SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১১.১ অনুপাত (10-20) Part 2

অনুপাতঃ

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১১.১ অনুপাত (1-9) Part 1

১০.	x	=	4ab ----- a+b		হলে
	দেখাও যে,
	x+2a ------ x-2a		+	x+2b ------ x-2b		=	2
সমাধানঃ
দেওয়া আছে		x	=	4ab ----- a+b
বা,	x -- 2a	=	4ab -------- 2a(a+b)			[2a দ্বারা ভাগ করে]
বা,	x -- 2a	=	2b ------- a+b
বা,	x+2a ------ x-2a		=	2b+a+b --------- 2b-(a+b)
		[যোজন-বিয়োজন করে]
বা,	x+2a ------ x-2a		=	2b+a+b --------- 2b-a-b)
বা,	x+2a ------ x-2a		=	3b+a ------- b-a			….(i)
আবার,		x	=	4ab ----- a+b
বা,	x -- 2b	=	4ab -------- 2b(a+b)			[2b দ্বারা ভাগ করে]
বা,	x -- 2b	=	2a ------ a+b
বা,	x+2b ------- x-2b		=	2a+a+b ------ 2a-a-b
		[যোজন বিয়োজন করে]
বা,	x+2b ------- x-2b		=	3a+b ------ a-b			…(ii)
LHS
=	x+2a ------ x-2a		+	x+2b ------ x-2b
=	3b+a ------- b-a		+	3a+b ------ a-b		[(i) ও (ii) থেকে মান বসিয়ে]
=	3b+a ------- b-a		-	3a+b ------ b-a
=	3b+a-3a-b --------------- b-a
=	2b-2a -------- b-a
=	2(b-a) -------- b-a
=	2
=	RHS				[Proved]

-

১১.	x	=	3√(m+a)+ 3√(m-a) ---------------------- 3√(m+a)- 3√(m-a)	হলে,
	প্রমাণ কর যে,
	x3-3mx2+3x-m=0
সমাধানঃ			দেওয়া আছে,
	x	=	3√(m+a)+ 3√(m-a) ---------------------- 3√(m+a)- 3√(m-a)
বা,	x+1 ---- x-1
	=	3√(m+a)+ 3√(m-a)                  + 3√(m+a)- 3√(m-a)     ------------------------------------             3√(m+a)+ 3√(m-a)                    -3√(m+a)+ 3√(m-a)
বা,	x+1 ---- x-1		2.3√(m+a) =       ----------- 2.3√(m-a)
বা,	x+1 ---- x-1		3√(m+a) =       --------------- 3√(m-a)
বা,	(x+1)3 ------- (x-1)3		{3√(m+a)}3 =        -------------- {3√(m-a)}3	[ঘন করে]
বা,	(x+1)3 ------ (x-1)3		m+a =           --------- m-a
বা,	m+a ----- m-a		x3+3x2+3x+1 =  -----------------    x3-3x2+3x-1
বা,	m+a+m-a ------------ m+a-m+a
	=	x3+3x2+3x+1+ x3-3x2+3x-1 ------------------------------- x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1
			[যোজন বিয়োজন]
বা,	2m --- 2	=	2x3+6x ----------- 2+6x2
বা,	m	=	2(x3+3x) ------------ 2(1+3x2)
বা,	m	=	x3+3x ------------ 1+3x2
বা,	x3+3x   =    m+3mx2
বা,	x3-3mx2+3x-m  = 0 [প্রমাণিত]

-

১২.	x		=	√(2a+3b)+ √(2a-3b) ------------------------- √(2a+3b)+ √(2a-3b)
	হলে, প্রমাণ কর যে,
	3bx2-4ax+3b = 0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
	x		=	√(2a+3b)+ √(2a-3b) ------------------------- √(2a+3b)+ √(2a-3b)
বা,	x+1 ----- x-1		=	√(2a+3b)+ √(2a-3b) +√(2a+3b)+ √(2a-3b) -------------------------- √(2a+3b)+ √(2a-3b) -{√(2a+3b)+ √(2a-3b)}
				[যোজন বিয়োজন করে]
বা,	x+1 -----    x-1		=	2√(2a+3b) ------------- 2√(2a-3b)
বা,	x+1 -----    x-1		=	√(2a+3b) ----------- √(2a-3b)
বা,	(x+1)2 ------- (x-1)2		=	(2a+3b) ----------- [বর্গ করে] (2a-3b)
বা,	x2+2x+1 ----------- x2-2x+1			2a+3b =  --------      2a-3b
বা,	x2+2x+1+ x2-2x+1 ----------------------- x2+2x+1- x2+2x-1
			=	2a+3b+2a-3b -----------------  2a+3b-2a+3b
বা,	2x2+2 --------    4x		=	4a ---- 6b
বা,	x2+1 --------    2x		=	2a ---- 3b
বা, 3b(x2+1) = 4ax
বা, 3bx2-4ax+3b = 0 [প্রমাণিত]

-

১৩.	a2+b2 ------- b2+c2	=	(a+b)2 -------- (b+c)2
	হলে, প্রমাণ কর যে a, b, c ক্রমিক সমাণুপাতী।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
	a2+b2 ------- b2+c2	=	(a+b)2 -------- (b+c)2
বা,	(a2+b2)(b+c)2            =(b2+c2)(a+b)2
বা,	(a2+b2)(b2+c2+2bc)        =(b2+c2)(a2+b2+2ab)
বা,	a2b2+b4+a2c2+b2c2+2a2bc+2b3c =a2b2+a2c2+b4+b2c2+2ab3+2abc2
বা,	a2b2+b4+a2c2+b2c2+2a2bc+2b2c -a2b2-a2c2-b4-b2c2=2ab3+2abc2
বা,	2a2bc+2b3c=2ab3+2abc2
বা,	2b(a2c+b2c)=2b(ab2+ac2)
বা,	a2c+b2c= ab2+ac2
বা,	a2c-ac2= ab2-b2c
বা,	ac(a-c)=b2(a-c)
বা,	ac=b2
বা,	ac=b.b
বা,	a/b=b/c
অর্থাৎ a, b, c ক্রমিক সমাণুপাতী (প্রমাণিত)

-

১৪.	x --- b+c	=	y --- c+a	=	z --- a+b
	হলে, প্রমাণ কর যে,
	a ------ y+z-x	=	b ------ z+x-y	=	c ------ x+y-z
সমাধানঃ
মনে করি,
	x --- b+c	=	y --- c+a	=	z --- a+b	=	k
∴ x=k(b+c); y=k(c+a); z=k(a+b)
১ম পক্ষ
=	a ------ y+z-x
=	a ---------------------------- k(c+a)+k(a+b)-k(b+c)
=	a -------------------- k(c+a+a+b-b-c)
=	a --- 2ak
=	1 --- 2k
২য় পক্ষ
=	b ------ z+x-y
=	b -------------------------- k(a+b)+k(b+c)-k(c+a)
=	b -------------------- k(a+b+b+c-c-a)
=	b --- 2bk
=	1 --- 2k
৩য় পক্ষ
=	c ------ x+y-z
=	c -------------------------- k(b+c)+k(c+a)-k(a+b)
=	c -------------------- k(b+c+c+a-a-b)
=	c --- 2ck
=	1 --- 2k
∴	a ------ y+z-x	=	b ------ z+x-y	=	c ------ x+y-z
				[Proved]

১৫-২০ নং প্রশ্নের সমাধানঃ

সমাধানঃ VIEW