JSC (Class 8) Math BD: অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৫.১ বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লগিষ্টকরন যোগ ও বিয়োগ (1-3) Part 1

jsc math solution 2021 pdf, 8th class maths guide pdf free download, math book solution BD, class 8 srijonshil math, Chapter 5.1 ভগ্নাংশের লগিষ্টকরন

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লগিষ্টকরন যোগ  বিয়োগঃ

১. লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করঃ

         4x2y3z5

(ক) -------------
          9x5y2z3

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশ

     4x2y3z5

= ------------
      9x5y2z3

এখানে,

4 ও 9 এর গসাগু 1

x2 ও x5 এর গসাগু x2

y3 ও y2 এর গসাগু y2

z5 ও z3 এর গসাগু z3

4x2y3z5 ও 9x5y2z3 এর গসাগু x2y2z3

প্রদত্ত সমীকরণ এর লব ও হরকে x2y2z3 দ্বারা ভাগ করে পাই

4yz2

-----
9x3

নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো

4yz2

-----
9x3

        16(2x)4(3y)5

(খ) ------------------
         (3x)3.(2y)6

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশ

     16(2x)4(3y)5

= ----------------
       (3x)3.(2y)6

     2424x435y5

= ---------------------
         33x3.26y6

   2835x4y5

=------------
   2633x3y6

এখানে,

28 ও 26 এর গসাগু হলো 26

35 ও 33 এর গসাগু হলো 33

X4 ও x3 এর গসাগু হলো x3

Y5 ও y6 এর গসাগু হলো y5

16(2x)4(3y)5 ও (3x)3(2y)6 এর গসাগু হলো 2633x2y3

এখন প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব আর হরকে 2633x2y3 দ্বারা ভাগ করে পাই,

22.32..x

--------
   y

   4.9.x

=------
     y

  36x

=------
    y

নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো

  36x

------
    y

         x3y+xy3

(গ) ---------------
         x2y3+x3y2

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশ

      x3y+xy3

= ---------------
      x2y3+x3y2

ভগ্নাংশের লব

= x3y+xy3

=xy(x2+y2)

ভগ্নাংশের হর

= x2y3+x3y2

=x2y2(x+y)

লব আর হরের গসাগু = xy

এখন প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে xy দ্বারা ভাগ করে পাই,

(x2+y2)

----------
xy(x+y)

নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো

(x2+y2)

----------
xy(x+y)

       (a-b)(a+b)

(ঘ) ---------------
          a3-b3

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশ

     (a-b)(a+b)

= --------------
        a3-b3

      (a-b)(a+b)

= --------------------
     (a-b)(a2+ab+b2)

লব আর হরের গসাগু = (a-b)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (a-b) দ্বারা ভাগ করে পাই,

 (a+b)

------------
a2+ab+b2

যা হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।

        x2-6x+5

(ঙ) -------------
          x2-25

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশ

     x2-6x+5

= ------------
      x2-25

     x2-5x-x+5

= -------------
       x2-52

     x(x-5)-1(x-5)

= -----------------
       (x-5)(x+5)

     (x-5)(x-1)

= ---------------
      (x-5)(x+5)

লব এবং হরের গসাগু =(x-5)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-5) দ্বারা ভাগ করে পাই,

(x-1)

------
(x+5)

যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।

        x2-7x+12

(চ) --------------
        x2-9x+20

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব

x2-7x+12

= x2-3x-4x+12

=x(x-3)-4(x-3)

=(x-3)(x-4)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর

= x2-9x+20

= x2-4x-5x+20

=x(x-4)-5(x-4)

=(x-5)(x-4)

লব এবং হরের গসাগু =(x-4)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-4) দ্বারা ভাগ করে পাই,

 x-3

------
 x-5

যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।

        (x3-y3)(x2-xy+y2)

(ছ) ---------------------
         (x2-y2)(x3+y3)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব

=(x3-y3)(x2-xy+y2)

=(x-y)(x2-xy+y2)(x2-xy+y2)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর

=(x2-y2)(x3+y3)

=(x+y)(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)

লব এবং হরের গসাগু =(x-y)(x2-xy+y2)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-y)(x2-xy+y2) দ্বারা ভাগ করে পাই,

(x2—xy+y2)

------------
    (x+y)2

যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।

         a2-b2-2bc-c2

(জ) ------------------
         a2+2ab+b2-c2

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব

= a2-b2-2bc-c2

=a2-(b2+2bc+c2)

=a2-(b+c)2

=(a-b-c)(a+b+c)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর

= a2+2ab+b2-c2

=(a+b)2-c2

=(a+b+c)(a+b-c)

লব এবং হরের গসাগু =(a+b+c)

প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (a+b+c) দ্বারা ভাগ করে পাই,

(a-b-c)

-----------
(a+b-c)

যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।

২. সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ

(ক)

x2

---
xy

y2

---
yz

z2

---
zx

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরগুলোর লসাগু = xyz

xyz/xy=z

   x2

---
   xy

    x2z

= -------
    xyz

    x2z

= -------
    xyz

xyx÷yz=x

   y2

----
   yz

    y2x

=-------
    yzx

    xy2

=-------
    xyz

xyx÷zx=y

   z2

-----
   zx

   z2y

=--------
   zxy

   z2y

=-----
    xyz

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো

  x2z

 -----,
  xyz

  xy2

------- এবং
  xyz

 z2y

-----
 xyz

(খ)

x-y

----
xy

y-z

----
yz

z-x

----
zx

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর  লসাগু = xyz

তাহলে,

x-y

----
xy

   (x-y)z

=--------
    xyz

   xz-yz

=--------
    xyz

y-z

----
yz

   (y-z)x

=--------
     xyz

    xy-xz

=---------
      xyz

z-x

----
zx

   (z-x)y

=---------
    xyz

    yz-xy

=---------
    Xyz

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ

   xz-yz

  --------,
    xyz

    xy-xz

   --------- এবং
      xyz

    yz-xy

   ---------
     xyz

(গ)

  x

-----
x-y

  y

-----
x+y

   z

--------
x(x+y)

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর  লসাগু = x(x+y)(x-y)

তাহলে,

  x

-----
x-y

    x.x(x+y)

=--------------
   (x-y).x(x+y)

    x2(x+y)

=-----------
    x(x2-y2)

  y

-----
x+y

    y.x(x-y)

=---------------
   (x+y).x(x-y)

    xy(x-y)

=------------
     x(x2-y2)

   z

--------
x(x+y)

     z(x-y)

=--------------
    x(x+y)(x-y)

     z(x-y)

=------------
     x(x2-y2)

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ

    x2(x+y)

  -----------,
    x(x2-y2)

    xy(x-y)

   ---------- এবং
     x(x2-y2)

     z(x-y)

  ------------
     x(x2-y2)

(ঘ)

x+y

-------
(x-y)2

x-y

-------
x3+y3

y-z

-------
x2-y2

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর

১ম ভগ্নাংশের হর

=(x-y)2

=(x-y)(x-y)

২য় ভগ্নাংশের হর

=x3+y3

=(x+y)(x2-xy+y2)

৩য় ভগ্নাংশের হর

=x2-y2

=(x-y)(x+y)

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু

= (x-y)(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)

=(x-y)2(x3+y3)

তাহলে,

x+y

-------
(x-y)2

    (x+y) (x3+y3)

=----------------
    (x-y)2(x3+y3)

x-y

-------
x3+y3

   (x-y) (x-y)2

=-----------------
   (x3+y3) (x-y)2

     (x-y)3

=----------------
   (x3+y3) (x-y)2

y-z

-----
x2-y2

     y-z

=-------------
   (x-y)(x+y)

      (y-z) (x-y)(x2-xy+y2)

=----------------------------
   (x-y)(x+y)(x-y)(x2-xy+y2)

    (y-z) (x-y)(x2-xy+y2)

=-------------------------
         (x-y)2(x3+y3)

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ

    (x+y) (x3+y3)

  ----------------,
   (x-y)2(x3+y3)

         (x-y)3

  ---------------- এবং
   (x3+y3) (x-y)2

     (y-z) (x-y)(x2-xy+y2)

    ------------------------
       (x-y)2(x3+y3)

(ঙ)

  a

------
a3+b3

   b

------------
a2+ab+b2

   c

-------
a3-b3

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর

১ম ভগ্নাংশের হর

=a3+b3

=(a+b)(a2-ab+b2)

২য় ভগ্নাংশের হর

= a2+ab+b2

৩য় ভগ্নাংশের হর

= a3-b3

=(a-b)(a2+ab+b2)

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু

= (a-b)(a+b)(a2-ab+b2)(a2+ab+b2)

= (a3-b3)(a3+b3)

তাহলে,

  a

------
a3+b3

    a(a3-b3)

=-----------------
   (a3+b3) (a3-b3)

     a(a3-b3)

=------------
     (a6-b6)  

     b

------------
a2+ab+b2

       b(a-b)(a+b)(a2-ab+b2)

=-------------------------------------
   (a2+ab+b2) (a-b)(a+b)(a2-ab+b2)

     b(a-b)(a3+b3)

=-------------------
     (a3+b3) (a3-b3)

    b(a-b)(a3+b3)

=-----------------
       (a6-b6)

    c

-------
a3-b3

      c(a3+b3)

=------------------
    (a3-b3) (a3+b3)

      c(a3+b3)

=-------------
      (a6-b6)

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ

     a(a3-b3)

   ------------,
     (a6-b6)  

    b(a-b)(a3+b3)

  ----------------- এবং
       (a6-b6)

    c(a3+b3)

  -------------
      (a6-b6)

(চ)

     1

----------
x2-5x+6

     1

----------
x2-7x+12

     1

----------
x2-9x+20

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে

১ম ভগ্নাংশের হর

= x2-5x+6

=x2-2x-3x+6

=x(x-2)-3(x-2)

=(x-2)(x-3)

২য় ভগ্নাংশের হর

= x2-7x+12

= x2-3x-4x+12

=x(x-3)-4(x-3)

=(x-3)(x-4)

৩য় ভগ্নাংশের হর

= x2-9x+20

= x2-4x-5x+20

=x(x-4)-5(x-4)

=(x-5)(x-4)

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

     1

----------
x2-5x+6

      1

=----------
   (x-2)(x-3)

      (x-4)(x-5)

=---------------------
   (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

     1

----------
x2-7x+12

       1

=------------
    (x-3)(x-4)

        (x-2)(x-5)

=-----------------------
    (x-3)(x-4)(x-2)(x-5)

     1

----------
x2-9x+20

      1

=-----------
   (x-4)(x-5)

        (x-2)(x-3)

=----------------------
   (x-4)(x-5)(x-2)(x-3)

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ

      (x-4)(x-5)

   --------------------,
   (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

        (x-2)(x-5)

  ----------------------- এবং
    (x-3)(x-4)(x-2)(x-5)

      (x-2)(x-3)

  ----------------------
   (x-4)(x-5)(x-2)(x-3)

(ছ)

a-b

-----
a2b2

b-c

-----
b2c2

c-a

-----
c2a2

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = a2b2c2

তাহলে,

a-b

-----
a2b2

   c2(a-b)

=---------
   a2b2c2

b-c

-----
b2c2

   a2(b-c)

=---------
   a2b2c2

c-a

-----
c2a2

   b2(c-a)

=---------
   b2c2a2

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ

   c2(a-b)

  ---------,
   a2b2c2

   a2(b-c)

  --------- এবং
   a2b2c2

   b2(c-a)

  ---------
   b2c2a2

(জ)

x-y

-----
x+y

y-z

-----
y+z

z-x

----
z+x

সমাধানঃ

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = (x+y)(y+z)(z+x)

তাহলে,

x-y

-----
x+y

   (x-y)(y+z)(z+x)

=--------------------
   (x+y)(y+z)(z+x)

y-z

-----
y+z

    (y-z)(x+y)(z+x)

=-------------------
   (y+z)(x+y)(z+x)

z-x

----
z+x

   (z-x)(x+y)(y+z)

=------------------
   (z+x)(x+y)(y+z)

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ

   (x-y)(y+z)(z+x)

  -------------------,
   (x+y)(y+z)(z+x)

    (y-z)(x+y)(z+x)

  -------------------  এবং
   (y+z)(x+y)(z+x)

   (z-x)(x+y)(y+z)

   ------------------
   (z+x)(x+y)(y+z)

৩. যোগফল নির্ণয় করঃ

        a-b        a+b

(ক) ------ + -------
          a            b

সমাধানঃ

 a-b        a+b

------ + -------
  a            b

    b(a-b)+a(a+b)

=-------------------
           ab

    ab-b2+a2+ab

=------------------
           ab

   a2+2ab-b2

=--------------
        ab

        a       b        c

(খ)-----+-----+-----
       bc     ca      ab

সমাধানঃ

   a      b        c

----+-----+-----
 bc     ca      ab

   a2+b2+c2

=--------------
      abc

       x-y     y-z     z-x

(গ) -----+-----+-----
        x         y        z

সমাধানঃ

 x-y     y-z     z-x

-----+-----+-----
  x        y        z

   yz(x-y)+zx(y-z)+xy(z-x)

=--------------------------
             xyz

   xyz-zy2+xyz-xz2+xyz-x2y

=----------------------------
             xyz

   3xyz-x2y-y2z-z2x

=--------------------
           xyz

       x+y         x-y

(ঘ) ------- + -------
        x-y         x+y

সমাধানঃ

 x+y         x-y

------- + -------
  x-y         x+y

   (x+y)2+(x-y)2

=---------------
     (x-y)(x+y)

    x2+2xy+y2+x2-2xy+y2

=--------------------------
               x2-y2

   2x2+2y2

=----------
      x2-y2

   2(x2+y2)

=----------
      x2-y2

          1                 1                 1

(ঙ) ----------+ ---------- +----------
       x2-3x+2     x2-4x+3    x2-5x+4

সমাধানঃ

X2-3x+2

=x2-2x-x+2

=x(x-2)-1(x-2)

=(x-1)(x-2)

x2-4x+3     

=x2-3x-x+3

=x(x-3)-1(x-3)

=(x-3)(x-1)

এবং,

x2-5x+4

= x2-4x-x+4

=x(x-4)-1(x-4)

=(x-1)(x-4)

তাহলে,

    1                1                 1

----------+ ---------- +----------
 x2-3x+2     x2-4x+3     x2-5x+4

        1                   1                  1

=------------+ ------------ +----------
  (x-1)(x-2)        (x-3)(x-1)       (x-4)(x-1)

  1.(x-3)(x-4)+1.(x-2)(x-4)+1.(x-3)(x-2)

=-----------------------------------------
              (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

   x2-7x+12+x2-6x+8+x2-5x+6

=---------------------------------
         (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

      3x2-18x+26

=--------------------
  (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

         1             1                1

(চ)--------+------------+------------
      a2-b2     a2+ab+b2     a2-ab+b2

সমাধানঃ

     1             1                1

--------+------------+------------
  a2-b2     a2+ab+b2     a2-ab+b2

 (a2+ab+b2)( a2-ab+b2)+( a2-b2)( a2-ab+b2)

              +( a2-b2)( a2-ab+b2)
=------------------------------------------
     (a2-b2)( a2+ab+b2)( a2-ab+b2)

a4-a3b+a2b2+a3b-a2b2+ab3+a2b2-ab3+b4

+(a-b)(a+b) ( a2-ab+b2)+(a-b)(a+b) ( a2-ab+b2)
=--------------------------------------------------
       (a-b)(a+b) ( a2+ab+b2)( a2-ab+b2)

   a4+a2b2+b4+(a-b)(a3+b3)+(a+b)(a3-b3)

=--------------------------------------------
              (a3-b3)(a3+b3)

  a4+a2b2+b4+a4+ab3-a3b-b4+a4-ab3+a3b-b4

=-----------------------------------------------
                   (a6-b6)

   3a4+a2b2-b4

=--------------
         a6-b6

        1          1            4

(ছ)------+-------+--------
       x-2       x+2       x2-4

সমাধানঃ

   1          1            4

------+-------+--------
 x-2       x+2       x2-4

     1          1              4

=------+-------+--------------
    x-2       x+2       (x-2)(x+2)

     (x+2)-(x-2)+4

=-------------------
      (x-2)(x+2)

      x+2-x+2+4

=----------------
        x2-4

       8

=---------
     x2-4

         1           1           4

(জ) ------ +-------+-------
        x2-1       x4-1     x8-1

সমাধানঃ

   1         1           4

------ +------+-------
 x2-1      x4-1     x8-1

     1                1               

=------ +----------------
    x2-1      (x2-1)(x2+1)  

                     4

             +--------------- 
                (x4-1)(x4+1)  

     1                1               

=------ +----------------
    x2-1      (x2-1)(x2+1)  

                        4

             +--------------------- 
                (x2-1)(x2+1)(x4+1)  

  (x2+1)(x4+1)+(x4+1)+4

=--------------------------
        (x2-1)(x2+1)(x4+1)  

   x6+x4+x2+1+x4+1+4

=------------------------
         (x4-1)(x4+1)  

   x6+2x4+x2+6

=----------------
         x8-1

এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।

Make CommentWrite Comment