SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৬.১ স্বীকার্য বর্ণনা, স্থান-তল-রেখা ও বিন্দু

স্বীকার্য বর্ণনা, স্থান-তল-রেখা ও বিন্দু:

১. স্থান, তল, রেখা এবং বিন্দুর ধারণা দাও।

সমাধানঃ

স্থানঃ

আমরা যখন আমাদের চারিদিকে তাকাই, তখন বিভিন্ন বস্তু দেখতে পাই আর এসব বস্তু একটা নির্দিষ্ট জায়গা বা স্থান দখল করে থাকে যা তাঁর আকার-আকৃতির উপর নির্ভর করে। আর এগুলো থেকে জ্যামিতিক ধারণার উদ্ভব।

তলঃ

কঠিন বা ঘন বস্তুর যে পৃষ্ঠা রয়েছে তা এক একটি তল; যেমন একটি ইটের ছয়টি তল রয়েছে। তল সমতল (যেমন বাক্সের তল) বা বক্রতল (যেমন গোলকের তল) হতে পারে।

রেখাঃ

দুইটি তল একে অপরকে ছেদ করলে বা দুইটি বিন্দু যোগ করলে একটি রেখা তৈরি হয়। যেমন ইটের দুইটি তল একে অপরকে ছেদ করে একটি সরল রেখা তৈরি করে। আবার একটি আপেল কাটলে একটি বক্ররেখা তৈরি হয়। রেখার প্রস্থ ও বেধ নেই, শুধু দৈর্ঘ্য আছে।

বিন্দুঃ

দুইটি রেখা বা রশ্মি একে অপরকে ছেদ করলে ছেদস্থল দ্বারা একটি বিন্দু উৎপন্ন হয়। যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা বেধ কোনটাই নেই কিন্তু একটা অবস্থান নির্দেশ করে। যেমন কলম দিয়ে কাগজে একটা ফোঁটা দিলে একটা বিন্দু উৎপন্ন হবে। একটি রেখার দৈর্ঘ্যকে সর্বনিন্ম যত ছোট করলে একটি বিন্দুই অবশিষ্ট থাকে।

২. ইউক্লিডের পাঁচটি স্বীকার্য বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

ইউক্লিয়ডের ৫টি স্বীকার্য নিচে দেওয়া হলোঃ

>>১. এক বিন্দু থেকে আরেক বন্দু পর্যন্ত একটি (একাধিক নহে) সরলরেখা আঁকা যায়।

>>২. একটি খন্ডির রেখাকে খুশিমত বৃদ্ধি করা যায়।

>>৩. যেকোনো কেন্দ্র আর যেকোনো দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ হলেই একটি বৃত্ত আঁকা যায়।

>>৪. সকল সমকোন মাত্রই সমান (৯০^০ হয়ে থাকে)।

>>৫. একটি সরলরেখা অপর দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে ছেদকের এক পাশে অন্তঃস্থ কোণ দুইটির যোগফল যদি দুই সমকোন থেকে ছোট হয় তবে রেখাদ্বয়কে ইচ্ছামত বাড়ালে যেদিকে কোণের যোগফল দুই সমকোণের চেয়ে ছোট, সেই দিকে মিলিত হবে।

৩. পাঁচটি আপতন স্বীকার্য বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

স্থানকে বিন্দু সমূহের সেট এবং সরলরেখা ও সমতলকে এর উপসেট ধরে যে স্বীকার্য নির্ণয় করা হয় তা আপতন স্বীকার্য। ৫টি স্বীকার্য নিন্মরূপঃ

>>১. সকল বিন্দুর সেট হলো স্থান আর এর উপসেট হলো সমতল ও সরলরেখা।

>>২. দুটি ভিন্ন বিন্দু  একসাথে কেবল ও কেবলমাত্র একটি সরলরেখার উপর অবস্থান করতে পারে।

>>৩. একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন ৩টি বিন্দুর জন্য একটি, কেবলমাত্র একটি সমতল বিদ্যমান যাতে বিন্দু তিনটির অবস্থান।

>>৪. সমতলের দুই বিন্দু দিয়ে কোন রেখা গেলে সেই রেখা ঐ তলে অবস্থিত হবে।

>>৫. স্থানে একের অধিক সমতল থাকে; সেখানে একাধিক সরলরেখা অবস্থিত; সরলরেখার প্রত্যেক বিন্দুকে বাস্তক  সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট করা যায়।  

৪. দূরত্ব স্বীকার্যটি বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

জ্যামিতিতে দূরত্ব সম্পর্কে নিচের স্বীকার্য ধরে নেওয়া হয়ঃ

ক) দুইটি বিন্দু (A,B) দ্বারা যে দূরত্ব ধরা হয় তা বাস্তক সংখ্যা দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় এবং তাকে AB দ্বারা লেখা হয়।

খ) দুইটি বিন্দু A ও B হলে, AB ধণাত্মক অথবা AB=0.

গ) A থেকে B এবং B থেকে A এর দূরত্ব সমান বা AB=BA.

৫. রুলার স্বীকার্যটি বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

স্বীকার্য ৫(গ) অনুসারে, সকল সরলরেখার উপর অবস্থিত বিন্দুগুলোর সেট আর বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এক-এক মিল করা যায়। এই সম্পর্কে স্বীকার করা হয় যে,

স্বীকার্যঃ

কোনো সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমুহের সেট ও বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এমনভাবে এক-এক মিল করা যায় যেন রেখাটির যেকোনো বিন্দু A,B এর জন্য AB=Ia-bI হয়, যেখানে মিলকরণের ফলে A ও B এর সঙ্গে যথাক্রমে a ও b বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয়।

এখানে, বর্ণিত মিলকরণ করলে এটি একটি সংখ্যারেখায় পরিণত হয় যেখানে A বিন্দুর সাথে a সংখ্যাটি সংশ্লিষ্ট হলে A কে a এর লেখবিন্দু ও a কে A এর স্থানাঙ্ক বলে। এই স্বীকার্যকে রুলার স্বীকার্য বলে।

৬. সংখ্যারেখা বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

স্বীকার্যঃ

কোনো সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমুহের সেট ও বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এমনভাবে এক-এক মিল করা যায় যেন রেখাটির যেকোনো বিন্দু A,B এর জন্য AB=Ia-bI হয়, যেখানে মিলকরণের ফলে A ও B এর সঙ্গে যথাক্রমে a ও b বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয়।

এখানে, বর্ণিত মিলকরণ করলে এটি একটি সংখ্যারেখায় পরিণত হয় যেখানে A বিন্দুর সাথে a সংখ্যাটি সংশ্লিষ্ট হলে A কে a এর লেখবিন্দু ও a কে A এর স্থানাঙ্ক বলে।

৭. রুলার স্থাপন স্বীকার্যটি বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

একটি সরলরেখাকে সংখ্যারেখায় করতে হলে রেখাটির একটি বিন্দুকে 0 স্থানাঙ্ক ও অন্য এক বিন্দুকে 1 স্থানাঙ্ক ধরে নিতে হয়। ফলে এতে একটি একক দূরত্ব ও একটি ধণাত্মক দিক নির্ধারিত হয়। আর এ জন্য স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্যঃ

যেকোন সরলরেখা PQ যার P বিন্দুর স্থানাঙ্ক 0 এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক ধনাত্মক হয়। এটিও রুলার স্থাপণ স্বীকার্য।

৮. পরস্পরছেদী সরলরেখা ও সমান্তরাল সরলরেখার সংজ্ঞা দাও।

সমাধানঃ

পরস্পরছেদী সরলরেখাঃ

যদি দুইটি সরলরেখার একটি সাধারণ বিন্দু থাকে তবে তারা পরস্পরছেদী সরলরেখা।

সমান্তরাল সরলরেখারঃ

যদি দুইটি সরলরেখার একটি সাধারণ বিন্দু না থাকে বা তারা একে অপরের সমান্তরাল হয় তবে তারা সমান্তরাল সরলরেখা।