SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১০ দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক সমস্যাবলী (15-21) Part 2

দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক সমস্যাবলী:

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১০ দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক সমস্যাবলী (1-14) Part 1

১৫. কোনো স্থান থেকে একটি মিনারের দিকে 60 মিটার এগিয়ে আসলে মিনারের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি 45⁰ থেকে 60⁰ হয়। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, মিনারের উচ্চতা AB=h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ADB=45⁰। D বিন্দু থেকে CD=60 মিটার এগিয়ে আসলে উন্নতি ∠ACB=60^০ হয়।

ধরি, BC=x মিটার

∴BD=BC+CD=(x+60) মিটার.

△ABC থেকে পাই,

               AB

tan60⁰= ------

               AC

               h

বা, √3=------

               x

             h

বা, x=------ ….(i)

            √3

আবার, △ABD থেকে পাই,

                AB

tan45⁰=------

                BD

            h

বা, 1=--------

           x+60

বা, h=x+60

            h

বা, h=----+60

           √3 

[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]

             h

বা, h - ----=60

           √3 

     √3h-h

বা, --------=60

        √3

বা, √3-h=60.√3

বা, h(√3-1)=60.√3

           60√3

বা, h=----------

           (√3-1)

বা, h=141.962 (প্রায়)

∴মিনারটির উচ্চতা 141.962 মিটার (প্রায়)

১৬. একটি নদীর তীর কোনো এক স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসোজি অপর তীরে অবস্থিত একটি টাওয়ারের উন্নতি কোণ 60⁰ । ঐ স্থান থেকে 32 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ 30⁰ হয়। টাওয়ারের উচ্চতা এবং নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB=h মিটার এবং টাওয়ারের উন্নতি ∠ACB=60⁰। C বিন্দু থেকে CD=96 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ∠ADB=30⁰ হয়।

ধরি, নদীর বিস্তার BC=x মিটার।

∴BD=BC+CD=(x+96) মিটার।

△ABC থেকে পাই,

                   AB

tan∠ACB =------

                   BC

                    h

বা, tan60⁰= ----

                    x

              h

বা, √3 =----

              x

            h

বা, x =----- …(i)

            √3

আবার, △ADB থেকে পাই,

                   AB

tan∠ADB =------

                   BD

                      h

বা, tan30⁰=---------

                     x+96

       1         h

বা, ----=---------

       √3     x+96

বা, √3.h=x+96

                h

বা, √3.h=----+96

               √3 

[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]

               h

বা, √3.h- ---- = 96

               √3 

     3h-h

বা, ----- = 96

       √3 

বা, 2h=96.√3

          96.√3       

বা, h=---------

              2

বা, h=83.138 (প্রায়)

(i) নং এ h এর মান বসিয়ে পাই,

    96. √3   1   

x=--------.------=48

        2       √3       

∴টাওয়ারের উচ্চতা 83.138 মিটার এবং নদীর বিস্তার 48 মিটার (প্রায়)।

১৭. 64 মিটার লম্বা একটি খুটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ না হয়ে ভূমির সাথে 60⁰ উৎপন্ন করে। খুটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, খুটিটির উচ্চতা AB=64 মিটার। খুটিটির C বিন্দুতে x মিটার অংশ ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ∠BDC=60⁰ কোণ উৎপন্ন করে।

∴AC=CD=x মিটার

∴BC=(64-x) মিটার

এখন, △BCD এ

                   BC

sin∠BDC =------

                   CD

                   64-x

বা, sin60⁰=---------

                     x

     √3     64-x

বা, ----=-------

        2       x

বা, √3x=128-2x

বা, (√3x+2x)=128

বা, x(√3+2)=128

            128

বা, x=----------

           √3+2

বা, x=34.298 (প্রায়)।

∴খুটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য=34.298 মিটার।

১৮. একটি গাছ এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 30⁰ কোণ করে গাছের গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, গাছটির সম্পূর্ণ অংশের দৈর্ঘ্য AB=h মিটার, গাছটি BC=x মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙ্গা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD=30⁰ উৎপন্ন করে গাছটির গোড়া থেকে BD=30 মিটার দূরে মাটি স্পপর্শ করে।

এখানে, CD=AC=AB-BC=(h-x) মিটার।

এখন, △BCD এ

                   BD

tan∠BDC =-------

                   BC

                   12

বা, tan30⁰=-------

                     x

      1       12

বা, ----=-------

      √3      x

বা, x=12√3….(i)

আবার,

                   BD

sin∠BDC =------

                   CD

                   12

বা, sin30⁰=-------

                   h- x

      1       12

বা, ----=-------

       2      h- x

বা, h-x=24

বা, h=24+x

বা, h=24+12√3 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

বা, h=44.785 (প্রায়)।

∴গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য= 44.785 মিটার (প্রায়)।

১৯. একটি নদির তীরে কোনো স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসুজি অপর তীরে অবস্থিত 150 মিটার লম্বা একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30⁰। লোকটি একটি নৌকা যোগে গাছটিকে লক্ষ্য করে যাত্রা শুরু করলো। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে লোকটি গাছ থেকে 10 মিটার দূরে তীরে পৌছাল।

ক) উপরোক্ত বর্ণনাটি চিত্রের মাধ্যমে দেখাও।

সমাধানঃ

মনে করি, নদীর বিস্তার AB=x মিটার, A বন্দুতে BC=150 মিটার গাছে শীর্ষের উন্নতি  ∠ACB=30⁰ এবং অপর তীরে নৌকার অবস্থান D বিন্দুতে হলে AD=y মিটার এবং BD=10 মিটার।

খ) নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।

এখন, △ABC এ

                   BC

tan∠CAB =------

                   AB

                    150

বা, tan30⁰=-------

                       x

     1      150

বা, ----=-------

     √3       x

বা, x=150√3

বা, x=259.808 (প্রায়)

∴নদীর বিস্তার 259.808 মিটার (প্রায়)

গ) লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্নয় কর।

সমাধানঃ

△ABD থেকে পাই,

AD²=AB²+BD²

বা, AD²=(150√3)²+10²

বা, AD²=67500+100

বা, AD²=67600

বা, AD=√67600

বা, AD=260

∴লোকটির যাত্রা স্থান থেকে অবতরনের স্থানের দূরত্ব 260 মিটার।

২০. 16 মিটার দীর্ঘ্য একটি মই লম্বভাবে দণ্ডায়মান একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে রাখা হলো। ফলে এটি ভূমির সাথে 60⁰ কোণ উৎপন্ন করল।

ক) উদ্দীপক অনুসারে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

মনে করি, দেওয়ালের উচ্চতা AB=h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC=16 মিটার এবং মইটি ভূমির সাথে ∠ACB=60⁰ কোণ উৎপন্ন করে।

খ) দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখন, △ABC এ

                   AB

sin∠ACB =------

                   AC

                    h

বা, sin60⁰=-------

                    16

      √3     h

বা, ----=------

       2      16

বা, 2h=16.√3

বা, h=16. √3/2

বা, h=8√3=13.86 (প্রায়)

∴দেওয়ালের উচ্চতা=13.86 মিটার (প্রায়)

গ) দেওয়ালের সাথে ঠেস দিয়ে রাখা অবস্থায় মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আর কতদূর সরালে মইটি ভূমির সাথে 30⁰ কোণ উৎপন্ন করবে?

সমাধানঃ

খ হতে পাই, AB=8√3 মিটার

মনে করি, মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে x মিটার ভূমি বরাবর সরানো হয়।

এখন, AC=DE=16 মিটার এবং BE=BC+x

এখানে,

BC²+AB²=AC²

বা, BC²=AC²-AB²

বা, BC²=(16)²-(8√3)²

বা, BC²=64

বা, BC=8

∴BE=8+x

অতএব,

               8+x

cos30⁰ =------

                16

      √3    8+x

বা, ----=------

       2       16

বা, 16+2x=16.√3

বা, 2x=16. √3-16

         16. √3-16

বা, x=------------

                 2

বা, x=5.86

∴মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আরও 5.86 মিটার সরালে মইটি ভূমির সাথে 30⁰ কোণ উৎপন্ন করবে।

২১. চিত্রে,CD=96 মিটার

ক) ∠CAD এর ডিগ্রি পরিমাপ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

চিত্র অনুসারে,

∠BCA+∠ACD=180⁰

বা,  ∠ACD=180⁰-∠BCA

বা,  ∠ACD=180⁰-60⁰  [চিত্রে, ∠BCA=60⁰]

বা,  ∠ACD=120⁰…..(i)

△ACD এ

∠ACD+∠CDA+∠CAD=180⁰

বা,  ∠CAD=180⁰-∠ACD-∠CDA

বা,  ∠CAD=180⁰-120⁰-30⁰ [(i) নং থেকে মান বসিয়ে ও চিত্র থেকে ∠CDA=30⁰ বসিয়ে]

বা,  ∠CAD=30⁰

খ) BC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, AB=h মিটার এবং এর উন্নতি ∠ACB=60⁰। C বিন্দু থেকে CD=96 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ ∠ADB=30⁰.

ধরি, BC=x মিটার।

 ∴B=BC+CD=(x+96) মিটার।

এখন, △ABC এ

                    AB

tan∠ACB =------

                    BC

                    h

বা, tan60⁰=-------

                     x

               h

বা, √3=------

                x

           h

বা, x=------….(i)

           √3

আবার, △ABD এ

                    AB

tan∠ADB =------

                    BD

                     h

বা, tan30⁰=-------

                    x+96

     1          h

বা, ----=---------

    √3      x+96

বা, √3h=x+96

বা, √3h-x=96

                h

বা, √3.h- ---- = 96

               √3

     3h-h

বা, ------- = 96

      √3

বা, 2h=96.√3

বা, h=96.√3/2

বা, h=48√3

(i) নং সমীকরণে h এর মান বসিয়ে পাই,

     48√3

x=--------

       √3

বা, x=48

∴BC এর দৈর্ঘ্য=48 মিটার।

গ) △ACD এর পরিসীমা নির্ণয় কর।    

সমাধানঃ

খ হতে পাই,

AB=h=48√3 মিটার এবং BC=48 মিটার

BD=BC+CD=48+96=144 মিটার

△ABC এ

AC²=AB²+BC²

বা,  AC²=(48√3)²+(48)²

বা,  AC²=(48√3)²+(48)²

বা,  AC²=6912+2304

বা,  AC²=9216

বা,  AC=96…………(i)

আবার,

△ABD এ

AD²=AB²+BD²

বা,  AD²=(48√3)²+(144)²

বা,  AD²=6912+20736

বা,  AD²=27648

বা,  AD=166.28……….(ii)

∴△ACD এর পরিসীমা=AC+CD+AD=96+96+166.28=358.28 মিটার (প্রায়)

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।