SSC (Class 9-10) Math BD: নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৩.১ বর্গ ও বর্গ সম্পর্কিত সমস্যাবলি
বর্গ ও বর্গ সম্পর্কিত সমস্যাবলি:
১. সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করঃ
ক)
2a+3b
সমাধানঃ
=(2a+3b)2
=(2a)2+2.2a.3b+(3b)2
=4a2+12ab+9b2
খ)
x2+2/y2
সমাধানঃ
=( x2+2/y2)2
=(x2)2+2.x2.2/y2+(2/y2)2
=x4+4x2/y2+4/y2
গ)
4y-5x
সমাধানঃ
=(4y-5x)2
=(4y)2-2.4y.5x+(5x)2
=16y2-40xy+25x2
ঘ)
5x2-y
সমাধানঃ
=(5x2-y)2
=(5x2)2-2.5x2.y+y2
=25x4-10x2y+y2
ঙ)
3b-5c-2a
সমাধানঃ
=(3b-5c-2a)2
={(3b-5c)-2a}2
=(3b-5c)2-2.(3b-5c).2a+(2a)2
=(3b)2-2.3b.5c+(5c)2-(6b+10c).2a+4a2
=9b2-30bc+25c2-12ab-20ac+4a2
চ)
ax-by-cz
সমাধানঃ
=( ax-by-cz)2
={(ax-by)-cz}2
=(ax-by)2-2.(ax-by).cz+(cz)2
=(ax)2-2.ax.by+(by)2-2axcz+2bycz+c2z2
=a2x2-2axby+b2y2-2axcz+2bycz+c2z2
ছ)
2a+3x-2y-5z
সমাধানঃ
=(2a+3x-2y-5z)2
={(2a+3x)-(2y+5z)}2
=(2a+3x)2-2.(2a+3x).(2y+5z)+(2y+5z)2
= (2a)2+2.2a.3x+(3x)2-2.(4ay+6xy+10az+15xz+(2y)2+2.2y.5z+(5z)2
=4a2+12ax+9x2-8ay-12xy-20az-30xz+4y2+20yz+25z2
জ)
1007
সমাধানঃ
=(1000+7)2
=(1000)2+2.1000.7+(7)2
=1000000+14000+49
=1014049
২.
সরল করঃ
ক)
(7p+3q-5r)2-2(7p+3q-5r)(8p-4q-5r)+(8pp-4q-5r)2
সমাধানঃ
এবং, 8p-4q-5r=b
∴প্রদত্ত রাশি
={(7p+3q-5r)-(8p-4q-5r)}2 [মান বসিয়ে]
=(7p+3q-5r-8p+4q+5r)2
=(7q-p)2
=(7q)2-2.7q.p+(p)2
=49q2-14pq+p2
খ)
(2m+3n-p)2+(2m-3n+p)2-2(2m+3n-p)(2m-3n+p)
সমাধানঃ
এবং b=2m-3n+p
প্রদত্ত রাশি
=a2+b2-2.a.b
=(a-b)2
={(2m+3n-p)-(2m-3n+p)}2 [মান বসিয়ে]
=(2m+3n-p-2m+3n-p)2
=(6n-2p)2
=(6n)2-2.6n.2p+(2p)2
=36n2-24np+4p2
গ)
6.35✕6.35+2✕6.35✕3.65+3.65✕3.65
সমাধানঃ
=(10)2
=100
ঘ)
2345✕2345-759✕759
|
সমাধানঃ |
2345✕2345-759✕759 2345-759
|
|
= |
(2345)2-(759)2 (2345-759)
|
|
= |
(2345-759)(2345+759) (2345-759)
|
|
= |
(2345+759) |
|
= |
3104 |
৩.
a-b=4 এবং ab=60 হলে, a+b এর মান কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
(a+b)2=(a-b)2+4ab
বা, (a+b)2=42+4✕60
বা, (a+b)2=256
বা, a+b=±√256
৪.
a+b=9m এবং ab=18m2 হলে, a-b এর মান কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
(a-b)2
=(a+b)2-4ab
=(9m)2-4✕18m2 [মান বসিয়ে]
=9m2
∴(a-b)= ±√9m2=±3m
৫.
x-1/x=4 হলে, প্রমান কর যে, x4+1/x4=322.
সমাধানঃ
x-1/x=4
বা, (x-1/x)2=42
বা, x2-2.x.1/x+(1/x)2=16
বা, x2-2+1/x2=16
বা, x2+1/x2=16+2
বা, x2+1/x2=18
বা, (x2+1/x2)2=(18)2
বা, (x2)2+2.x2.1/x2+(1/x2)2=324
বা, x4+2+1/x4=324
বা, x4+1/x4=324-2
বা, x4+1/x4=322 (প্রমাণিত)
৬.
2x+2/x=3 হলে, x2+1/x2 এর মান কত?
সমাধানঃ
2x+2/x=3
বা, 2(x+1/x)=3
বা, x+1/x=3/2
বা, (x+1/x)2=(3/2)2
বা, x2+2.x.1/x+(1/x)2=9/4 (বর্গ করে)
বা, x2+1/x2+2=9/4
বা, x2+1/x2=9/4-2
বা, x2+1/x2=(9-8)/4
বা, x2+1/x2=1/4
৭.
a+1/a=2 হলে, দেখাও যে, a2+1/a2=a4+1/a4
সমাধানঃ
a+1/a=2
বা, (a2+1)/a=2
বা, a2+1=2a
বা, a2-2a+1=0
বা, (a-1)2=0
বা, a-1=0
বা, a=1
এখন,
বামপক্ষ= a2+1/a2=12+1/12=2
ডানপক্ষ= a4+1/a4=14+1/14=2
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৮.
a+b=√7 এবং a-b=√5
হলে, প্রমাণ কর যে, 8ab(a2+b2)=24.
সমাধানঃ
বামপক্ষ
=8ab(a2+b2)
=4ab✕2(a2+b2)
={(√7)2-(√5)2}{(√7)2+(√5)2}
=(7-5)(7+5)
=2✕12
=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
৯.
a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31 হলে, a2+b2+c2 এর মান নির্ণয়
কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
=92-2.31 [মান বসিয়ে]
=81-62
=19
১০.
a2+b2+c2 =9 এবং ab+bc+ca=8 হলে, (a+b+c)2 এর
মান কত?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=9+2.8 [মান বসিয়ে]
=9+16
=25
১১.
a+b+c=6 এবং a2+b2+c2 =14 হলে, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=
কত?
সমাধানঃ
এখন,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+c2
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca
=2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)
=2(a2+b2+c2)+( a2+b2+c2)-(a+b+c)2 [a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)]
=2*14+14-62
=28+14-36
=42-36
=6
১২.
x=3, y=4 এবং z=5 হলে,9x2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx=
কত?
সমাধানঃ
এখন,
9x2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx
=(3x)2+(-4y)2+(2z)2+2.3x(-4y)+2.(-4y).2z+2.2z.3x
={3x+(-4y)+2z}2
=(3x-4y+2z)2
=(3.3-4.4+2.5)2
=(9-16+10)2
=32
=9
১৩.
(a+2b)(3a+2c) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।
|
সমাধানঃ |
|
|
|
|
|
মনে করি, |
a+2b=x |
|
|
|
|
|
3a+2c=y |
|
|
|
|
প্রদত্ত রাশি= |
(a+2b)(3a+2c) |
|
||
|
|
=xy |
|
|
|
|
= ( |
x+y 2
|
)2 - ( |
x-y 2
|
)2 |
|
এখন, |
x+y 2
|
|
|
|
|
= |
a+2b+3a+2c 2
|
|
|
|
|
= |
4a+2b+c 2
|
|
|
|
|
= |
2a+b+c |
|
|
|
|
এবং, |
x-y 2
|
|
|
|
|
= |
a+2b-3a-2c 2
|
|
|
|
|
= |
2b-2a-2c 2
|
|
|
|
|
= |
b-a-c |
|
|
|
|
∴
( |
x+y 2
|
)2 - ( |
x-y 2
|
)2 |
|
= |
(2a+b+c)2-(
b-a-c)2 |
|||
|
|
এটিই দুইটি বর্গের
বিয়োগফল।
|
|||
সমাধানঃ
=x2+2.x.5+52-1
=(x+5)2-12 [এটিই দুইটি বর্গের বিয়োগফল]
১৫.
a4+a2b2+b4=8 এবং a2+ab+b2=4
হলে, ক) a2+b2, খ) ab এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
a4+a2b2+b4=8 ………….(1)
a2+ab+b2=4 ……………..(2)
(1)….হতে,
a4+a2b2+b4=8
বা, (a2)2+2.a2.b2+(b2)2-a2b2=8
বা, (a2+b2)2-(ab)2=8
বা, (a2+b2+ab)(a2+b2-ab)=8
বা, 4(a2+b2-ab)=8
বা, a2+b2-ab=8/4=2……………..(3)
(2)+(3) করে পাই,
2a2+2b2=4+2
বা, a2+b2=6/2
বা, a2+b2=3
(খ)
2ab=4-2
বা, ab=2/2
বা, ab=1
এই অধ্যায় সহ সকল অধ্যায়ের
pdf download লিঙ্ক দেখুনঃ Download Free Book মেনুতে।