SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৪.২ জ্যামিতিক সদৃশ (11-13) Part 2

জ্যামিতিক সদৃশঃ

এই অধ্যায়ের পূর্বের অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৪.২ জ্যামিতিক সদৃশ (1-10) Part 1

১১. △ABC ও △DEF এর  ∠A=∠D। প্রমাণ কর যে, △ABC : △DEF = AB.AC : DE.DF

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, △ABC ও △DEF এর  ∠A=∠D। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC : △DEF = AB.AC : DE.DF

অঙ্কনঃ

C ও F বিন্দু হতে AB ও DE এর উপর যথাক্রমে CG ও FH লম্ব আঁকি। তাহলে CG ও FH হবে ত্রিভুজ দুইটির উচ্চতা।

প্রমাণঃ

△AGC ও △DHF এর মধ্যে,

∠A=∠D [দেওয়া আছে]

এবং ∠AGC=∠DHF [প্রত্যেকে সমকোণ-অঙ্কনানুসারে]

অবশিষ্ট ∠ACG=অবশিষ্ট ∠DFH

∴ △ABC ও △DEF সদৃশকোণী তথা সদৃশ

    AC          CG

∴ -------- = ---------….(i)

     DF           FH

△ABC এর ক্ষেত্রফল = ½.AB.CG  [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল=½✕ভুমি✕উচ্চতা ]

△DEF এর ক্ষেত্রফল = ½.AB.CG  [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল=½✕ভুমি✕উচ্চতা ]

    △ABC             ½.AB.CG

∴ ------------- = ------------------

    △DEF             ½.AB.CG 

        △ABC           AB.CG

বা,  ------------ = -------------

        △DEF           AB.CG 

        △ABC          AB.AC

বা,  ------------ = -------------

        △DEF          AB.DF

[(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

বা, △ABC : △DEF = AB.AC : DE.DF (প্রমাণিত)

১২. △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। DA এর সমান্তরাল CE রেখাংশ বর্ধিত BA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) তথ্য অনুসারে চিত্রটি অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

তথ্য অনুসারে চিত্রটি অঙ্কিত হলোঃ-

খ) প্রমাণ কর যে, BD : DC = BA : AC

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

△ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। DA এর সমান্তরাল CE রেখাংশ বর্ধিত BA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, BD : DC = BA : AC

প্রমাণঃ

△BCE এ AD ।। CE

BD : DC = BA : AE ……. (i)

এখন,

∠BAD=∠AEC…….(ii) [অনুরুপ কোণ কারন AD ।। CE ও BE ছেদক]

এবং ∠CAD=∠ACE…….(iii) [একান্তর কোণ কারন AD ।। CE ও AC ছেদক]

আবার,

∠BAD=∠CAD  [AD, ∠A এর সমদ্বিখন্ডক]

বা, ∠AEC=∠ACE [(ii), (iii) হতে মান বসিয়ে]

এখন, △ACE-এ ∠AEC=∠ACE

∴ AC=AE

(i) নং এ AE=AC বসিয়ে পাই,

BD : DC = BA : AC (প্রমাণিত)

গ) BC এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, BD : DC = BP : CQ

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

△ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। DA এর সমান্তরাল CE রেখাংশ বর্ধিত BA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। BC এর সমান্তরাল PQ রেখাংশ AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করতে হবে যে, BD : DC = BP : CQ

প্রমাণঃ

খ হতে পাই,

BD : DC = BA : AC………(i)

এখন BC ।। PQ

∴ BA : BP = AC : CQ

       BA           AC

বা, ------- = ---------

       BP           CQ

       BA           BP

বা, ------- = ---------

       AC           CQ

বা, BA : AC = BP : CQ…….(ii)

(i), (ii) তুলনা করে পাই,

BD : DC = BP : CQ (প্রমাণিত)

১৩. চিত্রে ABC এবং DEF দুইটি সদৃশ ত্রিভুজ।

ক) ত্রিভুজ দুইটির অনুরুপ বাহু ও অনুরুপ কোণগুলোর নাম লিখ।

সমাধানঃ

ত্রিভুজ দুইটির অনুরুপ বাহুগুলো হলোঃ AB, DE; AC, DF ও BC, EF

এবং অনুরুপ কোণগুলো হলোঃ ∠A, ∠D; ∠B, ∠E ও ∠C, ∠F

খ) প্রমাণ কর যে,

△ABC          AB²        AC²       BC²

--------- = ------- = ------- = -------

△DEF          DE²       DF²        EF²

সমাধানঃ

চিত্রে, △ABC ও △DEF সদৃশ এবং A থেকে AM, BC এর উপর ও D থেকে DN, EF এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে,

△ABC         AB²       AC²       BC²

----------- = ------- = ------- = -------

△DEF         DE²      DF²        EF²

প্রমাণঃ

△ABC ও △DEF সদৃশ

   AB         AC        BC

∴------ = ------ = -------….(i)

   DE         DF        EF

[সদৃশ ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত সমান হয়]

      AB²       AC²       BC²

বা, ------ = ------ = -------…..(ii)

      DE²       DF²       EF²

এবং,

 △ABC          ½.BC.AM

---------- = -------------

 △DEF          ½.EF.DN

[ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রমতে]

       △ABC          BC.AM

বা, ---------- = --------- …..(iii)

       △DEF          EF.DN

এখন,

△ABM ও △DEN এর মধ্যে

∠M=∠N=90⁰

এবং ∠B=∠E [△ABC ও △DEF সদৃশ]

∴ অবশিষ্ট ∠BAM=অবশিষ্ট ∠EDN

 তাহলে, △ABM ও △DEN সদৃশকোণী তথা সদৃশ

    AM         AB

∴ ------- = -------

    DN         DE

      AM         BC

বা, ------- = -------

      DN         EF

[(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

এই মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

 △ABC           BC.BC

 ---------- = ---------

 △DEF           EF.EF

        △ABC          BC²

বা,  ---------- = -------…..(iv)

       △DEF           EF²

(ii) ও (iv) তুলনা করে পাই,

△ABC          AB²        AC²        BC²

--------- = ------- = ------- = ---------

△DEF          DE²        DF²        EF²

(প্রমাণিত)।

গ) যদি BC=3 সেমি, EF=8 সেমি, ∠B=60⁰, BC/AB=3/2 এবং △ABC এর ক্ষেত্রফল 3 বর্গসেমি হয়, তবে △DEF অঙ্কন কর এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

BC/AB=3/2

বা, 3/AB=3/2 [BC=3 সেমি]

বা, AB=2

△ABC এর ক্ষেত্রফল= ½.BC.AM=3

বা, ½.3.AM=3

বা, AM=2

আবার,

AB/BC=DE/EF

             AB✕EF

বা, DE=----------

               BC 

              2✕8

বা, DE=--------

               3 

বা, DE=5.3 সেমি (প্রায়)

এবং, AM/DN=BC/EF

              AM✕EF

বা, DN=------------

               BC 

              2✕8

বা, DN=----------

                3 

বা, DN=5.3 সেমি (প্রায়)

∴ △DEF এর ক্ষেত্রফল= ½.EF.DN=½.8.(5.3)=21.2 বর্গ সেমি।

এখন, ∠B=∠C=60⁰; DE=5.3 সেমি; EF=8 সেমি নিয়ে ত্রিভুজটি আঁকা হলোঃ

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।