SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৬.১ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ

১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির ¾ অংশ হলে, বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এর অতিভুজ AC=25 মিটার।

একটি বাহু, BC=x

AB= ¾.x

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে,

AC²=BC²+AB²

বা,  (25)²=x²+ (¾.x)²

বা,  625=x²+9x²/16

বা,  10000=16x²+9x² [16 দ্বারা গুণ করে]

বা,  10000=25x²

বা,  x²=10000/25

বা,  x²=400

বা,  x=20

∴ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 20 মিটার।

তাহলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = ¾.x =¾.20=15 মিটার।

২. 20 মিটার লম্বা একটি মই দেওয়ালের সাথে খাড়া ভাবে আছে। মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে কতদূরে সরালে ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

সমাধানঃ

মনে করি, AB মই এর দৈর্ঘ্য 20 মিটার। এখন মইটি দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে রাখলে AB মই দেয়ালের CD বরাবর থাকে। অর্থাৎ AB=CD=20 মিটার। মইটির গোড়া B তে সরালে মই এর আগা 4 মিটার নিচে A তে নেমে আসে।

∴ AC=CD-AD=20-4=16 মিটার।

যেহেতু দেওয়াল ভূমি BC এর সাথে লম্ব

সেহেতু, AB²=AC²+BC²

বা,  (20)²=(16)²+BC²

বা,  400=256+BC²

বা,  BC²=400-256

বা,  BC²=144

বা,  BC=√144

বা, BC=12

∴ মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে 12 মিটার দূরে সরালে উপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে।

৩. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এর ভূমি BC=x.

শর্তমতে,

                 5x

AB=AC= ---------

                  6

এবং, AB+AC+BC=16

        5x          5x

বা,  ------- + -------- + x = 16

        6             6

       5x+5x+6x

বা, ------------------- = 16

           6

বা, 16x= 16 ✕ 6

বা, x = 6

                   5✕6

∴ AB=AC= --------- = 5

                     6

এখন, ত্রিভুজ ক্ষেত্রের পরিসীমা = 5+5+6=16 মিটার

∴ অর্ধপরিসীমা S=16/2=8 মিটার।

অতএব, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

=√{S(S-BC)(S-AC)(S-AB)}

=√{8(8-6)(8-5)(8-5)}

=√(8✕2✕3✕3)

=√144

=12 বর্গমিটার

∴ নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 25 সেমি ও 27 সেমি এবং পরিসীমা 84 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

ত্রিভুজটির ১ম বাহুর দৈর্ঘ্য a=25 সেমি

২য় বাহুর দৈর্ঘ্য b=27 সেমি

এবং এর পরিসীমা 84 সেমি।

তাহলে এর ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য c=(84-25-27) সেমি = 32 সেমি।

ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা s= 84/2 = 42 সেমি

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

=√{(s(s-a)(s-b)(s-c)}

=√{42(42-25)(42-27)(42-32)}

=√(42✕17✕15✕10)

=√107100

=327.261 বর্গ সেমি।

∴ নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 327.261 বর্গমিটার।

৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার।

                            √3

∴ এর ক্ষেত্রফল = -------a² বর্গমি

                              4

প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

   √3

=-------(a+2)² বর্গমি

     4

প্রশ্নমতে,

√3(a+2)²        √3a²

------------ = --------+6√3

   4                   4

বা, √3(a+2)²=√3a²+4.6√3 [4 দ্বারা উভয় পক্ষকে গুণ করে]

বা, √3(a+2)²=√3(a²+24)

বা,  (a+2)²=a²+24 [√3 দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]

বা,  a²+4a+4=a²+24

বা,  4a+4=24

বা,  4a=24-4

বা,  4a=20

বা,  a=20/4

বা,  a= 5

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার।

৬. একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ত্রিভুজের বাহু দুইটি যথাক্রমে a=26 মিটার, b=28 মিটার এবং a ও b বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= ½.ab.sinθ

=½✕26✕28✕sinθ

=364sinθ

প্রশ্নমতে,

364sinθ=182

বা,  sinθ=182/364

বা,  sinθ=½

বা,  θ=30⁰ [sin30⁰= ½]

∴ বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30⁰

৭. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a=10 মিটার এবং ভূমি =b মিটার।

আমরা জানি,

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

    b

=-----√(4a²-b²) বর্গ একক

   4

প্রশ্নমতে,

 b

-----√(4a²-b²) = 48

 4

বা,  b.√(4a²-b²)=192

বা,  b.√{4(10)²-b²}=192

বা,  b.√(400-b²)=192

বা,  {b.√(400-b²)}²=(192)²

বা,  b²(400-b²)=36864

বা,  400b²-b⁴=36864

বা,  b⁴-400b²+36864=0

বা,  b⁴-256b²-144b²+36864=0

বা,  b²(b²-256)-144(b²-256)=0

বা,  (b²-256)(b²-144)=0

বা,  b²=256  অথবা, b²=144

বা,  b=16         বা,  b=12

∴ ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 16 মিটার বা 12 মিটার।

৮. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা পরস্পর 135⁰ কোণ করে দুই দিকে চলে গেছে। দুইজন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘন্টায় 7 কিলোমিটার ও ঘণ্টায় 5 কিলোমিটার বেগে বিপরীত মুখে রওনা হলো। 4 ঘন্টা পর তাদের মধ্যে সরাসারি দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, নির্দিষ্ট স্থান B

এবং B থেকে লোক দুজন 7 কিমি ও 5 কিমি বেগে 4 ঘণ্টা পর যথাক্রমে C ও A বিন্দুতে পৌঁছে।

তাহলে, BC=7✕4=28 কিমি

এবং BA=5✕4=20 কিমি

দেওয়া আছে, ∠ABC=135⁰

BC এর বর্ধিতাংশ এর উপর AD লম্ব আঁকি।

এখন, △ABD-এ

∠ABD=180⁰-135⁰=45⁰

এবং ∠ADB=90⁰

∴ ∠BAD=45⁰

∴ AD=BD

আবার, △ABD-এ

AB²=AD²+BD²

বা,  (20)²=BD²+BD²

বা,  400=2BD²

বা,  BD²=400/2

বা,  BD²=200

বা,  BD=√200

বা,  AD=BD=14.14 কিমি

এবং, DC=14.14+28=42.14 কিমি

এখন, △ADC-এ

AC²=AD²+DC²

বা,  AC²=(14.14)²+(42.14)²

বা,  AC²=200+1775.7796

বা,  AC²=1975.7796

বা,  AC=44.45 কিমি

∴ 4 ঘন্টা পর তাদের মধ্যে সরাসারি দূরত্ব 44.45 কিমি (প্রায়)

৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু থেকে তিনটির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি, 7 সেমি ও 8 সেমি। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য AB=BC=AC=a. O এর অভ্যন্তরে একটি বিন্দু এবং O থেকে AB, BC, CA এর উপর লম্ব OF=6 সেমি; OD=7 সেমি; OE=8 সেমি।

O,B; O,A; O,C যোগ করি।

এখন,

△OBC এর ক্ষেত্রফল= ½.BC.OD= ½.a.7=3.5a 

△OCA এর ক্ষেত্রফল= ½.AC.OE= ½.a.8=4a 

△OAB এর ক্ষেত্রফল= ½.AB.OF= ½.a.6=3a

∴ △ABC এর ক্ষেত্রফল=△OBC এর ক্ষেত্রফল+△OCA এর ক্ষেত্রফল+△OAB এর ক্ষেত্রফল

                                    =3.5a+4a+3a=10.5a

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

  √3

=-----a²

   4

তাহলে,

√3

-----a²=10.5a

 4

বা,  √3a²=42a

বা,  (√3a²-42a)=0

বা,  a(√3a-42)=0

বা,  a=0 হতে পারে না

∴ √3a-42=0

বা,  √3a=42

              42

বা,  a=--------

           √3

              42√3

বা,  a=------------

           √3. √3

              42√3

বা,  a=---------

             3

বা, a=14√3

বা, a=24.2487

∴ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য=24.2487 সেমি

এবং △ABC এর ক্ষেত্রফল

   √3

= ------a²

     4

   √3

= ------(24.2487)²

     4

=254.61 বর্গসেমি

১০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমির 11/12 অংশ থেকে 6 সেমি কম এবং অতিভুজ ভূমির 4/3 অংশ থেকে  3 সেমি কম।

ক) ভূমি  x হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি x সেমি।

∴লম্ব

   11x

=------- - 6

    12

   11x-72

=----------- সেমি

      12

∴ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= ½✕ভূমি✕লম্ব

   1      11x-72

=----.--------.x

   2        12

   (11x-72)x

=-------------- বর্গ সেমি

        24

খ) ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি x সেমি হলে,

লম্ব

   11x

=------- - 6

   12

   11x-72

=----------- সেমি

      12

অতিভুজ

    4x

=------- - 3

     3

    4x-9

=----------- সেমি

      3

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে আমরা জানি,

(অতিভুজ)²=(ভুমি)²+(লম্ব)²

     (4x-9)²             (11x-72)²

বা, ---------= x² +-------------

        3²                    12²

      (4x-9)²             (11x-72)²

বা, ---------= x² +-------------

         9                      144

বা, 16(4x-9)²=144x²+(11x-72)² [উভয়পক্ষকে 144 দ্বারা গুণ করে]

বা, 16(16x²-72x+81)=144x²+121x²-1584x+5184

বা,  256x²-1152x+1296=265x²-1584x+5184

বা,  256x²-1152x+1296-265x²+1584x-5184=0

বা,  -9x²+432x-3888=0

বা,  x²-48x+432=0 [উভয়পক্ষকে -9 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  x²-12x-36x+432=0

বা,  x(x-12)-36(x-12)=0

বা,  (x-12)(x-36)=0

বা,  x-12=0      অথবা, x-36=0

বা,  x=12          বা,  x=36

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি বা 36 সেমি।

গ) ত্রিভুজটির ভূমি 12 সেমি হলে এর পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 12 সেমি হলে,

শর্তমতে,

লম্ব

   11✕12

=----------- - 6

    12

=11-6

=5 সেমি

এবং অতিভুজ

    4✕12

=----------- - 3

       3

=16-3

=13 সেমি

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = ভূমি+লম্ব+অতিভূজ=12+5+13=30 সেমি।

এখন কোনো সমবাহু ত্রিভূজের পরিসীমা 30 সেমি হলে,

এর বাহুর দৈর্ঘ্য a =30/3=10 সেমি।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

   √3.a²

=--------

      4

   √3.(10)²

=------------

        4

   √3.100

=------------

        4

=√3.25

=43.301 বর্গ সেমি।

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।