SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-২.১ সেট
সেট
১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) {x ∈ N
: x2 > 9 এবং x2<130}
সমাধানঃ
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,4,5,6,7……..}
x=5 হলে 52>9 ইত্যাদি।
আবার যেসব স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 130 অপেক্ষা ছোট সেগুলো হলো 1,2,3,4,5.
x=2 হলে, 23<136
x=3 হলে, 33<136
x=4 হলে, 43<136
x=5 হলে, 53<136
তাহলে, নির্ণেয় সেট={4,5}
সমাধানঃ
পূর্ণ সংখ্যার সেট, Z={….-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6….}
x=-4 হলে (-4)2>5
x=3 হলে 32>5
x=4 হলে 42>5
x=2 হলে 23<36
x=3 হলে 33<36
গ) {x ∈ N
: x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক}
সমাধানঃ
এখানে,
N={1,2,3,4…….}
36=1✕36=2✕18=3✕12=4✕9=6✕6
36 এর গুণনীয়কগুলো হলো=1,2,3,4,5,6,9,12,18,36
ঘ) {x ∈ N
: x3>25 এবং x4<264}
সমাধানঃ
এখানে,
N={1,2,3,4,5,6……}
কারণ,
x=1 হলে 13<25
x=2 হলে 23<25
x=1 হলে 14<264
x=2 হলে 24<264
x=3 হলে 34<264
x=4 হলে 44<264
x=5 হলে 54≮264
∴নির্ণেয় সেট={2}
২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) {3,5,7,9,11}
সমাধানঃ
ধরি, A={3,5,7,9,11}
∴ A={x ∈ N :
x, স্বাভাবিক
বিজোড়
সংখ্যা
যেখানে,
3≤x≤11}
খ) {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
সমাধানঃ
ধরি, A={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
∴ A={x ∈ N :
x, 36 এর গুণনীয়ক}
গ) {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}
সমাধানঃ
ধরি, A={4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}
ঘ) {±4, ±5, ±6}
সমাধানঃ
ধরি, A={±4, ±5, ±6}
∴ A={x ∈ Z :
x2≥16 এবং x3≤216}
৩ নং এর সমাধান ও প্রশ্নঃ VIEW
৪. U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7} হলে, নিন্মলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করঃ
ক) (A ∪ B)’=A’ ∩ B’
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7},
A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
বামপক্ষ=(A ∪ B)’=U-( A ∪ B)
(U-A)= {1,2,3,4,5,6,7}-{1,3,5}={2,4,6,7}
(U-B) {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7}
খ) (B ∩ C)’=B’ ∪ C’
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7},
A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
এখন, বামপক্ষ=(B ∩ C)’=U-(B ∩ C)
(U-B)= {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7)
(U-C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{3,4,5,6,7}={1,2}
∴ (U-B) ∪(U-C)={1,3,5,7} ∪ {1,2}={1,2,3,5,7}
গ) (A ∪ B) ∩ C=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7},
A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
বামপক্ষ=(A ∪ B) ∩ C
(B ∩ C)= {2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7}={4,6}
ঘ) (A ∩ B) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7},
A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
বামপক্ষ=(A ∩ B) ∪ C
যেখানে, A ∩ B={1,3,5} ∩ {2,4,6}={}
যেখানে, (A ∪ C)=
{1,3,5}∪{3,4,5,6,7}={1,3,4,5,6,7}
(B ∪ C)={2,4,6} ∪ {3,4,5,6,7}={2,3,4,5,6,7}
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৫. Q={x,y} এবং R={m,n,l} হলে, P(Q) এবং P(R) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
Q={x,y}
∴P(Q)={{x,y),{x},{y},∅}
R={m,n,l}
∴ P(R)={{m,n,l},{m,n},{m,l},{n,l},{m},{n},{l},{∅}}
৬. A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ Bহলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n ,যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ B
C=A ∪ B={a,b}∪{a,b,c}={a,b,c}
এর উপাদান সংখ্যা 3 বা n
P(C)={{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c},∅}এর উপ্পাদান সংখ্যা 8 বা 23 বা 2n (দেখানো হলো)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, (x-1,y+2)=(y-2,2x+1)
x-1=y-2……………(a)
y+2=2x+1…………(b)
(a).. হতে,
x-1=y-2
বা, x=y-2+1
বা, x=y-1----------(c)
x এর মান (b) তে বসাই,
y+2=2(y-1)+1
বা, y+2=2y-2+1
বা, y+2=2y-1
বা, y-2y=-1-2
বা, -2y=-3
বা, y=3
y=3, (c) এ বসাই,
x=3-1=2
∴ (x,y)=(2,3)
খ) (ax-cy, a2-c2)=(0,ay-cx) হলে (x,y) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক্রমজোড় নীতি থেকে,
ax-cy=0…………..1
a2-c2= ay-cx ……….2
এখন,
ax-cy=0
বা, ax=cy
a2-c2= ay-c✕(cy/a)
বা, a2-c2=(a2y-c2y)/a
বা, a2-c2=y(a2-c2)/a
বা, 1=y/a
বা, a=y
বা, y=a এই মান (1)
নং এ বসাই,
ax-ca=0
বা, ax=ca
গ) (6x-y,13)=(1,3x+2y) হলে, (x,y) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক্রমজোড় নীতি থেকে,
6x-y=1…………..(1)
3x+2y=13…………..(2)
(1) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই..
12x-2y=2……………..(3)
(2)+(3) করে পাই,
15x=15
বা, x=15/15
বা, x=1 এই মান (1)
নং এ বসিয়ে পাই,
6✕1-y=1
বা, -y=1-6
বা, -y=-5
বা, y=5
∴ (x,y)=(1,5)
৮ নং এর প্রশ্ন ও সমাধান ঃ VIEW
৯. A
ও B যথাক্রমে 35
এবং 45 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A ∪ B ও A ∩ Bনির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∴ A ∪ B={1,5,7} ∪ {1,3,5,9,15,45}={1,3,5,7,9,15,35,45}
A ∩ B={1,5,7} ∩ {1,3,5,9,15,45}={1,5}
১০. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346
এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31
অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, 31অপেক্ষা বড় 315 এর গুণনীয়কগুলোর সেট A
B={35,75,105,175,525}
∴A ∩ B = {35,105,315} ∩ {35,75,105,175,525}={35,105}
১১. কোনো শ্রেণির 30
জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না তা ভেন চিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ভেনচিত্রে, আয়তাকার ক্ষেত্রটি দ্বারা 30 জন শিক্ষার্থীর সেট S এবং পরস্পরছেদী দুইটি বৃত্ত ক্ষেত্র দ্বারা F ও C নির্দেশ করা হলো।
n(F)=20
n(C)=15
n(C ∩ F)=10
=n(S)-n(C ∪ F)
n(C ∪ F
=35-10
=25
∴ n(S)-n(C ∪ F)=30-25=5
∴কোনো খেলাই পছন্দ করে না এরুপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 5 জন।
১২. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65
শিক্ষার্থী বাংলায়, 48
শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশ এবং 15 শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।
ক) সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ ওপরের তথ্যগুলো ভেনচিত্রে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
বাংলায় পরীক্ষার্থীদের সেট B
ইংরেজিতে পরীক্ষার্থীদের সেট E
খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আবার,
বা, 85-65+48=n(E)
বা, n(E)=68
শুধু বাংলায় পাশ করেছে=n(B)-n(B ∩ E)=65-48=17
গ) উভয় বিষয়ে পাশ এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
উভয় বিষয়ে ফেল শিক্ষার্থীর সংখ্যা 15=5✕3
এবং উভয় বিষয়ে ফেল শিক্ষার্থীর সংখ্যার মৌলিক গুণনীয়কের সেট N হলে,
M={2,3}
N={5,3}
তাহলে, MN={2,3}{5,3}={2,3,5}
অতএব, নির্ণেয় সেট {2,3,5}
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের
pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।