SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.২ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (1-10) Part 1

চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল:

১. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

প্রদত্ত আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ=x মিটার

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=2x মিটার

এবং ক্ষেত্রফল=2x✕x বর্গ মিটার

                        =2x² বর্গ মিটার

শর্তমতে,

2x²=512

বা,  x²=512/2

বা,  x²=256

বা,  x=√256

বা,  x=16

∴ প্রদত্ত আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ=16 মিটার

আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=2✕16 মিটার=32 মিটার

তাহলে, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা=2(16+32)

                                    =2✕48=96 মিটার।

২. একটি জমির দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 60 মিটার। ঐ জমির মাঝে একটি পুকুর খনন করা হলো। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার 4 মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে জমির দৈর্ঘ্য = 80 মিটার

এবং প্রস্থ = 60 মিটার

∴জমির ক্ষেত্রফল = (80✕60)=4800 বর্গমিটার।

পাড় বাদে পুকুরের প্রস্থ ={60-(4+4)}=(60-8)=52 মিটার।

পাড় বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্য = {80-(4+4)}=(80-8)=72 মিটার।

∴পাড় বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল=72✕52=3744 বর্গ মিটার।

তাহলে,

পাড়ের ক্ষেত্রফল=জমির ক্ষেত্রফল-পাড়ের ক্ষেত্রফল

                        =4800-3744

                        =1056 বর্গ মিটার।

৩. একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 40 মিটার এবং পেস্থ 30 মিটার। বাগানের ভিতরে সমান পাড় বিশিষ্ট একটি পুকুর আছে। পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের ½ অংশ হলে, পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, বাগানের দৈর্ঘ্য=40 মিটার

এবং বাগানের প্রস্থ=30 মিটার

∴বাগানের ক্ষেত্রফল=দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ

                        =40✕30 বর্গ মিটার

                        =1200 বর্গ মিটার।

ধরি, পুকুরের পাড়ের বিস্তার= x মিটার

∴ পুকুরের দৈর্ঘ্য={40-(x+x)}=(40-2x) মিটার

এবং পুকুরের প্রস্থ={30-(x+x)}=(30-2x) মিটার

∴পুকুরের ক্ষেত্রফল=দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ

                        =(40-2x)(30-2x) বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,

(40-2x)(30-2x)= ½✕বাগানের ক্ষেত্রফল

বা,  (40-2x)(30-2x)= ½✕1200

বা,  1200-81x-60x+4x²=600

বা,  1200-140x+4x²=600

বা,  4x²-140x+1200-600=0

বা,  4x²-140x+600=0

বা,  x²-35x+150=0 [4 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  x²-30x-5x+150=0

বা,  x(x-30)-5(x-30)=0

বা,  (x-5)(x-30)=0

বা,  x-5=0        অথবা, x-30=0

বা,  x=5            বা,  x=30

x=30 গ্রহনযোগ্য নয়। কারণ পুকুরের বিস্তার 30 মিটার হলে পুকুর খনন সম্ভব নয়।

∴পুকুরের বিস্তার=5 মিটার

তাহলে,

পুকুরের দৈর্ঘ্য=40-2✕5=40-10=30 মিটার

এবং পুকুরের প্রস্থ=30-2✕5=30-10=20 মিটার

৪. একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য=x মিটার

∴মাঠের ক্ষেত্রফল=x² বর্গ মিটার

তাহলে, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল=x²+500 বর্গ মিটার……….(i))

আবার,

রাস্তাসহ বর্গাকার মাঠের একবাহুর দৈর্ঘ্য=x+(5+5)=x+10 মিটার

∴রাস্তাসহ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল=(x+10)² বর্গমিটার…….(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

x²+500=(x+10)²

বা,  x²+500=x²+20x+100

বা,  x²+500-x²-20x-100=0

বা,  400-20x=0

বা,  400=20x

বা,  x=400/20

বা,  x=20

∴বাগানের ক্ষেত্রফল=x²=20²=400 বর্গ মিটার।

৫. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সেমি বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধতে মোট কতটি পাথর লাগবে?

সমাধানঃ

মনে করি,

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ=x মিটার

তাহলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=3x মিটার

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=3x✕x বর্গমিটার = 3x² বর্গ মিটার।

প্রশ্নমতে,

3x²=768

বা,  x²=768/3

বা,  x²=256

বা,  x=√256

বা,  x=16

∴আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ=16 মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=3✕16=48 মিটার

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা=2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)

                                                =2(48+16)

                                                =2✕64

                                                =128 মিটার।

সুতরাং প্রশানুসারে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=128 মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য=128/4=32 মিটার।

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=(32)²=1024 বর্গ মিটার।

এখানে, বর্গাকার প্রতিটি পাথরের দৈর্ঘ্য = 40 সেমি = 0.4 মিটার

∴ বর্গাকার পাথরের ক্ষেত্রফল=(0.4)²=0.16 বর্গ মিটার।

∴ বর্গ ক্ষেত্রটির জন্য পাথর লাগবে = (১০২৪/0.16)=6400 টি।

∴ নির্ণেয় পাথরের সংখ্যা=6400 টি

৬. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=x মিটার

এবং প্রস্থ = y মিটার

তাহলে, xy=160…………(i)

আবার, শর্তানুসারে x-6=y

∴ x=y+6………(ii)

(ii) নং এ x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

(y+6)y=160

বা,  y²+6y-160=0

বা,  y²+16y-10y-160=0

বা,  y(y+16)-10(y+16)=0

বা,  (y+16)(y-10)=0

বা,  y+16=0     অথবা, y-10=0

বা,  y=-16        বা,  y=10

ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ=10 মিটার

এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=10+6=16 মিটার।

৭. একটি সামন্তরিকের ভুমি উচ্চতার ¾ অংশ এবং ক্ষেত্রফল 363 বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির ভূমি ও উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, সামন্তরিকটির উচ্চতা = h

∴ এর ভূমি= ¾.h

∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল= ¾.h.h = ¾.h²

প্রশ্নমতে,

¾.h²=363

বা,  3h²=363✕4

বা,  3h²=1452

বা,  h²=1452/3

বা,  h²=484

বা,  h = 22

 সামন্তরিকটির উচ্চতা = 22 মিটার

সামন্তরিকটির ভূমি = ¾.22 = 16.5 মিটার।

৮. একটি সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের সমান। সামন্তরিকের ভূমি 125 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

সামন্তরিকের ভূমি 125 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার

∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = 125✕5 বর্গ মিটার=625 বর্গ মিটার

শর্তানুসারে, বর্গের ক্ষেত্রফল = 625 বর্গ মিটার

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

∴ a²=625

বা,  a=√625

বা,  a= 25

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 25√2 =35.36 মিটার।

৯. একটি সামন্তরিকের বাহুর দৈর্ঘ্য 30 সেমি এবং 26 সেমি। এর ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 28 সেমি হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCD সামন্তরিকের AB=CD=30 সেমি, AD=CE=26 সেমি এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণ BD=28 সেমি।

এখন, D ও C থেকে AB এবং AB এর বর্ধিতাংশ এর উপর DF ও CE লম্ব আঁকি।

△ADF এ

AD+AB+BD=30+26+28=84 সেমি।

অর্ধপরিসীমা s=84/2=42 সেমি।

∴ △ADB এর ক্ষেত্রফল

=√{s(s-a)(s-b)(x-c)}   [a,b,c ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য]

=√{42(42-30)(42-26)(42-28)}

=√42✕12✕14✕16

=√112896

=336 বর্গ সেমি

আবার,    

△ADB এর ক্ষেত্রফল = ½.AB.DF= ½.30.DF=15DF

এখন,

15DF=336

বা,  DF=336/15

বা,  DF=22.4 সেমি

 ∴ DF=CE=22.4 সেমি

 △ADF এ

AD²=AF²+DF²

বা,  AF²=AD²-DF²

বা,  AF²=(26)²-(22.4)²

বা,  AF²=676-501.76

বা,  AF²=174.24

বা,  AF=√174.24

বা,  AF=13.2 সেমি

এখন, △ADF ও △BCE এর মধ্যে,

AD=BC, DF=CE, ∠DFA=∠CEB=90⁰

∴ △ADF ≅ △BCE

∴ AF=BE=13.2 সেমি

∴ AE=AB+BE=30+13.2=43.2 সেমি

এখন,

△ACE এ

AC²=AE²+CE²

বা,  AC²=(43.2)²+(22.4)²

বা,  AC²=1866.24+501.76

বা,  AC²=2368

বা,  AC=√2368

বা,  AC=48.66 (প্রায়)

∴ ABCD সামন্তরিকের বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 48.66 সেমি (প্রায়)।

১০. একটি রম্বসের পরিসীমা 180 সেমি এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 54 সেমি। এর অপর কর্ণ এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

ABCD এর পরিসীমা 180 সেমি ও ক্ষুদ্রতম কর্ণ AC=54 সেমি। কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।

∴ BC=180/4 [রম্বসের প্রত্যেক বাহু সমান]

বা,  BC=45 সেমি

আবার,

AC=54

বা,  OC=54/2 [রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

বা,  OC=27 সেমি।

এখন, △BOC এ

∠BOC=90⁰ [রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে]

∴ BC²=OB²+OC²

বা,  OB²=BC²-OC²

বা,  OB²=45²-27²

বা,  OB²=2025-729

বা, OB²=1296

বা,  OB=√1296

বা,  OB=36

বা,  BD=36✕2 [রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

বা,  BD=72 সেমি

∴ রম্বসের বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 72 সেমি।

এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল = ½.কর্ণদ্বয়ের গুণফল= ½.54✕72 = 1944 বর্গ সেমি।  

এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.২ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (11-16) Part 2

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।