iii)
|
|
|
এখন,
|
x -
a
|
এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
|
|||||||
|
|
y -
b
|
+
|
1 -
a
|
-
|
1 -
b
|
+
|
y -
b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
|
1 -
a
|
+
|
1 -
b
|
|
বা,
|
y -
b
|
+
|
y -
b
|
=
|
1 -
b
|
+
|
1 -
b
|
|
|
|
বা,
|
2y ---
b
|
=
|
2 ---
b
|
|
|
|
|
||
|
বা, |
2y=2 |
||||||||
|
বা, |
y=2/2 |
||||||||
|
বা, |
y=1 |
||||||||
|
|
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, |
||||||||
|
|
x -
a
|
=
|
1 -
b
|
+
|
1 -
a
|
-
|
1 -
b
|
|
|
|
বা,
|
x -
a
|
=
|
1 -
a
|
|
|
|
|
|
|
|
বা, |
x=1 |
||||||||
|
∴ (x,y)=(1,1) |
|||||||||
৫.
3x-2y=0
17x-7y=13
সমাধানঃ
3x-2y=0…………(i)
17x-7y=13……….(ii)
(ii) হতে পাই,
17x=13+7y
13+7y
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
13+7y
3(13+7y)-17.2y
বা, 39+21y-34y=0
বা, 39-13y=0
বা, -13y=-39
বা, 13y=39
বা, y=39/13
বা, y=3
এখন y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
3x-2.3=0
বা, 3x-6=0
বা, 3x=6
বা, x=6/3
বা, x=2
∴ (x,y)=(2,3)
৬.
x-y=2a
ax+by=a2+b2
সমাধানঃ
x-y=2a……………..(i)
ax+by=a2+b2…………(ii)
(i) হতে পাই,
x=2a+y…….(iii)
এখন, x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
a(2a+y)+by=a2+b2
বা, 2a2+ay+by-a2-b2=0
বা, a2-b2+ay+by=0
বা, ay+by=b2-a2
বা, y(a+b)=(b-a)(b+a)
বা, y=b-a
এখন y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
x-(b-a)=2a
বা, x=2a+b-a
বা, x=a+b
∴ (x,y)=(a+b, b-a)
৭.
ax+by=ab
bx+ay=ab
সমাধানঃ
ax+by=ab…….(i)
bx+ay=ab……..(ii)
(i), (ii) হতে পাই,
ax+by=bx+ay
বা, ax-bx=ay-by
বা, x(a-b)=y(a-b)
বা, x=y……………..(iii)
এখন x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
ay+by=ab
বা, y(a+b)=ab
ab
এখন, x=y
|
∴ (x,y)
|
=
|
( |
ab --------,
a+b
|
ab --------
a+b
|
) |
৮.
ax-by=ab
bx-ay=ab
সমাধানঃ
ax-by=ab………(i)
bx-ay=ab……….(ii)
(i), (ii) হতে পাই,
ax-by= bx-ay
বা, ax-bx=-ay+by
বা, x(a-b)=-y(a-b)
বা, x=-y……….(iii)
এখন x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
a(-y)-by=ab
বা, -ay-by=ab
বা, -y(a+b)=ab
বা, y(a+b)=-ab
-ab
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
ab
|
∴ (x,y)
|
=
|
( |
ab --------,
a+b
|
-ab --------
a+b
|
) |
৯.
ax-by=a-b
ax+by=a+b
সমাধানঃ
ax-by=a-b…………(i)
ax+by=a+b……….(ii)
(i) হতে পাই,
ax=a-b-by
a-b-by
এখন x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
a-b+by
বা, a-b+by+by=a+b
বা, 2by=a+b-a+b
বা, 2by=2b
বা, 2y=2
বা, y=2/2
বা, y=1
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
a-b-b.1
বা, ax=a-b-b
বা, ax=a
বা, x=a/a
বা, x=1
∴ (x,y)=(1, 1)
|
১০.
|
1 -
x
|
+
|
1 -
y
|
=
|
5 -
6
|
|
|
|
|
1 -
x
|
-
|
1 -
y
|
=
|
1 -
6
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 -
x
|
+
|
1 -
y
|
=
|
5 -
6
|
…..(i)
|
|
|
|
1 -
x
|
-
|
1 -
y
|
=
|
1 -
6
|
…..(ii)
|
|
|
(ii) হতে পাই, |
|
|
|
|
|||
|
|
1 -
x
|
=
|
1 -
y
|
+
|
1 -
6
|
……..(iii)
|
|
|
|
1 -
x
|
এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
|
|||||
|
|
1 -
y
|
+
|
1 -
6
|
+
|
1 -
y
|
=
|
5 -
6
|
|
বা,
|
1 -
y
|
+
|
1 -
y
|
=
|
5 -
6
|
-
|
1 -
6
|
|
বা,
|
1+1 ------
y
|
=
|
5-1 ------
6
|
|
|
||
|
বা,
|
2 -
y
|
=
|
4 -
6
|
|
|
|
|
|
বা, |
4y=12 |
|
|
||||
|
বা, |
y=12/4 |
|
|
||||
|
বা, |
y=3 |
|
|
||||
|
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, |
|||||||
|
|
1 -
x
|
=
|
1 -
3
|
+
|
1 -
6
|
|
|
|
বা,
|
1 -
x
|
=
|
2+1 ---------
6
|
|
|
||
|
বা,
|
1 -
x
|
=
|
3 -
6
|
|
|
||
|
বা, |
3x=6 |
|
|
||||
|
বা, |
x=6/3 |
|
|
||||
|
বা, |
X=2 |
|
|
||||
|
∴ (x,y)=(2, 3) |
|
| |||||
|
১১.
|
x -
a
|
+
|
y -
b
|
=
|
2 -
a
|
+
|
1 -
b
|
|
|
|
|
x -
b
|
-
|
y -
a
|
=
|
2 -
b
|
-
|
1 -
a
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x -
a
|
+
|
y -
b
|
=
|
2 -
a
|
+
|
1 -
b
|
……..(i)
|
|
|
|
x -
b
|
-
|
y -
a
|
=
|
2 -
b
|
-
|
1 -
a
|
…….(ii)
|
|
|
(i) হতে পক্ষান্তর করে পাই, |
|||||||||
|
|
x -
a
|
-
|
2 -
a
|
=
|
1 -
b
|
-
|
y -
b
|
|
|
|
বা,
|
x-2 -------
a
|
=
|
1-y -------
b
|
|
|
||||
|
বা, |
a(1-y)=b(x-2) |
||||||||
|
বা, |
a-ay=bx-2b |
||||||||
|
বা, |
-bx=-2b-a+ay |
||||||||
|
বা, |
bx=2b+a-ay |
||||||||
|
বা,
|
x
|
=
|
2b+a-ay -------------……(iii)
b
|
||||||
|
বা,
|
x -
b
|
=
|
2b+a-ay -------------
b2
|
|
|
|
|||
|
|
x -
b
|
এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
|
|||||||
|
2b+a-ay ------------------
b2
|
-
|
y -
a
|
=
|
2 -
b
|
-
|
1 -
a
|
|||
|
বা,
|
2b+a-ay -----------
b2
|
=
|
2 -
b
|
-
|
1 -
a
|
+
|
y -
a
|
||
|
বা,
|
2b+a-ay -------------
b2
|
=
|
2a-b+by --------------
ab
|
||||||
|
বা,
|
2b+a-ay -------------
b
|
=
|
2a-b+by --------------
a
|
||||||
|
বা, |
b(2a-b+by)=a(2b+a-ay) |
||||||||
|
বা, |
2ab-b2+b2y=2ab+a2-a2y |
||||||||
|
বা, |
b2y+a2y=2ab+a2-2ab+b2 |
||||||||
|
বা, |
y(b2+a2)=a2+b2 |
||||||||
|
বা, |
y=1 |
||||||||
|
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, |
|||||||||
|
|
x
|
=
|
2b+a-a.1 ------------
b
|
||||||
|
বা,
|
x
|
=
|
2b+a-a ------------
b
|
||||||
|
বা,
|
x
|
=
|
2b --------
b
|
||||||
|
বা, |
x=2 |
||||||||
|
∴ (x,y)=(2, 1) | |||||||||
|
১২.
|
a -
x
|
+
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
+
|
b -
3
|
|
|
|
|
a -
x
|
-
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
-
|
b -
3
|
|
|
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a -
x
|
+
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
+
|
b -
3
|
…….(i)
|
|
|
|
a -
x
|
-
|
b -
y
|
=
|
a -
2
|
-
|
b -
3
|
…...(ii)
|
|
|
|
(ii) নং হতে পাই, |
||||||||
|
|
a -
x
|
=
|
b -
y
|
+
|
a -
2
|
-
|
b -
3
|
…….(iii)
|
|
|
|
a -
x
|
এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
|
|||||||
|
|
b -
y
|
+
|
a -
2
|
-
|
b -
3
|
+
|
b -
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
|
a -
2
|
+
|
b -
3
|
|
|
বা,
|
b -
y
|
+
|
b -
y
|
=
|
b -
3
|
+
|
b -
3
|
|
|
|
বা,
|
b+b --------
y
|
=
|
b+b --------
3
|
|
|
||||
|
বা,
|
2b -------
y
|
=
|
2b ------
3
|
|
|
||||
|
বা, |
y=3 |
||||||||
|
|
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, |
||||||||
|
|
a -
x
|
=
|
b -
3
|
+
|
a -
2
|
-
|
b -
3
|
|
|
|
বা,
|
a -
x
|
=
|
a -
2
|
|
|
|
|
|
|
|
বা, |
x=2 |
||||||||
|
∴ (x,y)=(2, 3) |
|||||||||
এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।