সর্বসমতা/সর্বসম/≅
১. চিত্রে, CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, প্রমাণ কর যে, △ADC≅△BDC
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এর CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ কর যে, △ADC≅△BDC. প্রমাণঃ
CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক হওয়ায় AD=BD এবং ∠ADC=এক সমকোণ=∠BDC
এখন, △ADC ও △BDC-এ
AD=BD
CD বাহুর সাধারণ এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ADC=অন্তর্ভুক্ত ∠BDC [প্রত্যেকেই সমকোণ]
∴△ADC≅△BDC
২. চিত্রে, CD=CB এবং, ∠DCA=∠BCA. প্রমাণ কর যে, AB=AD
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, CD=CB এবং, ∠DCA=∠BCA. প্রমাণ করতে হবে যে, AB=AD.
প্রমাণঃ
△ACD ও △ACB এ
CDE=CB [দেওয়া আছে]
AC সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত ∠DCA=অন্তর্ভুক্ত ∠BCA
∴△ACD≅△ACB
∴AB=AD(প্রমাণিত)
৩. চিত্রে, ∠BAC=∠ACD এবং AB=DC. প্রমাণ কর যে, AD=BC, ∠CAD=∠ACB এবং ∠ADC=∠ABC.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ∠BAC=∠ACD এবং AB=DC. প্রমাণ করতে হবে যে, AD=BC, ∠CAD=∠ACB এবং ∠ADC=∠ABC.
প্রমাণঃ
△ABC ও △ADC এ
AB=DC [দেওয়া আছে]
AC উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত∠BAC=অন্তর্ভুক্ত∠ACD
∴△ABC≅△ADC
∴AD=BC, ∠CAD=∠ACB এবং ∠ADC=∠ABC (প্রমাণিত)
৪. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু বাদে অপর বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সমান।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচন; মনে করি, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এর ।ত্রিভুজের ভুমিকে একদিকে এবং অপরদিকে পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
প্রমাণঃ
∠ABF+∠ABC=এক সরল কোণ=দুই সমকোণ।
আবার, ∠ACE+∠ACB=এক সরল কোণ=দুই সমকোণ।
অতএব, ∠ABF+∠ABC=∠ACE+∠ACB
কিন্তু △ABC এ AB=AC হওয়ায় ∠ABC=∠ACB
এখন, ∠ABF+∠ABC=∠ACE+∠ABC
উভয় পক্ষ থেকে সমান সমান কোণ বাদ দিলে, ∠ABF=∠ACE (প্রমাণিত)
৫. চিত্রে, AD=AE, BD=CE এবং ∠AEC=∠ADB. প্রমাণ কর যে, AB=AC
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ দেওয়া আছে, AD=AE, BD=CE এবং ∠AEC=∠ADB. প্রমাণ করতে হবে যে, AB=AC.
প্রমাণঃ
△ADB ও △AEC এ
AD=AE এবং BD=CE দেওয়া আছে এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AEC=অন্তর্ভুক্ত ∠ADB
∴△ADB ≅ △AEC
∴AB=AC (প্রমাণিত)
৬. চিত্রে, △ABC এবং △DBC দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। প্রমান কর যে, △ABD≅△ACD
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এবং △DBC দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। প্রমান করতে হবে যে, △ABD≅△ACD.
প্রমাণঃ
△ABC সমদ্বিবাহু হওয়ায় AB=AC
আবার, △DBC সমদ্বিবাহু হওয়ায় BD=DC.
এখন, △ABC এবং △DBC এর মধ্যে,
AB=AC
BD=DC এবং AD সাধারণ বাহু।
∴△ABD≅△ACD (প্রমাণিত)
৭. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির প্রান্তবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত মধ্যমাদ্বয় সমান।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এ AB=AC এবং BE ও CD বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, BE=CD.
প্রমাণঃ
CD ও BE মধ্যমা হওয়ায় D, AB এর এবং E, AC এর মধ্যবিন্দু।
যেহেতু, AB=AC
সুতরাং 1/2AB=1/2AC
বা, BD=CE.
আবার, AB=AC হওয়ায় ∠ABC=∠ACB
এখন △BDC ও △BCE এর মধ্যে BD=CE
BC সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত∠DBC= অন্তর্ভুক্ত∠BCE.
∴△BDC ≅ △BCE
∴CD=BE (প্রমাণিত)
৮. প্রমাণ কর যে, সমবাহু ত্রিভুজের কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A=∠B=∠C.
প্রমাণঃ
সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পপর সমান।
এখন, AB=AC হওয়ায় ∠B=∠C---------------(i)
আবার, BC=AC হওয়ায় ∠B=∠A--------------(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∠A=∠B=∠C [প্রমাণিত]
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।
