SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৩.১ সমান্তর ধারা (1-15) Part 1

সমান্তর ধারাঃ

১. 13+20+27+34+….+111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক) 10 খ) 13 গ) 15 ঘ) 20

উত্তরঃ গ

২. 5+8+11+14+…+62 ধারাটি

(i) একটি সসীম ধারা

(ii) একটি গুণোত্তর ধারা

(iii) এর 19 তম পদ 59

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii   গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

নিচের তথ্যের আলোকে ৩-৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

7+13+19+25+…….. একটি ধারা।

৩. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?

ক) 85   খ) 91   গ) 97    ঘ) 104

উত্তরঃ খ

৪. ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?

ক) 141   খ) 1210   গ) 1280   ঘ) 2560

উত্তরঃ গ

৫. 2-5-12-19-…….. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12 তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, এর প্রথম পদ a=2

সাধারণ অন্তর d=২য় পদ-১ম পদ=(-5)-2=-5-2=-7

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ =a+(n-1)d

∴ধারাটির 12 তম পদ

= a+(12-1)d

=2+11.(-7)

=2-77

=-75

∴ধারাটির সাধারণ অন্তর -7 এবং 12 তম পদ -75

৬. 8+11+14+17+…..ধারাটির কোন পদ 392?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=2

সাধারণ অন্তর d=11-8=3

মনে করি, n তম পদ=392

তাহলে,

a+(n-1)d=392

বা,  8+(n-1)3=392

বা,  (n-1)3=392-8

বা,  3n-3=384

বা,  3n=384+3

বা,  3n=387

বা,  n=387/3

বা,  n=129

অতএব, ধারাটির 129 তম পদ 392.

৭. 4+7+10+13+…….ধারাটির কোন পদ 301?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=4

সাধারণ অন্তর d=7-4=3

মনে করি, r তম পদ=301

তাহলে,

a+(r-1)d=301

বা,  4+3r-3=301

বা,  3r+1=301

বা,  3r=301-1

বা,  3r=300

বা,  r=300/3

বা,  r=100

অতএব, ধারাটির 100 তম পদ 301.

৮. কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির (m+n) তম পদ কত?

সমাধানঃ

মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d

∴m তম পদ=a+(m-1)d=a+md-d

∴n তম পদ=a+(n-1)d=a+nd-d

প্রশ্ন অনুসারে,

a+md-d=n………..(i)

a+nd-d=m……….(ii)

-----------------------

(-) md-nd=n-m

বা,  d(m-n)=n-m

বা,  d(m-n)=-(m-n)

বা,  d=-1

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

a+m(-1)-(-1)=n

বা,  a-m+1=n

বা,  a=n+m-1

এখন (m+n) তম পদ

=a+(m+n-1)d

=m+n-1+(m+n-1)(-1)

=m+n-1-m-n+1

=0

∴ ধারাটির (m+n) তম পদ 0

৯. 1+3+5+7+……ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

প্রথম পদ a=1

সাধারণ অন্তর, d=3-1=2

পদসংখ্যা=n

ধারাটির সমষ্টি

    n

=----- {2a+(n-1)d}

    2

    n

=----- {2.1+(n-1)2}

    2

    n

=----- {2+2n-2}

    2

    n

=----- ✕2n

    2

=n²

∴ ধারাটির n পদের সমষ্টি n²

১০. 8+16+24+………ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,

ধারার ১ম পদ a=8

সাধারণ অন্তর d=16-8=8

পদের সংখ্যা n=9

সমষ্টি

    n

=----- {2a+(n-1)d}

    2

∴9টি পদের সমষ্টি

    9

=----- {2.8+(9-1)8}

    2

    9

=----- (16+64)

    2

    9

=----- ✕80

    2

=360

∴ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি 360

১১. 5+11+17+23+……..+59=কত?

সমাধানঃ

ধারাটি সমান্তর ধারা,

এখানে, ১ম পদ, a=5

সাধারণ অন্তর, d=11-5=6

মনে করি, n তম পদ =59

∴ a+(n-1)d=59

বা,  5+(n-1)6=59

বা,  (n-1)6=54

বা,  (n-1)=9

বা,  n=9+1

বা,  n=10

∴ধারাটির সমষ্টি

    n

=----- {2a+(n-1)d}

    2

   10

=----- {2.5+(10-1).6}

    2

   10

=----- {10+54}

    2

=5✕64

=320

১২. 29+25+21+……-23=কত?

সমাধানঃ

ধারাটি সমান্তর ধারা,

এখানে, ১ম পদ, a=29

সাধারণ অন্তর, d=25-29=-4

মনে করি, n তম পদ =-23

∴ a+(n-1)d=59

বা,  29+(n-1)(-4)=-23

বা,  -4(n-1)=-23-29

বা,  -4(n-1)=-52

বা,  -4n+4=-52

বা,  -4n=-52-4

বা,  -4n=-56

বা,  n=14

∴ধারাটির সমষ্টি

    n

=----- {2a+(n-1)d}

    2

   14

=----- {2.29+(14-1).(-4)}

    2

   14

=----- {58-52}

    2

=7✕6

=42

১৩. কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=d

12 তম পদ

=a+(12-1)d

=a+11d

প্রশ্ন অনুসারে,

a+11d=77

∴ধারাটির প্রথম 23 পদের সমষ্টি

    23

=----- {2a+(23-1)d}

    2

    23

=----- (2a+22d)

    2

    23

=----- 2(a+11d)

    2

=23(a+11d)

=23✕77

=1771

১৪. একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ -20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির প্রথম পদ=a

সাধারণ অন্তর=d

16 তম পদ

=a+(16-1)d

=a+15d

প্রশ্ন অনুসারে,

a+15d=-20

∴ধারাটির প্রথম 31 পদের সমষ্টি

   31

=----- {2a+(31-1)d}

    2

   31

=----- (2a+30d)

    2

    31

=----- 2(a+15d)

    2

=31(a+15d)

=31✕-20

=-620

১৫. 9+7+5+…. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি -144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধাএয়াটি সমান্তর ধারা,

ধারাটির প্রথম পদ a=9

সাধারণ অন্তর, d=7-9=-2

সমষ্টি, S=-144

পদ সংখ্যা, n=?

আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

     n

s=----- {2a+(n-1)d}

     2

বা,  2s=n{2a+(n-1)d}

বা,  2.(-144)= n{2.9+(n-1)(-2)}

বা,  -288=n(18-2n+2)

বা,  -288=n(20-2n)

বা,  -288=2n(10-n)

বা,  -144=n(10-n)

বা,  -144=10n-n²

বা,  10n-n²+144=0

বা,  n²-10n-144=0

বা,  n²-18n+8n-144=0

বা,  n(n-18)+8(n-18)=0

বা,  (n-18)(n+8)=0

বা,  n-18=0      অথবা, n+8=0

বা,  n=18          বা,  n=-8

-8 গ্রহনযোগ্য নয় কারণ পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴n=18

এই অধ্যায়ের বাকী অংশঃ

SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১৩.১ সমান্তর ধারা (15-24) Part 2

এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।