SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১২.৪ সহসমীকরন গঠন করে সমাধান (16-24) Part 2
সহসমীকরন গঠন করে সমাধান:
এই অধ্যায়ের পুর্বের অংশঃ
SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১২.৪ সহসমীকরন গঠন করে সমাধান (1-15)
Part 1
১৬. একটি নৌকা দাঁড়
বেয়ে স্রোতের অনুকুলে ঘন্টায় 15 কিমি যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে যায় 5 কিমি। নৌকার
বেগ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
নৌকার বেগ ঘন্টায় x কিমি
এবং স্রোতের বেগ ঘন্টায় y কিমি
১ম শর্ত মতে,
x+y=15………….(i)
২য় শর্তমতে,
x-y=5…………..(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2x=20
বা, x=10
∴ নৌকার বেগ ঘন্টায় 10 কিমি
১৭. একজন গার্মেন্টস
শ্রমিক মাসিক বেতনে চাকরি করেন। প্রতিবছর শেষে একটি নির্দিষ্ট বেতনবৃদ্ধি পায়। তাঁর
মাসিক বেতন 4 বছর পর 4500 টাকা ও 8 বছর পর 5000 টাকা হয়। তাঁর চাকরি শুরুর বেতন ও বার্ষিক
বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
গার্মেন্টস শ্রমিকের মাসিক বেতন x টাকা এবং বার্ষিক বেতন বৃদ্ধি y টাকা।
১ম শর্তমতে,
x+4y=4500……….(i)
২য় শর্তমতে,
x+8y=5000………..(i)
(i)-(ii) করে পাই,
-4y=-500
বা, 4y=500
বা, y=500/4
বা, y=125
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
x+4.125=4500
বা, x+500=4500
বা, x=4500-500
বা, x=4000
∴ গার্মেন্টস শ্রমিকের মাসিক বেতন 4000 টাকা এবং বার্ষিক বেতন বৃদ্ধি 125 টাকা।
১৮. একটি সরল সমীকণজোট
x+y=10, 3x-2y=0
ক) দেখাও যে, সমীকরণজোটটি
সমঞ্জস। এর কয়টি সমাধান আছে?
সমাধানঃ
3x-2y=0……….(ii)
x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত=1/3
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত=1/2
∴1/3≠1/2
খ) সমীকরণজোটটি
সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
x=10-y……(iii)
এই মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
3(10-y)-2y=0
বা, 30-3y-2y=0
বা, 30-5y=0
বা, -5y=-30
বা, 5y=30
বা, y=30/5
বা, y=6
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=10-6
বা, x=4
∴ (x,y)=(4,6)
গ) সমীকরণদ্বয় দ্বারা
নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয় x অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
3x-2y=0………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
y=10-x
y=10-x
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
|
x
|
1
|
5
|
4
|
|
y
|
9
|
5
|
6
|
এবং (ii) নং হতে পাই,
বা, 2y=3x
বা, y=3x/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
|
x
|
2
|
4
|
8
|
|
y
|
3
|
6
|
10
|
এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু (1,9), (4,6), (5,5) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (2,3), (4,6), (8,10) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।
সরলরেখাদ্বয় x অক্ষের সাথে POB ত্রিভুজ গঠন করে।
△POB এ
উচতা PD=6 একক
△POB এর ক্ষেত্রফল=½✕10✕6 =30 বর্গ একক।
১৯. কোনো ভগ্নাংশের
লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 2 হয়। আবার হর হতে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির
মান পূর্ণসংখ্যা 1 হয়।
ক) ভগ্নাংশটি x/y
ধরে সমীকরণজোট গঠন কর।
সমাধানঃ
যেহেতু ভগ্নাংশটি ধরা হয়েছে x/y
১ম শর্তমতে,
x+7
বা, x+7=2y
বা, x-2y+7=0
২য় শর্তমতে,
x
বা, x=y-2
বা, x-y+2=0
সুতরাং, সমীকরণজোট হলোঃ x-2y+7=0, x-y+2=0
খ) সমীকরণজোটটি
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর। ভগ্নাংশটি কত?
সমাধানঃ
ক হতে পাই,
x-2y+7=0………(i)
x-y+2=0………..(ii)
(i) ও (ii) নং কে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y
1
x y 1
x y 1
বা, x/3=1 অথবা, y/5=1
বা, x=3 বা, y=5
∴ নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(3,5)
এবং ভগ্নাংশটি হলোঃ 3/5
গ) সমীকরণ জোটটির
লেখ অঙ্কন করে (x,y) এর প্রাপ্ত মানের সত্যতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
x-2y+7=0………(i)
x-y+2=0………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
-2y=-7-x
বা, 2y=x+7
বা, y=(x+7)/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
|
x
|
-3
|
3
|
5
|
|
y
|
2
|
5
|
6
|
এবং (ii) নং হতে পাই,
বা, y=x+2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ
|
x
|
-3
|
2
|
5
|
|
y
|
-1
|
4
|
7
|
এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু (-3,2), (3,5), (5,6) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-3,-1), (2,4), (5,7) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।
∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(3,5)
২০. দুইটি বহুভূজের
বাহু সংখ্যা 17 এবং এদের কর্ণের সংখ্যা 53 হলে প্রত্যেক বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,
n(n-3)
ধরি, ১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা x
এবং ২ বহুভূজের বাহুর সংখ্যা y (x>y)
x(x-3)
y(y-3)
শর্তমতে,
x+y=17…………….(i)
x(x-3) y(y-3)
বা, x(x-3)+y(y-3)=53✕2
বা, x2-3x+y2-3y=106
বা, x2+y2-3(x+y)=106
বা, x2+y2-3.17=106
বা, x2+y2-51=106
বা, x2+y2=106+51
বা, x2+y2=157………….(iii)
বা, (x+y)2-2xy=157
বা, (17)2-2xy=157
বা, 289-2xy=157
বা, 289-157=2xy
বা, 2xy=132
বা, xy=66
আবার,
x2+y2=157
বা, (x-y)2+2xy=157
বা, (x-y)2+2.66=157
বা, (x-y)2+132=157
বা, (x-y)2=157-132
বা, (x-y)2=25
বা, x-y=5…………..(iv)
(i)+(iv) করে পাই,
2x=22
বা, x=22/2
বা, x=11
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
11+y=17
বা, y=17-11
বা, y=6
∴ ১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা 11 টি
২য় বহুভূজের বাহুর সংখ্যা 6 টি
২১. শিক্ষক বললেন
একটি কাজ একা বা ছাত্র-ছাত্রীর জুটি করতে পারবে। ছাত্রদের 2/3 এবং ছাত্রীদের 3/5 অংশ
জুটি বেধে কাজটি করলো। শ্রেণির কত ভাগ ছাত্র-ছাত্রী একা কাজটি করলো?
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
|
|
ধরি, ছাত্র সংখ্যা x ও ছাত্রী সংখ্যা y |
||||||
|
জুটি করে কাজ করা ছাত্র সংখ্যা |
=
|
2x --
3
|
|
|
|
|
|
জুটি করে কাজ করা ছাত্রী সংখ্যা |
=
|
3y --
5
|
|
|
|
|
|
একা কাজ করা ছাত্র সংখ্যা |
=
|
x
|
-
|
2x --
3
|
=
|
x --
3
|
|
একা কাজ করা ছাত্রী সংখ্যা |
=
|
y
|
-
|
3y --
5
|
=
|
2y --
5
|
|
শর্ত অনুসারে পাই, |
2x --
3
|
=
|
3y --
5
|
|
|
|
|
বা,
|
x
|
=
|
9y --- …...(i)
10
|
|||
|
মোট একা করল
=
|
x --
3
|
+
|
2y --
5
|
|
|
|
|
=
|
1 9y --✕--
3 10
|
+
|
2y --
5
|
[(i) হতে]
|
||
|
=
|
3y --
10
|
+
|
2y --
5
|
|
|
|
|
=
|
3y+4y ---------
10
|
|
|
|
||
|
=
|
7y ---------
10
|
|
|
|
||
|
মোট শিক্ষার্থী = |
x |
+ |
y |
|
|
|
|
=
|
9y --
10
|
+
|
y
|
|
|
|
|
=
|
9y+10y ------------
10
|
|
|
|
||
|
=
|
19y -----
10
|
|
|
|
|
|
|
∴ নির্ণেয় অনুপাত
|
7y --
10
--
19y
--
10
|
=
|
7 --
10
|
|
|
|
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
বা, Vx+Vy=300/5
বা, Vx+Vy=60………(i)
এবং,
15(Vx-Vy)=300
বা, Vx-Vy=300/15
বা, Vx-Vy=20……..(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2Vx=80
বা, Vx=80/2
বা, Vx=40
(i)-(ii) করে পাই,
2Vy=40
বা, Vy=40/2
বা, Vy=20
∴100 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ 40 কিমি/সেকেন্ড এবং 200 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ 20 কিমি/সেকেন্ড
২৩. কমপক্ষে কতগুলো
ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তাঁর গুণফল অবশ্যই 5040 দ্বারা বিভজ্য হবে?
সমাধানঃ
----------
2)2520
----------
2)1260
-------------
2)630
-------------
3)315
-------------
3)105
-------------
5)35
-------------
7
∴ 5040
২৪. ঘড়ির ঘন্টা
এবং মিনিটের কাঁটা পরস্পরের সঙ্গে 30 ডিগ্রি কোণ করে কত বার ঘোরে? সময়গুলো নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
তাহলে, 24 ঘন্টার মধ্যে ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা 300 কোণ উৎপন্ন করে 44 বার।
|
12
|
:
|
05
|
5 --
11
|
|
1 |
: |
00 |
|
|
1
|
:
|
10
|
10 --
11
|
|
2
|
:
|
5
|
5 --
11
|
|
2
|
:
|
16
|
4 --
11
|
|
3
|
:
|
10
|
10 --
11
|
|
3
|
:
|
21
|
9 --
11
|
|
4
|
:
|
16
|
4 --
11
|
|
4
|
:
|
27
|
3 --
11
|
|
5
|
:
|
21
|
9 --
11
|
|
5
|
:
|
32
|
8 --
11
|
|
6
|
:
|
27
|
3 --
11
|
|
6
|
:
|
37
|
2 --
11
|
|
7
|
:
|
32
|
8 --
11
|
|
7
|
:
|
43
|
7 --
11
|
|
8
|
:
|
38
|
2 --
11
|
|
8
|
:
|
49
|
1 --
11
|
|
9
|
:
|
43
|
7 --
11
|
|
9
|
:
|
54
|
6 --
11
|
|
10
|
:
|
49
|
1 --
11
|
|
11 |
: |
00 |
|
|
11
|
:
|
54
|
6 --
11
|