SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৩.১ সমান্তর ধারা (16-24) Part 2

সমান্তর ধারাঃ

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৩.১ সমান্তর ধারা (1-15) Part 1

১৬. 2+4+6+8+……ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি সমান্তর ধারা,

ধারাটির প্রথম পদ a=2

সাধারণ অন্তর d=4-2=2

সমষ্টি S=2550

পদ সংখ্যা n=?

আমরা জানি,

n সংখ্যক পদের সমষ্টি S

      n

S=-----{2a+(n-1)d}

      2

বা,  2S=n(2a+nd-d)

বা,  2.2550=2an+n²d-nd

বা,  2.2550=2.2n+n².2-n.2

বা,  2.2550=2(2n+n²-n)

বা,  2550=n+n²

বা,  n²+n-2550=0

বা,  n²+51n-50n-2550=0

বা,  n(n+51)-50(n+51)=0

বা,  (n-50)(n+51)=0

বা,  n-50=0      অথবা, n+51=0

বা,  n=50         বা,  n=-51

পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴n=50

১৭. কোনো ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n+1) হলে, ধারাটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

n সংখ্যক পদের সমষ্টি শ S_n = n(n+1)=n²+n

এখন, n=1, 2, 3….বসিয়ে পাই,

S₁=1²+1=1+1=2

S₂=2²+2=4+2=6

S₃=3²+3=9+3=12

∴প্রথম পদ=2

২য় পদ=S₂-S₁=6-2=4

৩য় পদ= S₃-S₂=12-6=6

∴নির্ণেয় ধারা = 2+4+6+…………….

১৮. কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n+1) হলে, ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

n সংখ্যক পদের সমষ্টি শ S_n = n(n+1)=n²+n

এখন, n=10 হলে,

S₁₀=10²+10=100+10=110

∴ ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি 110

১৯. একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্ত মতে,

          n

144=-----{2a+(n-1)d}

          2

বা,  2.144=n{2a+(n-1)d}

বা,  2.144=12{2a+12d-d} [১ম শর্তে n=12]

বা,  24=2a+11d

বা,  2a+11d=24………….(i)

২য় শর্তে,

          n

560=-----{2a+(n-1)d}

          2

বা,  2.560=n(2a+nd-d)

বা,  2.560=20(2a+20d-d) [২য় শর্তে n=12]

বা,  56=2a+19d

বা,  2a+19d=56………………(ii)

(i)-(ii) করে পাই,

-8d=-32

বা,  8d=32

বা,  d=32/8

বা,  d=4

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2a+11.4=24

বা,  2a+44=24

বা,  2a=24-44

বা,  2a=-20

বা,  a=-20/2

বা,  a=-10

∴প্রথম 6 পদের সমষ্টি

    6

=-----{2a+(6-1)d}

    2

=3{2.(-10)+5.4}

=3{-20+20}

=3✕0

=0

২০. কোনো সমান্তরর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম (m+n) পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,

     m

n=-----{2a+(m-1)d}

      2

বা,  2n=m{2a+md-d}

বা,  2n=2am+m²d-md………………(i)

২য় শর্তমতে,

      n

m=-----{2a+(n-1)d}

       2

বা,  2m=n{2a+nd-d}

বা,  2m=2an+n²d-nd…………………..(ii)

(i) নং কে n দ্বারা ও (ii) নং কে m দ্বারা গুণ করে পাই,

2n²=2anm+nm²d-nmd

2m²=2anm+mn²d-nmd

---------------------------------

(-) করে, 2n²-2m²=nm²d-mn²d

বা,  2n²-2m²=nm²d-mn²d

বা,  2(n²-m²)=dmn(m-n)

বা,  dmn(m-n)=2(n-m)(m+n)

বা,  dmn(m-n)=2(n-m)(m+n)

বা,  dmn(m-n)=-2(m-n)(m+n)

বা,  dmn=-2(m+n)……………………..(iii)

এখন, (m+n) পদের সমষ্টি

    m+n

=---------{2a+(m+n-1)d}

      2

   (m+n)(2a+md+nd-d)

=---------------------------

                2

   2am+m²d+mnd-md+2an+mnd+n²d-nd

= ---------------------------------------------

                         2

  (2am+m²d-md)+(2an+n²d+nd)+2mnd

=---------------------------------------------

                              2

   2m+2n+2mnd

=-------------------

         2

=m+n+mnd

=m+n-2(m+n) [(iii) হতে মান বসিয়ে]

=-(m+n)

∴ (m+n) পদের সমষ্টি -(m+n)

২১. কোনো সমান্তর ধারায় p তম, q তম ও r তম পদ যথাক্রমে a,b,c হলে, দেখাও যে, a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0

সমাধানঃ

মনে করি,

সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = x

এবং সাধারণ অন্তর = d

তাহলে, P তম পদ = x+(p-1)d = a

q তম পদ = x+(q-1)d = b

r তম পদ = x+(r-1)d = c

এখন,

LHS

= a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)

={x+(p-1)d}(q-r)+{x+(q-1)d}(r-p)+{x+(r-1)d}(p-q) [ মান বসিয়ে]

=x(q-r)+(p-1)(q-r)d+x(r-p)+(q-1)(r-p)d+x(p-q)+(r-1)(p-q)d

=x(q-r+r-p+p-q)+d{(p-1)((q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)

=x✕0+d(pq-pr-q+r+qr-pq+p-r+pr-qr-p+q)

=0+d✕0

=0+0

=0

=RHS [Proved]

২২. দেখাও যে, 1+3+5+7+….+125=169+171+173+…+209.

সমাধানঃ

LHS=1+3+5+7+….+125

এখানে, a=1

সাধারণ অন্তর d=3-1=2

∴ n তম পদ, a+(n-1)d=125

বা,  1+(n-1)2=125

বা,  1+2n-2=125

বা,  2n-1=125

বা,  2n=125+1

বা,  2n=126

বা,  n=126/2

বা,  n=63

∴ধারাটির সমষ্টি

    n

=-----{2a+(n-1)d}

    2

   63

=-----{2.1+(63-1)2}

    2

   63

=-----{2+62✕2}

    2

   63

=-----{2+124}

    2

   63

=-----✕126

    2

=63✕63

=3969

RHS=169+171+173+…+209

এখানে, a=169

সাধারণ অন্তর d=171-169=2

∴ n তম পদ, a+(n-1)d=209

বা,  169+(n-1)2=209

বা,  169+2n-2=209

বা,  167+2n=209

বা,  2n=209-167

বা,  2n=42

বা,  n=42/2

বা,  n=21

∴ধারাটির সমষ্টি

    n

=-----{2a+(n-1)d}

    2

   21

=-----{2.169+(21-1)2}

    2

   21

=-----{338+40}

    2

   21

=-----✕378

    2

=21✕189

=3969

∴ LHS=RHS [Proved]

২৩. এক ব্যক্তি 2500 টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে 2 টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি 1 টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তাঁর ঋণ শোধ করতে পারবেন?

সমাধানঃ

প্রশ্নমতে, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। আর তা হলো-

1+3+5+7+………………

ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2500, যেখানে n এর মানই হবে নির্ণেয় কিস্তির পরিমাণ।

এখন, মনে করি ধারাটির প্রথম পদ a=1

এবং সাধারণ অন্তর d=3-1=2

আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি

      n

S=-----{2a+(n-1)d}

      2

                 n

বা, 2500=----- {2a+(n-1)d}

                 2

বা,  2.2500=n{2.1+(n-1)2}

বা,  2.2500=n(2+2n-2)

বা,  2.2500=n(2n)

বা,  2500=n²

বা,  n=√2500

বা,  n=50

∴50টি কিস্তিতে ঐ ব্যাক্তির ঋণ শোধ করতে পারবেন।

২৪. কোন সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, l তম পদ l² এবং k তম পদ k²।

ক) ধারাটির প্রথম a পদ এবং সাধারণ অন্তর d ধরে উদ্দীপকের আলীকে দুইটি সমীকরণ তৈরি কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

ধারাটির l তম পদ = a+(l-1)d

এবং k তম পদ = a+(k-1)d

প্রশ্নমতে,

a+(l-1)d=l²………….(i)

a+(k-1)d=k²…………(ii)

খ) (l+k) তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(i)-(ii) করে পাই,

(l-1)d-(k-1)d=l²-k²

বা,  d(l-1-k+1)=l²-k²

বা,  d(l-k)=(l-k)(l+k)

বা,  d=l+k…………(iii)

এখন,

(l+k) তম পদ

= a+(l+k-1)d

=a+(l-14)d+kd

=l²+kd [(i) থেকে]

=l²+k.(l+k) [(iii) থেকে]

=l²+lk+k²

গ) প্রমাণ কর ধারাটির প্রথম (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি

l+k

------(l²+k²+l+k)

 2  

সমাধানঃ

খ হতে পাই,

d=l+k

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

a+(l-1)(l+k)=l²

বা,  a+l²-l+lk-k=l²

বা,  a=l²-l²+l-lk+k

বা,  a=l-lk+k

আমরা জানি, সামন্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

       n

S_n=-----{2a+(n-1)d}

      2

∴ (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি

         l+k

S_l+k=-------{2(l-lk+k)+(l+k-1)(l+k)}

          2

  (l+k) {2(l-lk+k)+(l+k-1)(l+k)}

=---------------------------------

                  2

  (l+k)(2l-2lk+2k)+(l²+lk-l+lk+k²-k)

=---------------------------------------

                  2

  (l+k){2l-2lk+2k+l²+lk-l+lk+k²-k)

=---------------------------------------

                  2

   (l+k)

=-------- (l²+k²+l+k) [Proved]

      2

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।